新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：9.4　二项式定理

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素养提升微专题12构造法在解决二项式定理问题中的应用
1.二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=　　　　　　　　　　　　　　　　　　,n∈N*. (2)通项:　　　　　　　　　　　　,它表示展开式的第k+1项. (3)二项式系数:二项展开式中各项的系数　　　　　　　　(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数. 
问题思考(a+b)n与(b+a)n的展开式有何区别与联系?
提示 (a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.
2.二项式系数的性质
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)(a+b)n的展开式中的第k项是 an-kbk.(　　)(2)在二项展开式中,系数最大的项为中间的一项或中间的两项.(　　)(3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数都与a,b无关.(　　)(4)通项Tk+1= an-kbk中的a和b不能互换.(　　)(5)在(a+b)n的展开式中,某项的系数与该项的二项式系数相同.(　　)
2.在(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于(　　)A.80B.40C.20D.10
4.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为(　　)A.9B.8C.7D.6
答案 B解析 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8..
5.(2021年1月8省适应测试)(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是(　　)A.60B.80C.84D.120
考向1　已知二项式求其特定项(或系数)
答案(1)10　(2) C
解题心得求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项Tk+1= an-kbk,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),再解出k;(3)把k代入通项中,即可求出Tk+1,有时还需要先求n,再求k,才能求出Tk+1或者其他量.
答案 (1)A　(2)±1　
考向2　已知两个因式之积求其特定项(或系数)
答案 (1)B　(2)A　(3)A　
解题心得求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈ N* )的展开式中与特定项相关的量的步骤(1)根据二项式定理把(a+b)m与(c+d)n分别展开,并写出其通项;(2)根据特定项的次数,分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些项相乘得到;(3)把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
A.-4B.-3C.3D.4(2)已知(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2的项的系数为0,则正实数a=　　　　　. 
考向3　已知三项式求其特定项(或系数)
对点训练3(1)(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)A.10B.20C.30D.60
答案 (1) C (2)19　
考向1　二项式系数的最值问题A.5B.6C.7D.8
解题心得二项式系数最大项的确定方法
考向2　项的系数的最值问题
答案 -8 064　-15 360x4　
解题心得二项展开式系数最大项的求法
考向3　求二项展开式中系数的和【例6】 若(x-3)3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0=　　　　　,a0+a2+…+a8=　　　　　. 
答案 -27　-940　解析 令x=0,得(-3)3×15=a0,所以a0=-27.令x=1,得(-2)3×35=a0+a1+a2+…+a8,令x=-1,得43=a0-a1+a2-…+a8,两式相加得2(a0+a2+…+a8)=-1 880,所以a0+a2+…+a8=-940.
解题心得求二项展开式系数和的常用方法是赋值法:
对点训练6已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
考向1　利用二项式定理近似计算【例7】 0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　)
对点训练71.028≈　　　　　(小数点后保留三位小数). 
考向2　利用二项式定理解决整除或余数问题【例8】 设a∈Z且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a等于(　　)A.0B.1C.11D.12
解题心得用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再利用二项式定理展开,只考虑后面一、二项(或者是某些项)即可.
素养提升微专题12　——构造法在解决二项式定理问题中的应用
在解决一些与正整数n有关的组合恒等式或不等式问题时,常利用构造法,通过构造不同的二项式,利用二项式的不同展开方法和二项式定理的相关知识来实现.
解题心得上述两种方法都用到了“算两次”的思想,所谓“算两次”的思想,就是对同一个量,用两种不同的方法去计算,所得的结果相同.证明组合恒等式的关键在于构造二项式,利用二项展开式中系数的关系得到相应的恒等式.有时取二项式中的字母为某些特殊值也可得到相应的组合等式,故在解题时要注意合理赋值.