高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第三节和差倍角的正弦余弦正切公式及恒等变换课时规范练理含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第三节和差倍角的正弦余弦正切公式及恒等变换课时规范练理含解析新人教版，共13页。
第三节 和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式及恒等变换

[A组　基础对点练]
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)tan 255°＝(　　)
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
解析：tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝＝2＋.
答案：D
2．计算：cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β＝(　　)
A．sin (α＋2β) B．sin α
C．cos (α＋2β) D．cos α
解析：原式＝cos [(α＋β)－β]＝cos α.
答案：D
3．(2021·四川成都模拟)计算：sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°
＝sin (20°＋10°)
＝sin 30°
＝.
答案：D
4．(2020·河南洛阳质检)已知tan ＝，则的值为(　　)
A． B．2
C．2 D．－2
解析：由tan ＝＝，解得tan α＝3，所以＝＝＝2.
答案：B
5．已知sin ＝，则sin 2θ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：因为sin ＝，
所以(sin θ＋cos θ)＝，两边平方得(1＋sin 2θ)＝，
解得sin 2θ＝－.
答案：A
6．(2021·黑龙江大庆模拟)已知 α，β都是锐角，且sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
解析：因为sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，
所以sin (α－β)＝cos α＝sin ，
所以α－β＝－α，即2α－β＝.
答案：B
7．已知sin α＝，sin (α－β)＝－，α，β均为锐角，则cos 2β＝(　　)
A．－ B．－1
C．0 D．1
解析：由题意知，cos α＝ ＝，
cos (α－β)＝ ＝，
所以cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝，
所以cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝0.
答案：C
8．(2020·苏北九校联考)已知5sin2α＝6cos α，α∈，则tan ＝(　　)
A．－ B．
C． D．
解析：由题意知，10sin αcos α＝6cos α，又α∈，
∴sin α＝，cos α＝，∴tan ＝＝＝＝＝.
答案：B
9．cos2－sin2＝________．
解析：由二倍角公式，得cos2－sin2＝cos＝.
答案：
10．已知tan ＝，则tan α＝________．
解析：法一：tan
＝tan
＝＝，
解得tan α＝.
法二：∵tan ＝tan ＝，
∴tan α＝tan ＝＝.
答案：
11．方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞2)的两根为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________．
解析：由题意得tan α＋tan β＝－3a＜0，
tan αtan β＝3a＋1＞0，所以tan α＜0，tan β＜0.
又因为α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，
tan (α＋β)＝＝＝1，
所以α＋β＝－.
答案：－
12．化简－sin 10°的值为________．
解析：原式＝－sin 10°
＝－sin 10°×
＝
＝＝＝.
答案：
13．已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan (α－β)的值．
解析：(1)cos 2α＝＝
＝＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin (α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝＝－.
14．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin (α＋π)的值；
(2)若角β满足sin (α＋β)＝，求cos β的值．
解析：(1)由角α的终边过点P，
得sin α＝－.
所以sin (α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，
得cos α＝－.
由sin (α＋β)＝，得cos (α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
[B组　素养提升练]
1．已知＝，则tan θ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：因为
＝
＝＝
＝，
所以tan ＝2，于是tan θ＝＝－.
答案：D
2．(2021·广东韶关模拟)若tan α＝lg (10a)，tan β＝lg a，且α－β＝，则实数a的值为(　　)
A．1 B．
C．1或 D．1或10
解析：因为α－β＝，所以tan (α－β)＝1.又因为tan α＝lg (10a)，tan β＝lg a，所以＝＝1，所以lg2a＋lg a＝0，所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.
答案：C
3．已知f(x)＝2cos .
设α，β∈，f＝－，f＝，求cos (α＋β)的值．
解析：由已知f(x)＝2cos .
又因为f＝－，
所以2cos ＝2cos ＝－，
所以sin α＝.
又因为f＝，
所以2cos ＝2cos β＝，
所以cos β＝.
又因为α，β∈，所以cos α＝，sin β＝，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
4．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan (α－β)＝－.
(1)求sin (α－β)的值；
(2)求cos β的值．
解析：(1)因为α，β∈，从而－＜α－β＜.
又因为tan (α－β)＝－＜0，
所以－＜α－β＜0.
利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，且＝－，
解得sin (α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos (α－β)＝.
因为α为锐角，sin α＝，所以cos α＝，
所以cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝×＋×＝.

[A组　基础对点练]
1．化简：＝(　　)
A．sin2α B．tan2α
C．sin2 D．tan2
解析：原式＝＝tan2.
答案：D
2．(2021·湖南长沙质检)sin 163°sin 223°＋sin 253°·sin 313°等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：原式＝sin 163°sin 223°＋cos 163°·cos 223°＝cos(163°－223°)＝cos (－60°)＝.
答案：B
3．若tan α＝，tan (α＋β)＝，则tan β＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝.
答案：A
4．计算：＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：原式＝－·＝·tan ＝－.
答案：D
5．(2020·吉林模拟)已知＝tan β，且β－α＝，则m＝(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
解析：由于＝＝tan β＝tan ＝，故m＝1.
答案：A
6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋·tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)
A．α＜＜β B．β＜＜α
C．＜α＜β D．＜β＜α
解析：因为α是锐角且sin α－cos α＝＞0，
所以sin α＞cos α，即tan α＞1，故α＞.
又因为tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，
所以tan (α＋β)＝＝，
故α＋β＝，
所以α＝－β＞，故β＜，所以β＜＜α.
答案：B
7．(2021·山东青岛模拟)若sin (α－β)sin β－cos (α－β)cos β＝，且α为第二象限角，则tan ＝(　　)
A．7 B．
C．－7 D．－
解析：法一：sin (α－β)sin β－cos (α－β)cos β＝，即sin αcos β sin β－cos αsin2β－cos αcos2β－sin αsin βcos β＝，即cos α＝－.又α为第二象限角，
∴tan α＝－，∴tan ＝＝.
法二：sin (α－β)sin β－cos (α－β)cos β＝，即－cos (α－β＋β)＝－cos α＝，即cos α＝－.又α为第二象限角，∴tan α＝－，∴tan ＝＝.
答案：B

8．已知13sin α＋5cos β＝9，13cos α＋5sin β＝15，那么sin (α＋β)的值为________．
解析：169＋130sin (α＋β)＋25＝306，所以sin (α＋β)＝.
答案：
9．已知＝，tan (α－β)＝，则tan β＝________．
解析：因为＝，所以＝，
＝1，所以tan α＝1.又因为tan (α－β)＝，
所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝
＝＝.
答案：
10．(2021·浙江宁波模拟)已知sin α＝，α∈，则＝________．
解析：＝＝cos α－sin α，
∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－，∴原式＝－.
答案：－
11．(2020·江西名校联考)已知cos ＋sin α＝，则sin 的值是________．
解析：∵cos ＋sin α＝，∴cos α＋sin α＝，＝，sin ＝，∴sin ＝，
∴sin ＝－sin ＝－.
答案：－
12．下列等式关系在α使其有意义的条件下，恒成立的有________．(填序号)
①(sin 2α－cos 2α)2＝1－sin 4α；
②tan －＝；
③1＋cos 2α＋2sin2α＝2；
④＝tan 2α.
解析：①(sin 2α－cos 2α)2＝sin22α＋cos22α－2sin2α·cos 2α＝1－sin 4α(正确).
②tan －＝＝＝－(错误).
③1＋cos 2α＋2sin2α＝2cos2α＋2sin2α＝2(正确).
④＝＝＝tan α(错误).
答案：①③
[B组　素养提升练]
1．已知f(x)＝2tan x －，则f＝________．
解析：因为f(x)＝2tan x－＝2tan x＋2·＝＋＝＝，
所以f＝＝＝8.
答案：8
2．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小值是__________．
解析：f(x)＝sin2x＋sinx·cos x＝＋sin 2x＝sin ＋，当sin ＝－1时，f(x)min＝.
答案：

3.＝________．
解析：原式＝
＝
＝
＝＝＝－4.
答案：－4
4．已知函数f(x)＝sin .
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝cos cos 2α，求cos α－sin α的值．
解析：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.
(2)由已知，有sin ＝cos (cos2α－sin2α)，所以sinαcos ＋cos αsin ＝(cos αcos －sin αsin )·(cos2α－sin2α)，
即sinα＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α).
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，知cos α－sin α