专题01 复数 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

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1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量eq \(OZ,\s\up7(―→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \(OZ,\s\up7(―→)).
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
题型一.复数的有关概念
1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，则z＝（ ）
A．163iB．6iC．203iD．20
【解答】解：z＝（3﹣i）（a+2i）＝3a+2+（6﹣a）i，
∵z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，
∴3a+2＝0，且6﹣a≠0，
得a=-23，此时z=203i，
故选：C．
2．已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（ ）
A．110B．-110C．i10D．-i10
【解答】解：由z（1+3i）＝i，得z=i1+3i=i(1-3i)(1+3i)(1-3i)=3+i10=310+i10，
∴z的虚部为110．
故选：A．
3．已知复数z=2i1+i（i虚数单位），则z⋅z=（ ）
A．2B．2C．1D．12
【解答】解：由题意知|z|=|2i||1+i|=|2|2=2，
利用性质z⋅z=|z|2，得z⋅z=2，
故选：B．
4．若a-ii=b+2i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b的值（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【解答】解：∵a-ii=-ai﹣1＝b+2i，其中a、b∈R，i是虚数单位，
∴a＝﹣2，b＝﹣1
∴a+b＝﹣3．
故选：A．
5．设复数z满足z=i-11+i，则|z|＝（ ）
A．1B．2C．3D．2
【解答】解：z=i-11+i=-(1-i)22=i，
故|z|＝1，
故选：A．
6．设复数z满足1+z1-z=i，则|z|＝（ ）
A．1B．2C．3D．2
【解答】解：∵复数z满足1+z1-z=i，
∴1+z＝i﹣zi，
∴z（1+i）＝i﹣1，
∴z=i-1i+1=i，
∴|z|＝1，
故选：A．
7．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为iB．z为实数C．|z|=2D．z+z=2i
【解答】解：因为z（1﹣i）＝2i，所以z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-2+2i2=-1+i，
则|z|=2；由于z的虚部是1，则A，B错，z+z=-2，则D错．
故选：C．
8．若复数Z的实部为1，且|Z|＝2，则复数Z的虚部是（ ）
A．-3B．±3C．±3iD．3i
【解答】解：复数Z的实部为1，
设Z＝1+bi．
|Z|＝2，
可得1+b2=2，
解得b=±3．
复数Z的虚部是±3．
故选：B．
题型二.复数的几何意义
1．已知i是虚数单位，则复数(1-i)21+i在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：由(1-i)21+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-1-i，
则复数(1-i)21+i在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．
故选：C．
2．设i是虚数单位，z的复数z的共轭复数，z＝1+2i，则复数z+i•z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵z＝1+2i，
∴z+i•z=1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i．
∴复数z+i•z在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限．
故选：A．
3．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2
【解答】解：∵复数（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i在复平面内对应的点位于实轴上，
∴a+1＝0，即a＝﹣1．
故选：B．
4．已知复数z＝3+4i3，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于第 一 象限．
【解答】解：∵z＝3+4i3＝3﹣4i，
∴z=3+4i，
则复数z在复平面内对应的点的坐标为（3，4），位于第一象限．
故答案为：一．
5．在复平面内，O是坐标原点，向量OA→对应的复数是﹣2+i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量OB→对应的复数的模为 5 ．
【解答】解：∵向量OA→对应的复数是﹣2+i，∴A（﹣2，1），
又点A关于实轴的对称点为点B，∴B（﹣2，﹣1）．
∴向量OB→对应的复数为﹣2﹣i，该复数的模为|﹣2﹣i|=5．
故答案为：5．
6．已知i为虚数单位，且复数z满足z-2i=11-i，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（ ）
A．132B．262C．102D．52
【解答】解：由z-2i=11-i，得z＝2i+11-i=2i+1+i(1-i)(1+i)=12+52i，
∴复数z在复平面内的点的坐标为（12，52），到原点的距离为14+254=262．
故选：B．
题型三.复数的指数幂运算
1．若复数z=2i1+i7（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵z=2i1+i7=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i，
∴z=-1﹣i，
∴复数z在复平面对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）；
∴它对应的点在第三象限，
故选：C．
2．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则a+i20161+i的值为（ ）
A．1B．0C．1+iD．1﹣i
【解答】解：复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，可得a＝1，
a+i20161+i=1+11+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1﹣i．
故选：D．
3．已知复数z=(1+i)3(1-i)2（其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解答】解：z=(1+i)3(1-i)2=(1+i)⋅2i-2i=-1﹣i，
则z的虚部为﹣1，
故选：A．
4．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解答】解：∵i4＝1，
∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，
则z•i2020＝1+i2019化为z＝1﹣i，
∴z的虚部为﹣1．
故选：A．
5．设i是虚数单位，则复数z＝（1+i1-i）2013＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解答】解：∵1+i1-i=(1+i)2(1+i)(1-i)=2i2=i，
∴z＝（1+i1-i）2013＝i2013＝（i2）1006•i＝i．
故选：D．
6．已知复数z＝﹣1+i，则z+2z2+z=（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解答】解：∵z＝﹣1+i，
∴z+2z2+z=-1+i+2(-1+i)2-1+i=1+i-1-i=(1+i)(-1+i)(-1-i)(-1+i)=-1．
故选：A．
7．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（ ）
A．0B．1C．2D．2
【解答】解：∵Z＝1+i，
∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，
∴|Z2﹣Z|=(-1)2+12=2．
故选：C．
8．当z=-1-i2时，z100+z50+1的值等于 ﹣i ．
【解答】解：∵z=-1-i2=22-22i
∴z2=12-2×22×22i+（22i）2＝﹣i，可得z4＝﹣1
根据复数乘方的含义，可得z100＝（z4）25＝﹣1，z50＝（z4）12•z2＝﹣i
∴z100+z50+1＝﹣1﹣i+1＝﹣i
故答案为：﹣i
题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题
1．若复数z满足3z+z=-4+2i，则z＝（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1﹣iD．﹣1+i
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
则3z+z=3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣4+2i，
∴4a=-42b=2，即a＝﹣1，b＝1．
∴z＝﹣1+i．
故选：D．
2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（ ）
A．25B．5C．5D．2+i
【解答】解：法一、设z＝a+bi（a，b∈R），
由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，
∴a2-b2=32ab=4，解得a=2b=1或a=-2b=-1．
∴|z|=a2+b2=5．
故选：C．
法二、由z2＝3+4i，得|z2|=|z|2=32+42=5，
则|z|=5．
故选：C．
3．设复数z满足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1+3i，则|z1﹣z2|＝ 6 ．
【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d为实数），
因为复数z满足|z1|=1，|z2|=2，z1+z2=-1+3i，
所以a+c=-1b+d=3且a2+b2＝1，c2+d2＝4，
所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，
即2ac+2bd＝﹣1，
则|z1﹣z2|=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=5+1=6．
故答案为：6．
4．已知z∈C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（ ）
A．22-1B．22+1C．2D．22
【解答】解：∵|z|＝1且z∈C，作图如图：
∵|z﹣2﹣2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，
∴|z﹣2﹣2i|的最小值为：|OP|﹣1＝22-1．
故选：A．
5．设复数z1，z2满足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，则|z1﹣z2|的最大值为（ ）
A．3+23B．210C．3+10D．6
【解答】解：因为|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，
所以z1，对应的点在以A（1，0）为圆心，以1为半径的圆上，z2对应的点在以B（0，﹣3）为圆心，以2为半径的圆上，
则|z1﹣z2|的几何意义是两圆上点的距离，
则则|z1﹣z2|的最大值为AB+1+2＝3+12+(-3)2=3+10．
故选：C．
6．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是 42 ．
【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，
∴|x+yi﹣4i|＝|x+yi+2|，
∴|x+（y﹣4）i|＝|x+2+yi|，
∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2，
化为x+2y＝3．
则2x+4y≥22x⋅4y=22x+2y=42，
因此2x+4y的最小值是42．
故答案为：42．