新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：7.2　空间点、直线、平面之间的位置关系

  www.ks5u.com7.2　空间点、直线、平面之间的位置关系

必备知识预案自诊　

知识梳理

1.平面的基本性质

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

3.异面直线所成的角

(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围:0°<α≤90°.

4.等角定理:如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

考点自诊

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(　　)

(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作α∩β=A.(　　)

(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b不可能是平行直线.(　　)

(4)两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.(　　)

(5)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.(　　)

2.下列命题正确的个数为(　　)

①梯形一定是平面图形;

②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;

④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.

A.0 B.1 

C.2 D.3

3.(2020浙江,6)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.(2020黑龙江大庆实验中学高三线上测试)已知如图,点E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中点,则(　　)

A.GH=2EF,且直线EF,GH是相交直线

B.GH=2EF,且直线EF,GH是异面直线

C.GH≠2EF,且直线EF,GH是相交直线

D.GH≠2EF,且直线EF,GH是异面直线

5.(2020全国2,16改编)设有下列四个命题:

p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.

p4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.

则上述命题中的真命题是　　　　. 

关键能力学案突破　

【例1】

(1)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC=AD,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点.

①四边形BCHG的形状是　　　　　; 

②点C,D,E,F,G中,能共面的四点是　　　　　. 

(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是　　　　　. 

解题心得共面、共线、共点问题的证明

(1)证明点或线共面问题的两种方法:①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.

(2)证明点共线问题的两种方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上.

(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.

对点训练1(1)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是(　　)

(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:

①E,C,D1,F四点共面;

②CE,D1F,DA三线共点.

【例2】(2019全国3,理8)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则(　　)

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线

B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线

D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线

解题心得异面直线的判定方法

对点训练2(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(　　)

A.l与l1,l2都不相交

B.l与l1,l2都相交

C.l至多与l1,l2中的一条相交

D.l至少与l1,l2中的一条相交

(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:

①直线AM与CC1是相交直线;

②直线AM与BN是平行直线;

③直线BN与MB1是异面直线;

④直线AM与DD1是异面直线.

其中所有正确的结论为　　　　(填序号). 

【例3】如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

A.　　　　　　　　B.

C. D.

思维变式1(变条件)将本例条件“AA1=2AB=2”变为“AB=1,若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”,其他条件不变,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为　　　　. 

思维变式2(变设问)将本例条件“AA1=2AB=2”变为“AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”,其他条件不变,则AA1的值为　　　　. 

解题心得求解异面直线所成角的方法

对点训练3(2020安徽马鞍山第二中学高三第二次阶段性素质测试)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的余弦值为(　　)

A. B.

C. D.0

7.2　空间点、直线、平面

之间的位置关系

必备知识·预案自诊

知识梳理

1.一条直线上的三个点　两个点　有且只有一条

考点自诊

1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×

2.C　①因梯形有一组对边平行,所以梯形可以确定一个平面,故①正确;

②如等腰三角形中,AB,AC与底边直线BC所成的角相等,而直线AB,AC不平行,故②错误;

③两两相交的三条直线,比如墙角处的三条交线最多可以确定三个平面,故③正确;

④如果两个平面有三个共线的公共点,这两个平面不重合,故④错误.故选C.

3.B　由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图,

三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内,

所以“m,n,l”共面是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.

4.C　设正方体的棱长为2,则EF=A1B=,GH=,所以GH≠2EF.设M,N分别为CC1和A1D1的中点,则六边形EFGMHN是过E,F,G,H四点的平面截正方体的截面,所以EF与GH是共面直线,且EF与GH不平行,所以EF与GH是相交直线.故选C.

5.p1,p4　对于命题p1,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为α;

若l3与l1相交,则交点A在平面α内,同理,l3与l2的交点B也在平面α内,

所以,AB⊂α,即l3⊂α,命题p1为真命题;

对于命题p2,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,命题p2为假命题;

对于命题p3,空间中两条直线可能相交、平行或异面,命题p3为假命题;

对于命题p4,若直线m⊥平面α,

则直线m垂直于平面α内所有直线,

∵直线l⊂平面α,∴直线m⊥直线l,

命题p4为真命题.

综上可知,p1,p4为真命题,p2,p3为假命题.

关键能力·学案突破

例1(1)①平行四边形　②C,D,E,F　(2)点O在直线C1M上　(1)①因为G,H分别为FA,FD的中点,所以GHAD.

又BCAD,所以GHBC,

所以四边形BCHG为平行四边形.

②由BE=FA,G为FA的中点,知BE=FG,又BE∥AF,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.

由①知BG∥CH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.

又D∈FH,所以C,D,E,F四点共面.

(2)如图所示,连接A1C,因为A1C⊂平面A1ACC1,O∈A1C,所以O∈平面A1ACC1,而O是平面BDC1与直线A1C的交点,所以O∈平面BDC1,所以点O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.因为AC∩BD=M,所以M∈平面BDC1.又M∈平面A1ACC1,所以平面BDC1∩平面A1ACC1=C1M,所以O∈C1M.

对点训练1(1)D　A,B,C图中四点一定共面,D中四点不共面.

(2)证明①如图,连接EF,CD1,A1B.

∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥A1B.

又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面.

②∵EF∥CD1,EF<CD1,

∴CE与D1F必相交,

设交点为P,如图所示.

则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,

得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,

∴P∈直线DA,

∴CE,D1F,DA三线共点.

例2B　如图,连接BD,BE.

在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,

∴BM,EN是相交直线,排除选项C,D.

作EO⊥CD于点O,连接ON.

作MF⊥OD于点F,连接BF.

∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.

同理,MF⊥平面ABCD.

∴△MFB与△EON均为直角三角形.

设正方形ABCD的边长为2,易知EO=,ON=1,MF=,BF=,则EN==2,BM=,

∴BM≠EN.故选B.

对点训练2(1)D　(2)③④　(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.

(2)直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误.结论③④正确.

例3D　连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,易得A1C1=,A1B=BC1=,

故cos∠A1BC1=,即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.

思维变式1　由平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1,得AA1=1.

此时正四棱柱变为正方体ABCD-A1B1C1D1.

由图知A1B与AD1所成角为∠A1BC1,连接A1C1,

则△A1BC1为等边三角形,

∴∠A1BC1=60°,∴cos∠A1BC1=,

故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.

思维变式23　设AA1=t.

∵A1C1=,A1B==BC1,

∴cos∠A1BC1=

=.

∴t=3,即AA1=3.

对点训练3

B　连接BE,∵CD∥AB,∴∠BAE是异面直线AE与CD所成角(或所成角的补角),设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则AB=2,又点E是CC1的中点,∴BE=.

又AB⊥BE,

∴AE==3,∴异面直线AE与CD所成角(或所成角的补角)的余弦值为cos∠BAE=.故异面直线AE与CD所成角的余弦值为.故选B.