高考数学一轮复习第五章数列第三节等比数列及其前n项和课时规范练理含解析新人教版

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第五章 数列 第三节 等比数列及其前n项和[A组　基础对点练]1．(2021·湖南衡阳模拟)在等比数列{an}中，a1a3＝a4＝4，则a6的所有可能值构成的集合是(　　)A．{6}     B．{－8，8}C．{－8}     D．{8}解析：∵a1·a3＝a＝4，∴a2＝±2.当a2＝－2时，a＝a2·a4＜0无意义，∴a2＝2，∴q2＝＝2，∴a6＝a4·q2＝4×2＝8.答案：D2．(2020·湖北荆州联考)已知数列{an}为等差数列，且2a1，2，2a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)A．15     B．C．6     D．3解析：由2a1，2，2a6成等比数列，可得4＝2a1·2a6＝2a1＋a6，即a1＋a6＝2，又数列{an}为等差数列，所以{an}前6项的和为×6(a1＋a6)＝6.答案：C3．(2020·安徽合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝(　　)A．4     B．C．2    D．解析：由题意，得解得或(舍去).答案：C4．(2021·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，a3＝8，则a6＝(　　)A．16     B．32C．64     D．128解析：由题意，设等比数列的公比为q(q>0)，由S3＝14，a3＝8，则解得a1＝2，q＝2，所以a6＝a1q5＝2×25＝64.答案：C5．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)A．21     B．42C．63     D．84解析：设数列{an}的公比为q，则a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.答案：B6．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)A．1     B．±1C．2     D．±2解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝＝1.答案：A7．(2020·山东临沂模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)A．－     B．C．－     D．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，又因为{an}是等比数列，所以a＋＝，所以a＝－.答案：A8．(2021·贵阳适应性考试)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，a2a6＝8(a4－2)，则S2 019＝(　　)A．22 018－     B．1－C．22 019－     D．1－解析：由等比数列的性质及a2a6＝8(a4－2)，得a＝8a4－16，解得a4＝4.又a4＝q3，故q＝2，所以S2 019＝＝22 018－.答案：A9．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由题意得－1＋3d＝－q3＝8⇒d＝3，q＝－2⇒＝＝1.答案：110．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．解析：(1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4，因此{an}的通项公式为an＝2·4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.11．已知数列{an}满足a1＝0，且an＋1－1＝2an(n∈N*).(1)求证：数列{an＋1}为等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析：(1)证明：∵an＋1－1＝2an，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝1，∴数列{an＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n－1，∴an＝2n－1－1，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(20－1)＋(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1－1)＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)－n＝2n－n－1.[B组　素养提升练]1．(2020·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为(　　)A．1     B．2C．3     D．4解析：由题意得a4a14＝(2)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3.答案：C2．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________．解析：设数列{an}的公比为q，则q3＝＝，解得q＝，a1＝＝4，a3＝a2q＝1.易知数列{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝＝(1－2－3n).答案：(1－2－3n)3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.证明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2·3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝＜，所以＋＋…＋＜.4．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2).(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)证明：因为an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2).因为a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，所以an＋2an－1≠0(n≥2)，所以＝3(n≥2)，所以数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15·3n－1＝5·3n，则an＋1＝－2an＋5·3n，所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n).又因为a1－3＝2，所以an－3n≠0，所以{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列，所以an－3n＝2·(－2)n－1，即an＝2·(－2)n－1＋3n.