专题32 关于指对的两个重要不等式-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

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专题32   关于指对的两个重要不等式【方法点拨】1．重要不等式：(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)．2．树立一个转化的意识，即“等”与“不等”间的互化，运用“两边夹逼”的方法，将不等式转化为等式，关注等号成立的条件.【典型题示例】例1                 若实数满足，则（      ）A.                          B. C.                               D. 【答案】A【分析】思路一：据果变形，直接使用重要不等式，两边夹逼将不等式转化为等式.思路二：一边一个变量，构造两个函数，分别求出其最值，夹逼将不等式转化为等式.【解析一】∵∴易知，当且仅当x=1时，“=”成立∴，当且仅当，时，“=”成立根据不等式性质有所以此时必有，（下略）.【解析二】∵∴令，利用导数知识易求得，所以，即故，此时，（下略）.例2     已知都是正数，，，则的最大值是       ．【答案】【分析】由，换元令，则，考虑“形”， 恒成立，夹逼得，同理处置，最后使用基本不等式求解.【解析】，令，则事实上（当且仅当时，“=”成立），故；，令，   则   事实上（当且仅当时，“=”成立），故；所以，（当且仅当，时，“=”成立）故的最大值是．例3     已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】因为，当且仅当时，“=”成立所以不等式恒成立转化为对任意的恒成立，解之得.
【巩固训练】1.已知正实数满足，则       ．2.己知实数a，b，c满足（e为自然对数的底数），则的最小值是         .3.若对于任意正实数，不等式恒成立，则实数的最大值是       ．4. 己知实数a，b满足（e为自然对数的底数），则a+2b=         .
【答案与提示】1.【答案】 【解析】当且仅当，，即，时，“=”成立，此时．2.【答案】【分析】将已知变形为[(，联系重要不等式，夹逼得.【解析】∵  ∴，所以又∵    ∴当且仅当时成立∴，所以.3.【答案】 【提示】由，得，所以.4. 【答案】1【提示】由，得,而故，此时，，所以.