2020-2021学年本节综合综合训练题

3.5对数函数同步练习北师大版高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 函数的单调递增区间是       

A.  B.  C.  D.

2. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是  

A.  B.
C.  D.

3. 若，，则   

A.  B.
C.  D.

4. 已知集合1，2，3，，，则 

A.  B.  C. 3， D. 1，

5. 已知函数，则的解集为

A.  B.  C.  D.

6. 已知，函数与函数的图象可能是

A.  B.
C.  D.

7. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，，则     

A.  B.  C.  D.

9. 已知，则 

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数的图象大致为

A.  B.
C.  D.

11. 已知定义在R上的偶函数在上单调递增，则   

A.
B.
C.
D.

12. 已知，则   

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为        ．
14. 若在上单调递减，则a的取值范围是______．
15. 已知函数且在上的值域是若函数的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．
16. 函数的定义域为______．
17. 已知函数，若实数满足，且，则的取值范围是       ．

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

18. 函数的单调递增区间是          值域是          ．
19. 函数的图像为M，直线，，分别与M相交于从左到右，曲线段在x轴上投影的长度为a，b，则          用m表示；当m变化时，的取值范围为          ．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

20. 已知函数R在其定义域上为奇函数，函数R
    求b的值；
    若存在，对任意的，成立，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数．

若，求实数a的值；

求关于x的不等式的解集．






 

22. 已知函数．

求函数的定义域．

判断的奇偶性．

判断的单调性只写出结论即可，并求当时，函数的值域．






 

23. 已知函数．

若定义域为R，求a的取值范围；

若，求的单调区间；

是否存在实数a，使的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了复合函数的单调性，对数函数的性质，是基础题．
由对数式的真数大于0，求出函数的定义域，结合复合函数的单调性求解即可．
【解答】
解：由，得或，
故的定义域为，
令，则，
内函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，
外函数在内单调递增，
函数的单调递增区间是．
故选D．  

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查指数函数，对数函数的图象，属于基础题．
利用对数函数和指数函数的单调性和特殊值进行排除即可求解．
【解答】
解：为上的单调递增函数，且，排除选项B；

为R上的单调递减函数，且，，排除选项A，D，
故选C．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】本题主要考查指数函数，对数函数，幂函数的单调性，利用函数性质进行解题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．
采用排除法，利用函数性质与已知条件进行逐一判断．
【解答】

A、考虑幂函数，因为，所以为增函数．

又，所以，A错误；

B、，因为是减函数，

所以，与已知条件矛盾，B错误；

D、由对数函数的性质可知D错误．
故选C．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了交集及其运算，对数函数及其性质和对数与对数运算．
利用对数函数及其性质和对数与对数运算得集合再利用交集及其运算得结论．
【解答】
解：3，，
所以．
故选B．  

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查分段函数、二次函数、对数函数的单调性应用，属于中档题．
由题意分类讨论求得x的范围即可．
【解答】
解：函数，，
当时，，
不等式，即，所以．
当时，，
不等式，即，在不等式恒成立，所以；
当时，，不等式，即，所以．
综上可得，不等式的解集为，
故选：C．  

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识．
先求出a、b的关系，将函数进行化简，得到函数与函数的单调性即可进行判定．

【解答】

解：，
则，
从而，
，函数与函数在定义域内都是单调递增；
，函数与函数在定义域内都是单调递减；
函数与函数在定义域内单调性相同．
结合选项可知选B．
故选：B．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了对数函数值域的应用，属于基础题．
根据a的取值范围进行讨论求解即可．
【解答】
解：当时符合条件，故可取；
当时，，解得，故可取；
当时，不满足题意．
综上知，实数a的取值范围是．
故选D．  

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查指数函数和对数函数的性质以及比较大小，属于基础题．
根据指数函数和对数函数的性质进行计算即可；

【解答】

解：依题意有

，
因此．
故选C．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查对数函数及其性质，属于基础题．
由指数函数和对数函数的单调性易得，，，从而得出a，b，c的大小关系．

【解答】

解：，
，
，
，
，
故选B．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
首先判断函数奇偶性排除D，又根据当时，，排除A，当时，，排除C，即可得出结论．

【解答】

解：，，

为偶函数，排除
又当时，，排除A，
当时，，排除
故选B．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性，指数函数及其性质，对数函数及其性质和对数与对数运算．
利用对数函数的单调性及指数函数的图象得 ，再利用偶函数在关于原点对称的区间的单调性得函数在上单调递减，再利用函数在上单调递减得，再利用偶函数的性质得结论．

【解答】

解：因为，，而函数是增函数，
所以，
而由函数的图象得，
因此．
又因为定义在R上的偶函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
因此，
即．
故选D．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查指数函数，对数函数的性质，考查实数的大小比较，
依题意，可知：，，由对数函数的性质可知，
即可求得结果．
【解答】
解：由指数函数的性质可知：，，
由对数函数的性质可知，
据此可得：．
故选D．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查对数函数的性质以及函数图象的应用，属于中档题．
设，，，在同一直角坐标系中作出三个函数的图像，通过函数的图象，得到a的不等式，解得a的取值范围．

【解答】

解：设，，，
在同一直角坐标系中作出三个函数的图像，如图所示．
 

若，则当时，显然是不可能的
若，则a应该满足解得．
所以a的取值范围为．

14.【答案】
 

【解析】解：在上单调递减，
在上单调递增，
，
解得即．
故答案为：．
由已知得在上单调递增，且由此能求出a的取值范围．
本题考查复合函数的单调性，实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了对数函数，指数函数的性质，属于中档题．
先根据的值域求出a的值，从而确定的单调性，的图象不经过第一象限，则，从而得到答案．
【解答】
解：已知函数且在上的值域是，
，则，
又值域是，显然，且，，
故，
所以是减函数，
又的图象不经过第一象限，，即，
即，故，
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了对数函数的性质，考查函数的定义域问题，是一道基础题．
根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得：，
故函数的定义域是，
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了对数函数的性质和对数运算，函数的单调性求取值问题，考查学生的计算能力和推理能力，难度适中．
根据题意重点需求出a和b的关系，从而将求出可得，进而构建函数利用对勾函数的性质即可求解．
【解答】
解：函数且，
，即，
又实数满足，
，；，，
，，即，
，则，
令，
由对勾函数的性质知函数在上为减函数
，
故的取值范围为，
故答案为  

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查复合函数的单调性与值域，确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性是关键，属于简单题．
确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性，即可求得函数的单调增区间与值域．

【解答】

解：由，可得，
令，
利用复合函数单调性“同增异减”的判定方法可得：
函数的单调增区间，即为函数的单调减区间，
，，函数的值域为
故答案为：；．

19.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查对数函数性质以及基本不等式求最值，属于中档题，解题时先分别用m表示出a和b
然后再利用对勾函数性质求解范围即可。
【解答】
解：，直线，，分别与M相交于从左到右
设其横坐标分别为，根据可知，
则，，，
，

所以，
因为，在单减，
且时，，
所以当，
故答案为；  

20.【答案】解：根据题意，，
即，
变形可得：，
解可得；
根据题意，，
在区间上，单调递减，
则，
若存在对任意的，成立，
只需在上恒成立即可；
又由，
则有，即恒成立，
又由，在上的最大值为1，
，在上的最小值为，
故有，解可得，
故a的取值范围为
 

【解析】本题考查指数函数与对数函数的综合应用，涉及函数奇偶性、单调性，属于较难题．
根据题意，由奇函数的性质可得，列方程可得b的值，即可得答案；
根据题意，可得，据此分析可得在上恒成立，结合的解析式以及对数的运算性质可得恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．
 

21.【答案】解：据题意，得，
所以，所以或．

因为，  所以．
讨论：当时，或，
此时，所以，且 
当时，或，
此时，无解． 
综上，当或时，所求不等式的解集为，且；
当或时，所求不等式的解集为．

【解析】本题考查对数不等式求解和对数函数及其性质，属于中档题；

据题意，得，所以，即可求解；

因为，所以分和两种情况讨论即可求解．

22.【答案】解：由，
此函数定义域为
由知函数定义域关于原点对称，

，
为奇函数
，
可得在定义域内为增函数．
在区间上为增函数，
 函数的值域为，即．
 

【解析】本题考查函数的定义域和值域，函数的奇偶性以及函数的单调性，属基础题．
根据对数函数的真数大于0，得到，求解即可得到函数的定义域；
利用函数的奇偶性的定义，求出，再检验与的关系，判断出函数的奇偶性，
根据，可知函数在定义域内为增函数；进而得知在区间上为增函数，即可求出函数的值域．
 

23.【答案】解：因为的定义域为R，
所以对任意恒成立，
显然时不合题意，
从而必有，
解得，
即a的取值范围是．

因为，
所以，
因此，，
这时．
由得，即函数定义域为．
令．
则在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．

假设存在实数a使的最小值为0，
则应有最小值1，
因此应有，解得．
故存在实数，使的最小值为0．
 

【解析】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质应用，属于中档题．
由题意可得，对任意恒成立，显然时不合题意，从而必有，由此求得a的取值范围．
因为求得，这时由求得函数定义域为令，求得的单调区间，即可得到的单调区间．
假设存在实数a使的最小值为0，则应有最小值1，根据，解得a的值，从而得出结论．