新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：2.2　函数的单调性与最大（小）值

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2.2　函数的单调性与最大(小)值
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.函数的单调性
(1)函数单调性及单调区间的定义

增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,且D⊆I:如果∀x1,x2∈D
当x1 当x1 图象
描述

自左向右看图象
是　　　　　

自左向右看图象
是　　　　

单调
区间
如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间

(2)函数单调性的充要条件
若D是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈D且x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2),ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1.
①y=f(x)在D上单调递增的充要条件是ΔyΔx>0在D上恒成立;
②y=f(x)在D上单调递减的充要条件是ΔyΔx<0在D上恒成立.
2.函数的最大(小)值

前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I,
都有　　　　　;
(2)∃x0∈I,
使得　　　　　　
(3)∀x∈I,
都有　　　　　;
(4)∃x0∈I,
使得　　　　
结论
称M是函数y=f(x)的最大值
称M是函数y=f(x)的最小值

函数单调性的常用结论:

f(x)在区
间D上的
单调性
单调递增
单调递减
定义法
x1 x1f(x2)
图象法
从左到右函数图象上升
从左到右函数图象下降
导数法
导数大于零
导数小于零
运算法
单调递增+单调递增
单调递减+单调递减
复合函数
f[g(x)]
内外层单调性相同
内外层单调性相反

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=1x在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减.(　　)
(2)函数f(x)=log5(2x+1)在区间(0,+∞)上单调递增.(　　)
(3)设任意x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,那么f(x)在[a,b]上单调递增⇔f(x1)-f(x2)x1-x2>0.(　　)
(4)闭区间上的单调函数的最值一定在区间端点取到.(　　)
2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(　　)
A.f-32 B.f(-1) C.f(2) D.f(2) 4.(2020全国2,文10)设函数f(x)=x3-1x3,则f(x)(　　)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
5.已知函数f(x)=2x-1,x∈[2,6],则f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
关键能力学案突破　

考点
证明或判断函数的单调性

【例1】判断并证明函数f(x)=axx-1(a≠0)在(-1,1)上的单调性.

解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图象法;
(3)利用已知函数的单调性;
(4)导数法.
2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法:
(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断;
(2)可导函数可以利用导数证明.
3.复合函数单调性的判断方法:
复合函数y=f(g(x))的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
对点训练1已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足fx1x2=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:f(x)为减函数.

考点
求函数的单调区间

【例2】求下列函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.
(1)y=-x2+2|x|+1;
(2)y=log12(x2-3x+2);
(3)f(x)=(3-x2)ex.

解题心得求函数的单调区间与确定函数单调性的方法一致,常用以下方法:
(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间;
(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义求解;
(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间;
(4)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.
对点训练2(1)函数y=13 2x2-3x+1的单调递增区间为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(1,+∞) B.-∞,34
C.12,+∞ D.34,+∞
(2)(2017全国1,文9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则(　　)
A.f(x)在(0,2)上单调递增
B.f(x)在(0,2)上单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
(3)已知函数y=|x|(1-x)在区间A上单调递增,则区间A是(　　)
A.(-∞,0) B.0,12
C.[0,+∞) D.12,+∞

考点
函数单调性的应用(多考向探究)

考向1　利用函数的单调性求函数的值域或最大(小)值
【例3】(1)(2020河南驻马店二模,文13)函数f(x)=9x2+x-1的最小值为　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)函数y=2-xx+1,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是(　　)
A.(1,2) B.(-1,2)
C.[1,2) D.[-1,2)
解题心得函数最大(小)值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点的纵坐标,函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.利用单调性求解最大(小)值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.
对点训练3(2020辽宁大连模拟,文10)在实数的原有运算法则中,我们补充新运算“?”,定义如下,当a≥b时,a?b=a;当a 　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.1 C.12 D.6
考向2　利用函数的单调性比较大小
【例4】(1)(2020全国1,理12)若2a+log2a=4b+2log4b,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a (2)e416,e525,e636(其中e为自然常数)的大小关系是(　　)
A.e416 C.e525 解题心得对已知函数解析式比较函数值大小的问题,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决;对没有给出函数解析式的比较大小问题,需要先构造函数,再求函数的单调区间,最后利用函数的单调性比较大小.
对点训练4(2020天津和平一模,7)函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1f(x2)x2,记a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53×f(log135),则a,b,c大小关系为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>b>c D.a>c>b
考向3　利用函数的单调性解不等式
【例5】(2020新高考全国1,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
解题心得求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m) 对点训练5已知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为　　　　.
考向4　利用函数的单调性求参数的值(或取值范围)
【例6】(2020山西太原三模,文10)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),则a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12,1 B.[1,2] C.12,2 D.(0,2]
解题心得利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.
对点训练6已知函数f(x)=log13(x2-ax+3a)在[1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.-12,2 D.-12,2

双变量问题中一般穿插有两个及以上的“任意”或“存在”量词,学生往往因为不知道如何等价转换致使解题走向迷茫,部分学生甚至机械地背诵结论导致走入误区.解决双变量“存在性或任意性”问题,关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),旨在落实逻辑推理核心素养.
类型1　形如“对∀x1∈A,都∃x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”
【例1】已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x)=196x-13,若对任意x1∈[-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f'(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
解由题意知,g(x)在[0,2]上的值域为-13,6.
令h(x)=f'(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2),则h'(x)=6x+2,由h'(x)=0得x=-13.
当x∈-1,-13时,h'(x)<0;
当x∈-13,1时,h'(x)>0.
所以[h(x)]min=h-13=-a2-2a-13.
又由题意可知,h(x)的值域是-13,6的子集,
所以h(-1)≤6,-a2-2a-13≥-13,h(1)≤6,解得实数a的取值范围是[-2,0].
思维突破此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于实数a的不等式组,求得参数的取值范围.
类型2　形如“∃x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”
【例2】已知函数f(x)=2x3x+1,x∈(12,1],-13x+16,x∈[0,12],函数g(x)=ksinπx6-2k+2(k>0),若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.
解由题意,易得函数f(x)在[0,1]上的值域为[0,1],g(x)在[0,1]上的值域为2-2k,2-3k2,并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况,即2-2k>1或2-32k<0,解得k<12或k>43,所以要使两个值域有公共部分,实数k的取值范围是12,43.
思维突破本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3　形如“对∀x1∈A,都∃x2∈B,使得f(x1) 【例3】已知函数f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若∀x1∈12,1,∃x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是　　　　.
答案12,+∞
解析依题意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)=x+4x在12,1上单调递减,
∴f(x)max=f12=172.
又g(x)=2x+a在[2,3]上单调递增,
∴g(x)max=8+a,
因此172≤8+a,解得a≥12.
思维突破理解量词的含义,将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max,利用函数的单调性,求f(x)与g(x)的最大值,得关于a的不等式,求得a的取值范围.
思考1:在[例3]中,若把“∃x2∈[2,3]”变为“∀x2∈[2,3]”时,其他条件不变,则实数a的取值范围是　　　　.
提示问题“等价转化”为[f(x)]max≤[g(x)]min,请读者自行求解.
思考2:在[例3]中,若把“∀x1∈12,1”改为“∃x1∈12,1”,其他条件不变,则实数a的取值范围是　　　　.
提示问题“等价转化”为f(x)min≤g(x)max,请读者自行求解.
思考3:在[例3]中,若把“使得f(x1)≤g(x2)”变为“f(x1)≥g(x2)”,其他条件不变,则实数a的取值范围是　　　　.
提示问题“等价转化”为f(x)min≥g(x)min,请读者自行求解.

2.2　函数的单调性与最大(小)值
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)f(x1)f(x2)　上升的　下降的
2.(1)f(x)≤M　(2)f(x0)=M　(3)f(x)≥M
(4)f(x0)=M
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.D　令t=x2-2x-8.由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.易知t=x2-2x-8在(-∞,-2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.因为y=lnt在t∈(0,+∞)上单调递增,可得函数f(x)的单调递增区间是(4,+∞).故选D.
3.D　∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2).∵-2<-32<-1,又f(x)在(-∞,-1]上是增函数,∴f(-2) 4.A　由题意可知,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.∵f(x)=x3-1x3,∴f(-x)=(-x)3-1(-x)3=-x3-1x3=-f(x),∴f(x)为奇函数.易知f(x)=x3-1x3在区间(0,+∞)上单调递增.故选A.
5.2　25　易知函数f(x)=2x-1在x∈[2,6]上为减函数,故f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)=25.
关键能力·学案突破
例1解当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明如下:
(方法1　定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1 因为f(x)=ax-1+1x-1=a1+1x-1,则f(x1)-f(x2)=a1+1x1-1-a1+1x2-1=a(x2-x1)(x1-1)(x2-1),
由于-10,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) (方法2　导数法)f'(x)=a(x-1)-ax(x-1)2=-a(x-1)2,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.
对点训练1(1)解令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
(2)证明任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则x1x2>1,
当x>1时,f(x)<0,∴fx1x2<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1) ∴函数f(x)是减函数.
例2解(1)由于y=-x2+2x+1,x≥0,-x2-2x+1,x<0,
即y=-(x-1)2+2,x≥0,-(x+1)2+2,x<0.
画出函数图象如图所示,

故函数在区间(-∞,-1]和[0,1]上单调递增,在区间[-1,0]和[1,+∞)上单调递减.
(2)令u=x2-3x+2,则原函数可以看作y=log12u与u=x2-3x+2的复合函数.
令u=x2-3x+2>0,则x<1或x>2.
∴函数y=log12(x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).
又u=x2-3x+2的对称轴为x=32,且开口向上,
∴u=x2-3x+2在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.
而y=log12u在(0,+∞)上是减函数,
∴y=log12(x2-3x+2)在区间(2,+∞)上单调递减,在区间(-∞,1)上单调递增.
(3)f'(x)=-2xex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex[-(x+3)(x-1)],
当-30,当x>1或x<-3时,f'(x)<0,
∴函数y=(3-x2)ex在区间(-3,1)上单调递增,在区间(-∞,-3),(1,+∞)上单调递减.
对点训练2(1)B　(2)C　(3)B　(1)令u=2x2-3x+1=2x-342-18.因为u=2x-342-18在-∞,34上单调递减,函数y=13u在R上单调递减.所以y=13 2x2-3x+1的单调递增区间是-∞,34.
(2)f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,随着x的增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,随着x的增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故排除A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+lnx=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除D.故选C.
(3)y=|x|(1-x)
=-x-122+14,x≥0,x-122-14,x<0.
画出函数的图象如图所示.

由图易知原函数在0,12上单调递增.故选B.
例3(1)9　(2)D　(1)∵f(x)的定义域为[1,+∞),且f(x)在定义域上单调递增,
∴f(x)min=f(1)=9.故答案为9.
(2)函数y=2-xx+1=3-(x+1)x+1=3x+1-1在区间(-1,+∞)上单调递减.
当x=2时,y=0.根据题意x∈(m,n]时,ymin=0.所以m的取值范围是[-1,2).故选D.
对点训练3D　因为a?b=a,a≥b,b2,a 例4(1)B　(2)A　(1)由指数与对数运算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.
因为22b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a<22b+log22b.
令f(x)=2x+log2x,由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.由f(a) (2)由于e416=e442,e525=e552,e636=e662,故可构造函数f(x)=exx2(x≠0),于是f(4)=e416,f(5)=e525,f(6)=e636.而f'(x)=exx2'=ex·x2-ex·2xx4=ex(x2-2x)x4,令f'(x)>0得x<0或x>2,即函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,因此有f(4) 对点训练4C　构造函数g(x)=f(x)x,则函数g(x)是减函数.
a=25f(0.22)=f(0.22)0.22=g(0.22),
b=f(1)=f(1)1=g(1),
c=-log53f(log135)=f(log35)log35=g(log35),
∵0.22<1b>c.
例5D　不等式xf(x-1)≥0可化为x≥0,f(x-1)≥0或x≤0,f(x-1)≤0,
∵f(2)=0,∴f(-2)=0.
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.
∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,
∴f(x)在(0,+∞)上也单调递减.
∴x≥0,x-1≥0,x-1≤2或x≤0,x-1≤0,x-1≥-2,
解得1≤x≤3或-1≤x≤0,
∴满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选D.
对点训练5(-3,-1)∪(3,+∞)　由已知可得a2-a>0,a+3>0,a2-a>a+3,解得-33,所以实数a的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).
例6C　原问题等价于f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(|log2a|)≤f(1),所以|log2a|≤1.求解关于实数a的对数不等式,可得实数a的取值范围是12,2.
对点训练6D　令t=g(x)=x2-ax+3a,易知f(t)=log13t在其定义域上单调递减,要使f(x)=log13(x2-ax+3a)在[1,+∞)上单调递减,则t=g(x)=x2-ax+3a在[1,+∞)上单调递增,且t=g(x)=x2-ax+3a>0,即--a2≤1,g(1)>0,所以a≤2,a>-12,即-12