2022版新高考数学人教版一轮练习：（49） 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

这是一份2022版新高考数学人教版一轮练习：（49） 直线的倾斜角、斜率与直线的方程，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
 [练案49]第八章　解析几何第一讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程A组基础巩固一、单选题1．(2021·浙江衢州质检)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　D　)A．　　 B．　　C．　　 D．[解析]　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，又α∈[0，π)，所以α＝.2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　D　)A．k1<k2<k3　　 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1　　 D．k1<k3<k2[解析]　直线l1的倾斜角α1为钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.3．直线3x＋2y＝6的倾斜角的余弦值为(　B　)A．　　 B．－C．　　 D．－[解析]　记直线3x＋2y＝6的倾斜角为α，则tan α＝－，∴＝，解得cos α＝－，故选B.4．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为(　B　)A．2x＋y＝0　　 B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0　　 D．x－2y－5＝0[解析]　设P(x0,0)，Q(0，y0)，∵M(1，－2)为线段PQ中点，∴x0＝2，y0＝－4，∴直线PQ的方程为＋＝1，即2x－y－4＝0.5．(2021·成都诊断)过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　A　)A．x＝2　　 B．y＝1C．x＝1　　 D．y＝2[解析]　直线y＝ －x－1的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2,1)，所以所求直线方程为x＝2.6．(2021·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　B　)A．　　 B．C．∪　　 D．∪[解析]　k＝－∈[－1,0)，因此倾斜角的取值范围，选B. 7．(2021·重庆一中期中)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　D　)A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0或x＋y－3＝0D．2x－y＝0或x－y＋1＝0[解析]　当直线过原点时方程为y＝2x，即2x－y＝0，当直线不过原点时，设方程为＋＝1，代入A的坐标求出a＝－1，方程为x－y＋1＝0，故选D.8．(2021·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　A　)A．(－2,1)　　 B．(－1,2)C．(－∞，0)　　 D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析]　由题意知k＝<0，∴(a－1)(a＋2)<0，即－2<a<1.故选A.9．(2021·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　A　)A．ab>0，bc<0　　 B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0　　 D．ab<0，bc<0[解析]　由题意可知直线斜率小于0，纵截距大于0，即，∴，故选A.二、多选题10．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0通过(　ABD　)A．第一象限　　 B．第二象限C．第三象限　　 D．第四象限[解析]　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0知，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选A、B、D.11．下列说法正确的是(　AB　)A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B．点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1,1)C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0[解析]　A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2正确，B中在直线y＝x＋1上，且(0,2)，(1,1)连线的斜率为－1，所以B正确，C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线y＝x.12．(2021·福建六校联考改编)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　BD　)[解析]　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.结合选项知B符合，当a>0，b<0时，－a<0，－b>0，选项D符合，当a<0，b>0或a<0，b<0或a＝0或b＝0时都不符合，故选B、D.13．过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程可以是(　AB　)A．2x＋y－12＝0　　 B．2x－5y＝0C．x－2y－1＝0　　 D．2x＋5y＝0[解析]　设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为＋＝1，又直线过点(5,2)，所以＋＝1，解得a＝6，∴所求直线方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0.故选AB.三、填空题14．(2021·新高考八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　，  －3  .[解析]　正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OB的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝，kOB＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3.故答案为：；－3.15．经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程为  3x＋4y＋15＝0  .[解析]　由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.又直线经过点A(－1，－3)．因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.16．如图，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线BC的方程为  x－2y－1＝0  .[解析]　设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，∵A(5，－2)，B(7,3)，又M是AC的中点，∴5＋m＝0，m＝－5，N是BC的中点，∴3＋n＝0，n＝－3，∴点C的坐标为(－5，－3)，则kBC＝＝，∴BC的方程为y－3＝(x－7)，即x－2y－1＝0.17．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为  x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0  .[解析]　设所求直线l的方程为＋＝1.∵k＝，即＝－，∴a＝－6b.又三角形面积S＝3＝|a|·|b|，∴|ab|＝6.则当b＝1时，a＝－6；当b＝－1时，a＝6.∴所求直线方程为＋＝1或＋＝1.即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.B组能力提升1．(2021·北京东城期末)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>”是“k>”的(　B　)A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件[解析]　当<α<π时，k<0；当k>时，<α<.所以“α>”是“k>”的必要不充分条件，故选B.2．(2021·湖北孝感调研)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l的方程为－kx＋y＋k－1＝0，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(　A　)A．k≥或k≤－4　　 B．k≥或k≤－C．－4≤k≤　　 D．≤k≤4[解析]　直线l的方程－kx＋y＋k－1＝0可化为k(1－x)＋y－1＝0，∴直线l过定点P(1,1)．如图所示．直线PA的斜率kPA＝＝－4，直线PB的斜率kPB＝＝，则直线l与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是k≤－4或k≥.故选A.3．(2021·湖北四地七校联考)已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　D　)A．　　 B．　　C．　　 D．[解析]　由f＝f知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－1，所以直线的倾斜角为，故选D.4．(2021·山西模拟)若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为  16  .[解析]　根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以1＝2≥4，即ab≥16.当且仅当a＝b＝－4时等号成立．即ab的最小值为16.5．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线与两坐标轴所围成三角形面积为4，求直线l的方程；(4)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程，[解析]　(1)证明：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立．所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0.解得x0＝－2，y0＝1，故直线l过定点(－2,1)．另证：kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然x＝－2，y＝1时对任意k方程都成立，故直线过定点(－2,1)．(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是k≥0.(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，由题意得＝4，解得k＝或k＝或k＝－，故所求直线方程为x－2y＋4＝0或(2－3)x－2y＋4(－1)＝0或(2＋3)x＋2y＋4(＋1)＝0.(4)又－<0，且1＋2k>0，∴k>0，∴S＝＝≥(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.