高中数学人教版新课标B选修1-12.1.2椭圆的几何性质备课课件ppt

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学习目标1.根据椭圆的方程研究其几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.
知识点一　椭圆的简单几何性质
答案　对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0，得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0).同理得C2与y轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x轴的交点为(4,0)与(－4,0).
思考1　怎样求C1，C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？
答案　椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形.
思考2　椭圆具有怎样的对称性？
答案　C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4；C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
思考3　椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
(±a,0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b,0)
知识点二　椭圆的离心率
答案　如图所示，在Rt△BOF2中，cs∠BF2O＝ ，记e＝ ，则0思考　观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？
梳理　(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ ，叫做椭圆的 .(2)性质：离心率e的取值范围是 ，当e越接近于1，椭圆越 ，当e越接近于 ，椭圆就越接近于圆.
[思考辨析 判断正误](1)椭圆是封闭图形，所以它一定有范围限制.(　　)(2)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.(　　)(3)椭圆的焦距越大椭圆就越扁.(　　)(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁.(　　)
类型一　椭圆的几何性质
例1　已知椭圆方程为9x2＋16y2＝144，求此椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.
类型二　求椭圆的离心率
命题角度1　焦点三角形的性质
解析　方法一　如图，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝c，
则由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
方法二　由题意知，在焦点三角形NF1F2中 ，∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，则由离心率的三角形式，可得
解析　如图所示，∵∠BAF2＝60°，|AB|＝|AF2|，∴△ABF2是等边三角形，∴△ABF2的周长＝3|AF2|＝4a，
命题角度2　利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)
∴3b4＝4a2c2，
由题意知，以F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，则c≥b，即c2≥b2，所以c2≥a2－c2，
反思与感悟　若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
解析　设椭圆的右焦点为F′，如图，由题意得A(－a,0)，B(0，b)，F′(c,0)，∵∠BAO＋∠BFO＝90°且∠BFO＝∠BF′O，∴∠BAO＋∠BF′O＝90°，
∴(a，b)·(c，－b)＝ac－b2＝ac－a2＋c2＝0，
类型三　利用几何性质求椭圆的标准方程
解　∵所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点.①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，
∴a2＝3b2＝27，
(2)如图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为 ，求这个椭圆的方程.
由椭圆的对称性，知|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，∴△B1FB2为等腰直角三角形，∴|OB2|＝|OF|，即b＝c.
反思与感悟　此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论.
跟踪训练4　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
1.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为
2.椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为
4.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为____________.
解析　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，
5.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为___________.