高考数学一轮复习第二章第五节指数与指数函数课时作业理含解析北师大版

第二章 第五节 指数与指数函数

授课提示：对应学生用书第279页

[A组　基础保分练]

1.函数f（x）＝21－x的大致图像为（　　）

解析：函数f（x）＝21－x＝2×，单调递减且过点（0，2），选项A中的图像符合要求.

答案：A

2.（2021·安徽皖江名校模拟）若ea＋πb≥e－b＋π－a，则有（　　）

A.a＋b≤0　　　　　　　 B.a－b≥0

C.a－b≤0  D.a＋b≥0

解析：令f（x）＝ex－π－x，则f（x）在R上是增加的，因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，则f（a）≥f（－b），所以a≥－b，即a＋b≥0.

答案：D

3.（2021·衡阳模拟）当x∈（－∞，－1]时，不等式（m2－m）·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A.（－2，1）  B.（－4，3）

C.（－3，4）  D.（－1，2）

解析：∵（m2－m）·4x－2x＜0在x∈（－∞，－1]上恒成立，∴m2－m＜在x∈（－∞，－1]上恒成立.又f（x）＝在x∈（－∞，－1]上单调递减，∴f（x）≥2，∴m2－m＜2，∴－1＜m＜2.

答案：D

4.已知函数f（x）＝则函数f（x）是（　　）

A.偶函数，在[0，＋∞）上单调递增

B.偶函数，在[0，＋∞）上单调递增

C.奇函数，且单调递增

D.奇函数，且单调递增

解析：易知f（0）＝0，当x>0时，f（x）＝1－2－x，－f（x）＝2－x－1，此时－x<0，则f（－x）＝2－x－1＝－f（x）；当x<0时，f（x）＝2x－1，－f（x）＝1－2x，此时－x>0，则f（－x）＝1－2－（－x）＝1－2x＝－f（x）.即函数f（x）是奇函数，且单调递增.

答案：C

5.设函数f（x）＝x2－a与g（x）＝ax在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，其中a＞1且a≠2，则M＝（a－1）0.2与N＝的大小关系是（　　）

A.M＝N  B.M≤N

C.M＜N  D.M ＞N

解析：由题意，因为f（x）＝x2－a与g（x）＝ax在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，所以易知a＞2，所以M＝（a－1）0.2＞1，N＝＜1，所以M＞N.

答案：D

6.（2021·广州模拟）若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围是（　　）

A.（2，＋∞）  B.（0，＋∞）

C.（0，2）  D.（0，1）

解析：在同一直角坐标系内分别作出函数y＝和y＝2x－a的图像，则由图知，当a∈（0，2）时符合要求.

答案：C

7.不等式＞的解集为__________.

解析：＞2－x－4，∴－x2＋2x＞－x－4，即x2－3x－4＜0，∴－1＜x＜4.

答案：{x|－1＜x＜4}

8.若函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）＝（1－4m）在[0，＋∞）上是增函数，则a＝__________.

解析：若a＞1，有a2＝4，a－1＝m.

此时a＝2，m＝，此时g（x）＝－为减函数，不合题意.

若0＜a＜1，有a－1＝4，a2＝m，

故a＝，m＝，检验知符合题意.

答案：

9.已知函数f（x）＝.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）的最大值等于，求实数a的值.

解析：（1）令t＝|x|－a，则f（t）＝，

不论a取何值，t在（－∞，0]上单调递减，

在[0，＋∞）上单调递增，

又f（t）＝是单调递减的，

因此f（x）的单调递增区间是（－∞，0]，

单调递减区间是[0，＋∞）.

（2）由于f（x）的最大值是，且＝，

所以g（x）＝|x|－a应该有最小值－2，

即g（0）＝－2，从而a＝2.

10.已知函数f（x）＝2x＋k·2－x，k∈R.

（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；

（2）若对任意的x∈[0，＋∞）都有f（x）＞2－x成立，求实数k的取值范围.

解析：（1）因为f（x）＝2x＋k·2－x是奇函数，

所以f（－x）＝－f（x），x∈R，

即2－x＋k·2x＝－（2x＋k·2－x）.

所以（1＋k）＋（k＋1）·22x＝0对一切x∈R恒成立，所以k＝－1.

（2）因为x∈[0，＋∞）时，均有f（x）＞2－x，

即2x＋k·2－x＞2－x成立，

所以1－k＜22x对x≥0恒成立，所以1－k＜（22x）min.

因为y＝22x在[0，＋∞）上单调递增，

所以（22x）min＝1，所以k＞0.

所以实数k的取值范围是（0，＋∞）.

[B组　能力提升练]

1.已知函数f（x）＝2x－2，则函数y＝|f（x）|的图像可能是（　　）

解析：|f（x）|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f（x）|的图像的分段点是x＝1，且过点（1，0），（0，1），.又|f（x）|≥0.

答案：B

2.（2021·青岛模拟）函数y＝ax＋2－1（a＞0且a≠1）的图像恒过的点是（　　）

A.（0，0）  B.（0，－1）

C.（－2，0）  D.（－2，－1）

解析：因为函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图像恒过点（0，1），将该图像向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y＝ax＋2－1（a＞0且a≠1）的图像，所以y＝ax＋2－1（a＞0且a≠1）的图像恒过点（－2，0）.

答案：C

3.（2021·潍坊模拟）已知a＝，b＝，c＝，则（　　）

A.a＜b＜c  B.b＜c＜a

C.c＜b＜a  D.b＜a＜c

解析：因为a＝＝2，b＝＝2，c＝＝5，显然有b＜a，又a＝4＜5＝c，故b＜a＜c.

答案：D

4.设x＞0，且1＜bx＜ax，则（　　）

A.0＜b＜a＜1  B.0＜a＜b＜1

C.1＜b＜a  D.1＜a＜b

解析：因为1＜bx，所以b0＜bx，

因为x＞0，所以b＞1，

因为bx＜ax，所以＞1，

因为x＞0，所以＞1，

所以a＞b，所以1＜b＜a.

答案：C

5.已知0＜b＜a＜1，则在ab，ba，aa，bb中最大的是（　　）

A.ba  B.aa

C.ab  D.bb

解析：因为0＜b＜a＜1，所以y＝ax和y＝bx均为减函数，所以ab＞aa，ba＜bb，

又因为y＝xb在（0，＋∞）上为增函数，所以ab＞bb，所以在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.

答案：C

6.不等式<恒成立，则a的取值范围是__________.

解析：由题意，y＝是减函数，

因为<恒成立，

所以x2＋ax>2x＋a－2恒成立，

所以x2＋（a－2）x－a＋2>0恒成立，

所以Δ＝（a－2）2－4（－a＋2）<0，

即（a－2）（a－2＋4）<0，

即（a－2）（a＋2）<0，

故有－2<a<2，即a的取值范围是（－2，2）.

答案：（－2，2）

7.已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.

其中可能成立的关系式有__________.（填序号）

解析：函数y1＝与y2＝的图像如图所示.

由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.

故①②⑤可能成立，③④不可能成立.

答案：①②⑤

[C组　创新应用练]

1.（2021·杭州模拟）设y＝f（x）在（－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK（x）＝给出函数f（x）＝2x＋1－4x，若对于任意x∈（－∞，1]，恒有fK（x）＝f（x），则（　　）

A.K的最大值为0  B.K的最小值为0

C.K的最大值为1  D.K的最小值为1

解析：根据题意可知，对于任意x∈（－∞，1]，若恒有fK（x）＝f（x），则f（x）≤K在x≤1上恒成立，即f（x）的最大值小于或等于K即可.

令2x＝t，则t∈（0，2]，f（t）＝－t2＋2t＝－（t－1）2＋1，可得f（t）的最大值为1，所以K≥1.

答案：D

2.（2021·北京模拟）已知14C的半衰期为5 730年（是指经过5 730年后，14C的残余量占原始量的一半）.设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系为b＝ae－kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约　　　　年.（参考数据：log20.767≈－0.4）

解析：由题意可知，当x＝5 730时，ae－5 730k＝a，解得k＝.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.

所以76.7%＝e－x，得ln 0.767＝－x，x＝－5 730×＝－5 730×log2 0.767≈2 292.

答案：2 292