2022版新高考数学人教版一轮练习：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

 [考案4]

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

(时间：45分钟　满分100分)

一、单选题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．(2021·河北衡水检测)若复数z1与z2＝－3－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝(　B　)

A．－3－i　　 B．－3＋i

C．3＋i　　 D．3－i

[解析]　z2＝－3－i在复平面内对应点(－3，－1)，点(－3，－1)关于实轴对称的点的坐标为(－3,1)，所以z1＝－3＋i.

2．(2021·湖北名校联考)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　A　)

A.　　 B．

C．i(1＋i)2　　 D．i2(1＋i)

[解析]　因为＝＝－i，＝＝1－i，i(1＋i)2＝i×2i＝－2，i2(1＋i)＝－1－i，所以运算结果为纯虚数的是.故选A.

3．(2021·武汉市调研考试)已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z＝(　D　)

A．1－i　　 B．1＋i

C.－i　　 D．＋i

[解析]　设z＝a＋bi，其中a，b∈R，由z＋|z|＝3＋i，得a＋bi＋＝3＋i，由复数相等可得解得故z＝＋i.故选D.

4．(2021·江南十校联考)设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则(　D　)

A.＝－　　 B．＝－

C.＝－　　 D．＝－

[解析]　＝－＝＋－＝－－＝－.故选D.

5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos m，n＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　B　)

A．4　　 B．－4　　

C．　　 D．－

[解析]　由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3k，|n|＝4k(k>0)，又n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n＝t|m||n|·cos m，n＋|n|2＝t×3k×4k×＋(4k)2＝4tk2＋16k2＝0，所以t＝－4.

6．(2021·浙江金华十校期末)平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝(　A　)

A．1　　 B．2　　

C．　　 D．5

[解析]　解法一：∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°，又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a·b＝－2，b·c＝a·c＝－1，∴|a＋b＋c|2＝4＋4＋1－4－2－2＝1，∴|a＋b＋c|＝1.故选A.

解法二：设a＋b＝d，∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°，∴d＝λc(λ<0)，又|a|＝|b|＝2，∴|d|＝2，又|c|＝1，∴d＝－2c，∴|a＋b＋c|＝|－c|＝1.故选A.

解法三：a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°.如图，建立平面直角坐标系，又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a＝(－1，)，b＝(－1，－)，c＝(1,0)，∴a＋b＋c＝(－1,0)，∴|a＋b＋c|＝1.故选A.

7．(2021·四川成都外国语学校月考)设P是△ABC所在平面内的一点，若·(＋)＝2·且||2＝||2－2·，则点P是△ABC的(　A　)

A．外心　　 B．内心　　

C．重心　　 D．垂心

[解析]　由·(＋)＝2·，得·(＋－2)＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，

所以·(＋)＝0.设D为AB的中点，

则·2＝0，故·＝0.

因为||2＝||2－2·，

所以(＋)·(－)＝2·，

所以·(＋－2)＝0.

设BC的中点为E，同理可得·＝0，

所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，

所以P是△ABC的外心．故选A.

二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

8．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　AB　)

A．－　　 B．

C．0　　 D．2

[解析]　由a∥b知1×2－m2＝0，所以m＝±.故选AB.

9．(2021·山东部分重点中学新高三起点考试)已知复数z＝(2＋i)(a＋2i3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值可以是(　CD　)

A．－2　　 B．－1

C．1　　 D．2

[解析]　复数z＝(2＋i)(a＋2i3)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i，其在复平面内对应的点(2a＋2，a－4)在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－1<a<4，则实数a的取值范围是(－1,4)．故选C、D.

10．设向量a＝(k,2)，b＝(1，－1)，则下列叙述错误的是(　CD　)

A．若k<－2时，则a与b夹角为钝角

B．|a|的最小值为2

C．与b共线的单位向量只有一个为

D．若|a|＝2|b|，则k＝±2

[解析]　当k<－2时，a·b＝k－2<0，且a与b不共线，故A正确．|a|＝≥2，故B正确．与b共线的单位向量有两个分别为和，故C错．对于D，当|a|＝2|b|时，＝2，解得k＝±2，故D错，因此选C、D.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

11．(2021·河南郑州一中摸底)复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，i为虚数单位，若是实数，则实数b的值为  6  .

[解析]　由题意设＝a(a∈R)，则＝a，即3－bi＝a－2ai，解得a＝3，b＝6.

12．(2020·河北衡水中学期末联考)已知在平行四边形ABCD中，＝，＝x＋y，则x－y＝　－　.

[解析]　本题考查平面向量基本定理及线性运算．由题意，＝＋＝＋，＝＝－，所以＝－＋＝－＋.又＝x＋y，所以x＝－1，y＝.因此，x－y＝－.

13．(2021·天津二十四中月考)已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为　　.

[解析]　∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)，

∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝.

14．(2021·重庆一中月考)设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|b|＝|a|，向量a，b的夹角为135°，则向量a，c的夹角为　90°　.

[解析]　通解：∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴a2＋b·a＝－a·c.∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴a·b＝－|a|2，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.

优解一：如图所示，建立平面直角坐标系，设|a|＝|b|＝2，则a＝(2,0)，b＝(－，)，∵a＋b＋c＝0，∴c＝(0，－2)，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.

优解二：如图所示，∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴(a＋b)⊥a，又a＋b＝－c，∴a，c的夹角为90°.

四、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分15分)(2020·湖南怀化重点中学第三次联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，设m＝a＋tb(t∈R)．

(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；

(2)若a⊥b，是否存在实数t，使得向量a－b与向量m的夹角为？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．

[解析]　(1)当α＝时，b＝，a·b＝(1,2)·＝.

所以|m|＝＝＝＝，

所以当t＝－时，|m|取最小值．

(2)假设存在满足条件的实数t，则由条件得

cos ＝.

因为a⊥b，所以a·b＝0，所以(a－b)·(a＋tb)＝a2＋(t－1)a·b－tb2＝5－t，

|a－b|＝＝＝，

|a＋tb|＝＝＝，

所以＝，即t2＋5t－5＝0，且t<5，

解得t＝.

所以存在t＝满足题意．

16．(本小题满分15分)(2021·湖北孝感高中模拟)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．

(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．

[解析]　(1)因为m∥n，所以asin A＝bsin B，即a2＝b2，

所以a＝b，即△ABC为等腰三角形．

(2)因为m⊥p，所以a(b－2)＋b(a－2)＝0，即ab＝a＋b.

由余弦定理可知，4＝a2＋b2－2abcos＝(a＋b)2－3ab，

即(ab)2－3ab－4＝0.

解方程得：ab＝4(ab＝－1舍去)，

所以S＝absin C＝×4×＝.