2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题07 代数式中的解答题压轴题（1）（解析版）

专题07  《代数式》中的解答题压轴题（1）

（满分120分     时间：60分钟）       班级              姓名               得分          

一、解答题：

1. 一张如图的长方形原木板，锯去四个角，做成一个如图的长、宽、高分别为3a厘米，30厘米和a厘米的长方体木箱厚度忽略不计．

用含a的代数式表示图中原木板的长和宽，长：       厘米，宽：      厘米．

用含a的代数式表示图中木箱的表面积：               平方厘米．

若木板的利用率为，求a的值．利用率指木箱表面积与原木板面积的比值

【答案】解：由图可得，

长厘米，

宽厘米，

故答案为6a，；

平方厘米，

故答案为；

根据题意，得

，

解得，

经检验是原分式方程的解，

故a的值为10．

【解析】利用展开图进而得出答案；
利用长方体的表面积公式即可解答；
利用中所求表示出木箱的表面积，进而利用木板的利用率为，得出等式求出即可．
 

2. 某超市在十一长假期间对顾客实行优惠，规定如下：

小明的爷爷一次性购200元的保健食品，他实际付款_____元；小明的妈妈一次性购300元的衣服，她实际付款_____元；如果他们两人合作付款，则能少付_____元．

小芳奶奶在该超市一次性购物x元生活用品，当x大于或等于500时，她们实际付款_____元用含x的式子表示，写最简结果

如果小芳奶奶两次购物货款合计900元，第一次购物的货款为a元，两次购物小芳奶奶实际付款多少元？用含a的式子表示

【答案】  280   10   
  
解：元．
答：两次购物小芳奶奶实际付款元

【解析】

【分析】
本题考查了列代数式，代数式求值有关知识．
先计算出小明的爷爷一次性购200元的保健食品，所付的实际钱数，小明妈妈一次性购300元的衣服，所付的实际钱数，然后再解答即可；
根据题意列出代数式即可；
分别求出两次购物小芳奶奶实际付款的钱数，相加即可求解；
【解答】
解：小明的爷爷一次性购200元的保健食品，他实际付款元：小明妈妈一次性购300元的衣服，她实际付款元：如果他们两人合作付款，则能少付元．
故答案为190；280；10；
小芳奶奶在该超市一次性购物x元生活用品，当x大于或等于500时，她们实际付款元．
故答案为；
见答案．  

3. 某人去水果批发市场采购苹果，他看中了A，B两家苹果，这两家苹果品质一样，零售价都定为6元千克，批发价则各不相同．

A家规定：批发数量不超过1000千克，统一按零售价的优惠；批发数量超过1000千克不超过2000千克，统一按零售价的优惠；超过2000千克的统一按零售价的优惠．B家的规定如下表：

如果他批发700千克苹果，则他在A、B两家批发分别需要多少元？

如果他批发x千克苹果，请你分别用含x的代数式表示他在A、B两家批发所需的费用；

现在他要批发1600千克苹果，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由．

【答案】解：家：元，            
B家：元；
家：，
B家：；
当时，A：元，B：元，
故选择B家更优惠．

【解析】本题考查的是列代数式，代数式求值有关知识．
家批发需要费用：质量单价；
B家批发需要费用：单价单价；把相关数值代入求解即可；
根据题意和表格，分别用代数式表示出他在A、B两家批发所需的费用； 
把1600千克代入即可比较哪家便宜．
 

4. 已知对于任意的x都成立，求

的值；

的值；

的值．

【答案】解：
令，
则．
令，
则
，
令，
则
由，可得，
由，可得，




．

【解析】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：对于任意的x都成立都成立．
令，求出的值是多少即可．
令，求出的值是多少即可．
令，求出的值，即可求出的值是多少．
 

5. 定义：若，则称a与b是关于3的实验数．
     4与______是关于3的实验数，_____与是关于3的实验数用含x的代数式表示．
   若，，判断a与b是否是关于3 的实验数， 并说明理由．
   若，，且c与d是关于3的实验数，求x的值．

【答案】解：，；
与b是关于3的实验数，
理由：


，
与b是关于3的实验数；
与d是关于3的实验数，
，
，
，
当时，，解得；
当时，，所以此种情况x不存在；
当时，，解得．
或．

【解析】

【分析】
本题主要考查整式的加减，理解题目中所给实验数的定义是解题的关键．
由实验数的定义可求得答案；
计算是否等于3即可；
根据实验数的定义并结合绝对值的性质分类讨论即可解决．
【解答】
解：设4的关于3的实验数为a，
则，解得，
与是关于3的实验数，
设的关于3的实验数为b，
则，
解得，
与是关于3的实验数，
故答案为，；
见答案；
见答案．  

6. 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别是A，B，C三点，且多项式的常数项为a，多项式次数的相反数为b，请回答问题：   
   请直接写出a，b的值：_______，_______；   

若C在B点的右侧，且，求在数轴上C点表示的数c；   

在的条件下，若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点M到达点C时，点M停止；当点M运动到点B时，点N从点A出发，以每秒3个单位长度向右运动，点N到达点C后，再立即以同样的速度返回，当点M停止时点N也停止运动；设点M的运动时间为t秒，用含t的代数式表示M，N两点间的距离请直接写出答案．

【答案】，   

，



，且C在B的右侧，
       
，，，，

【解析】

【分析】
此题结合考查数轴与多项式，解决的关键是注意平时知识的学习与积累．
多项式是10次三项式，常数项是，次数是10，即可得出a与b的值；
由可知a与b的值，再结合C在B点的右侧，且即可求得c；
仔细读懂题意，分、、、五种情况进行讨论即可．
【解答】
解：多项式常数项是，次数是10，
，
故答案为，．
见答案．
，时M到达B，
，的最大值为36，
到达C的时间是：秒时，N到达C，
，当时，，当时，，当；
当，即时，N追上了M；
当，即时，N返回又遇到M；
当，；
当，；
当，；
当，；
当，．
故答案为，，，，．  

7. 已知，如图，在数轴上1，，三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和6个单位长度的速度向左运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．
   

秒钟过后，AC的长度为___________用t的关系式表示；

请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】解：；

的值不随着时间t的变化而变化，

理由：，

，

，

的值不随着时间t的变化而变化．

【解析】

【分析】
本题考查列代数式、数轴，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，利用数形结合的思想解答．
根据题意可以用代数式表示出AC的长度；
根据题意可以分别用代数式表示出BC和AB的长度，从而可以得到的值，从而可以解答本题．
【解答】
解：由题意可得，
t秒钟过后，AC的长度为，
故答案为；
见答案．  

8. 甲、乙两人两次同时在同一中石化加油站加92号汽油假设两次加92号汽油的单价不相同，甲每次加92号汽油50升，乙每次加92号汽油用去300元．

假设m、n分别表示两次加92号汽油的单价单位：元升，试用含m、n的代数式表示：甲两次加92号汽油共需付款__________元，乙两次加__________升的92号汽油；若甲两次加92号汽油的平均单价为每千克元，乙两次加92号汽油的平均单价为每千克元，则__________元，__________元．结果要化简

规定：谁两次加92号汽油的平均单价低，谁加92号汽油就更合算．请你判断甲、乙两人的加油方式哪一个更合算些，并说明理由．

【答案】解：；
，
，
乙的加油方式更合算．

【解析】

【分析】
本题主要考查了根据题意列代数式，以及运用作差法比较大小．
根据题意分别列出代数式即可
要想比较甲乙谁更省钱，只需求与的差，然后根据非负数的性质进行比较即可．
【解答】
解：两次单价分别为m、n，甲每次加92号汽油50升，甲两次加92号汽油共需付款元，乙两次加升的92号汽油，
，；
故答案为；
见答案．  

9. 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为
   若是“相伴数对”，求b的值；
   写出一个“相伴数对”，其中且；
   若是“相伴数对”，求代数式的值．

【答案】解：由题意得

解得：；
答案不唯一；
是“相伴数对”，
，
解得：，
原式



．

【解析】

【分析】

本题考查一元一次方程的解法，代数式求值．
把代入得到关于b的一元一次方程，解这个方程，即可求出b值；
假定a为一个数，如，把代入得到关于b的一元一次方程，解这个方程，即可求出b值，“从而得到相伴数对”答案不唯一的．
把代入，得到关于m、n的关系式，化简代数式，再将m、n的关系式代入代数式计算即可．
【解答】
解：见答案；
令，则有

，
解得：，
“相伴数对”为．
见答案．

10. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表：

例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为元．

请根据上表的内容解答下列问题：

若某户居民2月份用水5立方米，则应收水费多少元？

若某户居民3月份交水费36元，则用水量为多少立方米？

若某户居民4月份用水a立方米其中，请用含a的代数式表示应收水费．

若某户居民5、6两个月共用水18立方米月份用水量超过了10立方米，设5月份用水x立方米，请用含x的代数式表示该户居民5、6两个月共交水费多少元？

【答案】解：元
答：应收水费10元；
根据题意，
当用水为6立方米时，水费为元
当用水为10立方米时候，水费为元
所以收水费36元，用水超过10立方米，设用水量为x立方米，有
，解得
答：用水量为11立方米；     
根据题意可得用水a立方米，则有：
答：收水费元．
根据题意5，6月用水量有两种可能
月用水不过6立方米

当5月份不超过时，水费为元；
月用水超过6立方米，少于10立方米

当5月份超过时，水费为元．

【解析】本题考查列代数式的应用题，解题关键是理解题意，确定未知数和已知条件的关系，正确列出代数式．
详解见答案．
 

11. 已知整式，，，若一个次数不高于二次的整式可以表示为其中a、b、c为常数则可以进行如下分类：

若，，则称该整式为P类整式；

若，，，则称该整式为PQ类整式；

若，，则称该整式为PQR类整式．

模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义．

若_______________，则称该整式为“R类整式”．

若_______________，则称该整式为“QR类整式”．

例如则称该整式为“PQ类整式”，因为．

即，所以是“PQ类整式”

问题：是哪一类整式？请通过列式计算说明．

【答案】解：，；，，；

．
该整式为PQR类整式 

【解析】

【分析】
本题考查的是整式的概念有关知识．

类比得出R类整式和QR类整式的定义即可；

利用给出的PQR类整式得出意义待定得出a，b，c的数值即可．

【解答】

解：若，，则称该整式为R类整式，

若，，，则称该整式为QR类整式．

故答案为，；，，．

见答案．

12. A、B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C、D两地分别需要橘子30吨和70吨；已知从A、B到C、D的运价如表：

若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为         吨，从A果园将橘子运往D地的运输费用为         元．
用含x的式子表示出总运输费要求：列式、化简．
若这批橘子在C地和D地进行再加工，经测算，全部橘子加工完毕后总成本为w元，且满足则当          时，w有最          值填“大”或“小”这个值是         ．

【答案】解：；
从A果园运到C地x吨，运费为每吨15元；从A果园运到D地的橘子为吨，
运费为每吨12元；从B果园运到C地吨，运费为每吨10元；从B果园运到D地吨，运费为每吨9元；
所以总运费为：
；
；大；4360．

【解析】

【分析】
本题考查了列代数式．利用非正数的性质求出总成本的最值．
因为从A果园运到C地的橘子是x吨，剩下的都运往D地，所以运往D地的是吨．运输费用吨数每吨的运费．
总运费从A运往C、D的费用从B运往C、D的费用．
利用非正数的性质，求出函数的最值．
【解答】
解：因为从A果园运到C地的橘子是x吨，那么从A果园运到D地的橘子为吨，
从A运到D地的运费是12元每吨，所以A果园将橘子运往D地的运输费用为吨．
故答案为：，．
见答案；
，因为，所以最大值为0，
当时，，w有最大值．最大值是4360．
故答案为：25，大，4360．  

13. 用边长为1米的正方形彩色水泥砖和普通水泥砖，按下图方式铺一条5米宽的人行道，图中黑色部分为彩色水泥砖，白色部分为普通水泥砖．
    

如果人行道长10米，则需要彩色水泥砖__________块；如果人行道长11米，则需要彩色水泥砖__________块；

如果人行道长x米为正偶数，则需要彩色水泥砖__________块；如果人行道长x米为正奇数，则需要彩色水泥砖__________块；

在购买水泥砖时，恰逢市场促销，彩色水泥砖30元块，普通水泥砖20元块，优惠方案为：买一块彩色水泥砖赠送一块普通水泥砖如果人行道长x米为正整数，用含x的代数式表示购买水泥砖所需的总金额．

【答案】解：；17；
；；
当x为正偶数时：，
，
当x为正奇数时：，
．

【解析】

【分析】
本题考查了列代数式、求代数式的值等知识点．通过图表发现规律是解决本题的关键．注意对x的奇偶讨论．
 观察图形，发现规律：如果长度是偶数米，每2米用3块彩色水泥砖；如果长度是奇数米，则每2米比偶数多加块，据此计算得到结果；
根据中图形分析出的规律可得到长度与所用的彩色砖关系，可得结果；
分别根据当x为正偶数时和当x为正奇数时两种情况进行计算讨论．
【解答】
解：如果人行道长10米，则需要彩色水泥砖：块；
如果人行道长11米，则需要彩色水泥砖：块．
故答案为15；17；
如果人行道长x米为正偶数，则需要彩色水泥砖：块，
如果人行道长x米为正奇数，则需要彩色水泥砖：块．
故答案为；；
见答案．