2022版新高考数学人教版一轮练习：第八章　解析几何

这是一份2022版新高考数学人教版一轮练习：第八章　解析几何，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 [考案8]
第八章　解析几何
(时间：120分钟　满分150分)
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2021·吉林长春实验中学期末)设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为(　B　)
A．y＝2x＋5　　 B．y＝2x－5
C．y＝3x＋5　　 D．y＝x＋
[解析]　A关于y＝x的对称点为A1(1，－3)，A关于x＝0的对称点为A2(3,1)，又A1、A2都在BC上，∴kBC＝2.∴BC的方程为y＋3＝2(x－1)，即y＝2x－5.
2．(2021·云南昆明一中摸底)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y2＝1的渐近线的距离为(　B　)
A.　　 B．　　
C．　　 D．2
[解析]　因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为x±y＝0，
所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为
d＝＝，故选B.
3．(2021·广西钦州一中月考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　C　)
A.　　 B．　　
C．3　　 D．2
[解析]　如图所示：

过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，
所以|PQ||PF|＝34，又焦点F到准线l的距离为4，
所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.
4．(2021·四川南充适应性考试)过圆O：x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为(　A　)
A．4x－y－4＝0　　 B．4x＋y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0　　 D．4x－y＋4＝0
[解析]　设切点为N(x0，y0)，则切线方程为xx0＋yy0＝4，又切线过点(4，－1)，∴4x0－y0＝4，即切点在直线4x－y＝4上，∴过两切点的直线方程为4x－y－4＝0.
5．(2021·陕西百校联盟联考)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2且与椭圆C交于M，N两点，且＝，若|OA|＝|AF2|，则直线l的斜率为(　B　)
A．±1　　 B．±　　
C．±　　 D．±
[解析]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则两式相减可得＋＝0，则kOA·kMN＝－；因为|OA|＝|AF2|，故kOA＝－kMN，解得是kMN＝±，故直线l的斜率为±.
6．(2019·高考天津卷)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　D　)
A.　　 B．　　
C．2　　 D．
[解析]　抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
则有A，B，
∴|AB|＝，＝4，b＝2a，
∴e＝＝＝.故选D.
7．(2021·黑龙江哈尔滨模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点与圆M：(x－2)2＋y2＝5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为(　A　)
A．2　　 B．　　
C．　　 D．3
[解析]　由已知，c＝2，渐近线方程为bx±ay＝0，因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，所以圆心M到渐近线的距离为＝＝＝＝b，故a＝＝1，所以离心率为e＝＝2.故选A.
8．(2021·湖南省六校联考)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为(　C　)
A.　　 B．3　　
C．6　　 D．
[解析]　设椭圆长轴2a1，双曲线实轴2a2，

由题意可知：|F1F2|＝|F2P|＝2c，
又∵|F1P|＋|F2P|＝2a1，|F1P|－|F2P|＝2a2，
∴|F1P|＋2c＝2a1，|F1P|－2c＝2a2，
两式相减，可得：a1－a2＝2c，
∵＋＝＋＝，
∴＋＝＝＝4＋＋≥4＋2＝6，
当且仅当＝时取等号，
∴＋的最小值为6，故选C.
二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．(2021·山东滨州期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的是(　ABC　)
A．离心率为
B．双曲线过点
C．渐近线方程为3x±4y＝0
D．实轴长为4
[解析]　∵c＝5，由e＝＝知a＝4，∴b2＝c2－a2＝9，A正确；∵双曲线过点P，∴2a＝|PF1|－|PF2|＝－＝8，∴a＝4，B正确；由渐近线方程为3x±4y＝0知＝，又c2＝a2＋b2＝25，∴a＝4，b＝3，C正确；若2a＝4，则a＝2，从而b2＝c2－a2＝21，D错，故选ABC.
10. (2021·广东实验中学阶段测试)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是(　ABD　)

A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
[解析]　由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a－c，最大值为a＋c，所以A正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即＝＝－1＋越小，则e越大，椭圆越扁，故C不正确；因为运行速度是变化的，向径是变化的，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；故选ABD.
11．(2021·山东质检)已知双曲线C：－＝1，过其右焦点F的直线l与双曲线交于两点A，B，则(　BD　)
A．若A，B同在双曲线的右支，则l的斜率大于
B．若A在双曲线的右支，则|FA|最短长度为2
C．|AB|的最短长度为
D．满足|AB|＝11的直线有4条
[解析]　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若A、B同在双曲线的右支，则kl>或kl0)的焦点，若直线l与圆(x－2)2＋y2＝4相切，则p＝ 12 .
[解析]　斜率为的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，
直线l的方程为y＝，即x－y－＝0，
∵直线l与圆M：(x－2)2＋y2＝4相切，圆心为(2,0)，半径为2，
∴＝2，解得p＝12或p＝－4(舍去)．
故答案为：12.
14．(2021·山西八校联考改编)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的左支交于A，B两点，且＝3，∠ABF2＝90°，则C的离心率是　　.
[解析]　如图，不妨设|F1B|＝1，则|AB|＝4，|F2B|＝2a＋1，|F2A|＝2a＋3，在Rt△ABF2中，由勾股定理得16＋(2a＋1)2＝(2a＋3)2，解得a＝1.

在Rt△F1BF2中，
|F1B|＝1，|F2B|＝2a＋1＝3，
|F1F2|＝2c，∴1＋9＝4c2，
∴c＝，∴e＝＝.
15．(2020·安徽1号卷A10联前盟联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M、N在抛物线上，且M、N、F三点共线，点P在准线l上，若＝，则＝　　.
[解析]　分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为M1，N1，则|MM1|＝|MF|，|NN1|＝|NF|，
∴＝＝＝
设|NF|＝m，则|MF|＝2m，从而|PN|＝3m，
∴＝＝，则m＝p，
∴＝＝.
16．(2021·山东日照联考)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m>0，n>0)．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　－1　；双曲线N的离心率为 2 .
[解析]　由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c＋c，再根据椭圆定义得c＋c＝2a，所以椭圆M的离心率为＝＝－1.双曲线N的渐近线方程为y＝±x，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，∴＝tan2＝3，∴e2＝＝＝4，∴e＝2.
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2021·江苏徐州学情调研)在①离心率为，且经过点(3,4)；②离心率为，且焦距为2.这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l存在，求出l的方程；若问题中的直线l不存在，说明理由．
问题：已知曲线C：mx2＋ny2＝1(m，n≠0)的焦点在x轴上， ，是否存在过点P(－1,1)的直线l，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点？
注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计算．
[解析]　选条件①：由题设得曲线C为焦点在x轴上的双曲线，
设m＝，n＝－(a>0，b>0)，
所以C的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题设得，解得a2＝1，b2＝2，
所以C的方程为x2－＝1，
1°当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，
与曲线C有且仅有一个交点(－1,0)，不符合题意；
2°当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，即y＝k(x＋1)＋1，
入x2－＝1得(2－k2)x2－2k(k＋1)x－(k2＋2k＋3)＝0(*)，
若2－k2＝0，即k＝±时，方程(*)有且仅有一解，不符合题意；
若2－k2≠0，即k≠±时，
其判别式Δ＝[2k(k＋1)]2－4(k2－2)(k2＋2k＋3)＝8(2k＋3)>0，则k>－，
所以方程(*)有两个不同实数解时，
k>－且k≠±，
于是x1＋x2＝－＝2·(－1)＝－2，
解得k＝－2，与k>－且k≠±矛盾！
所以，不存在直线l，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点．
选条件②：由题设得曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设m＝，n＝(a>b>0)，
所以C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题设得，解得a2＝4，b2＝3，
所以C的方程为＋＝1，
1°当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，
代入＋＝1得y＝±，
P(－1,1)不是线段AB的中点，不符合题意；
2°当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，即y＝k(x＋1)＋1，
代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋8k(k＋1)x＋4(k2＋2k－2)＝0，
其判别式Δ＝[8k(k＋1)]2－4·(3＋4k2)·4(k2＋2k－2)＝16(5k2－6k＋6)>0，
于是x1＋x2＝－＝2·(－1)＝－2，
解得k＝，
故y＝(x＋1)＋1＝x＋，即3x－4y＋7＝0，
所以存在直线l：3x－4y＋7＝0，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点．
18．(本小题满分12分)(2021·安徽蚌埠质检)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于P，Q两点，|PQ|＝4.
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点F的坐标和准线l的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于不同的两点A，B，直线OA与准线l交于点M.连接MF，过点F作MF的垂线与准线l交于点N.求证：O，B，N三点共线(O为坐标原点)．
[解析]　(1)|PQ|＝2p＝4，则p＝2，
故抛物线C的方程为y2＝4x，
其焦点F坐标为(1,0)，
准线l方程为x＝－1.
(2)设直线AB：x＝ty＋1，联立，
得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
直线OA：y＝x，由y＝4x1得y＝x，
故M.
直线MF的斜率kMF＝＝，
直线FN的斜率kFN＝－.
直线FN：y＝－(x－1)，则N(－1，y1)，
直线ON的斜率kON＝－y1，
直线OB的斜率kOB＝，
由y＝4x2得kOB＝，
则kOB－kON＝－(－y1)＝＝＝0.
∴O，B，N三点共线．
19．(本小题满分12分)(2019·天津高考卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
[解析]　(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，
＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)．
设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，
则直线PB的方程为y＝kx＋2，
与椭圆方程联立
整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，
可得xP＝－，代入y＝kx＋2得yP＝，
进而直线OP的斜率＝.
在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.
由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.
由OP⊥MN，得·＝－1，
化简得k2＝，从而k＝±.
所以，直线PB的斜率为或－.
20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M(m,0)，使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解析]　(1)由e＝得a＝2c，
|AF1|＝2，|AF2|＝2a－2，
由余弦定理得，|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos 60°＝|F1F2|2，
解得c＝1，a＝2，b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)存在这样的点M.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，
由F2(1,0)，设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，
故x0＝＝，
又点N在直线PQ上，所以y0＝，
所以N.
因为MN⊥PQ，所以kMN＝＝－，
整理得m＝＝∈，
所以存在点M(m,0)，使得MN⊥PQ，
m的取值范围为.
21．(本小题满分12分)(2021·浙江金色联盟百校联考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点F到抛物线准线的距离为2，若椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点也为F，离心率为.
(1)求抛物线方程和椭圆方程；
(2)若不经过F的直线l与抛物线交于A，B两点，且·＝－3(O为坐标原点)，直线l与椭圆交于C，D两点，求△CDF面积的最大值．
[解析]　(1)由已知得，p＝2，F(1,0)，
∴c＝1，e＝＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3，
所以抛物线方程为y2＝4x，
椭圆方程为＋＝1.
(2)设直线l方程为：my＝x＋n，
由消去x得，y2－4my＋4n＝0，
由Δ＝(4m)2－4·4n＝16m2－16n>0即m2－n>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
因为·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝＋4n＝n2＋4n＝－3，
所以n＝－3或n＝－1(舍去)，
所以直线l方程为：my＝x－3.
由消去x得，(3m2＋4)y2＋18my＋15＝0.
设C(xC，yC)，D(xD，yD)，则
所以S△CDF＝|EF|·|yC－yD|＝×2×|yC－yD|＝|yC－yD|
＝＝
＝.
令＝t(t>0)，则m2＝，
所以S(t)＝4·＝≤＝，
当且仅当t＝3时，即m＝±时，取最大值.
22．(本小题满分12分)(2021·云南玉溪质检)如图，在平面直角坐标系中，已知点F(－2，0)，直线l：x＝－4，过动点P作PH⊥l于点H，∠HPF的平分线交x轴于点M，且|PH|＝|MF|，记动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；
(2)过点N(0,2)作两条直线，分别交曲线C于A，B两点(异于N点)．当直线NA，NB的斜率之和为2时，直线AB是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
[解析]　(1)设P(x，y)，由已知PH∥FM，
∴∠HPM＝∠FMP，
∵∠HPM＝∠FPM，∴∠FMP＝∠FPM，∴|MF|＝|PF|，
∴＝＝，即＝，
化简得＋＝1，
∴曲线C的方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当直线AB的斜率存在时，
设其方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠2)，
且设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
由已知Δ>0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
由已知kNA＋kNB＝2，得＋＝2，
整理得2(k－1)x1x2＋(m－2)(x1＋x2)＝0，
∴2(k－1)＋(m－2)＝0，
整理得(m－2)(4k－2m－4)＝0.
∵m≠2，∴m＝2k－2，
∴直线AB的方程为y＝kx＋2k－2，即y＋2＝k(x＋2)．
∴直线AB过定点(－2，－2)．
当直线AB的斜率不存在时，设其方程为x＝n，
且设A(n，y1)，B(n，y2)，
其中y1＝－y2.
由已知kNA＋kNB＝2，
得＋＝＝＝2，
∴n＝－2，
∴直线AB的方程为x＝－2，
此时直线AB也过定点(－2，－2)．
综上所述，直线AB恒过定点(－2，－2)．