新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：7.2　空间点、直线、平面之间的位置关系

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2.空间点、直线、平面之间的位置关系
3.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:0°<α≤90°.4.等角定理:如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
1.利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”,得到三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.2.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.3.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(　　)(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作α∩β=A (　　)(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b不可能是平行直线.(　　)(4)两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.(　　)(5)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.(　　)
2. 下列命题正确的个数为(　　)①梯形一定是平面图形;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.A.0B.1C.2D.3
答案 C　解析 ①因梯形有一组对边平行,所以梯形可以确定一个平面,故①正确;②如等腰三角形中,AB,AC与底边直线BC所成的角相等,而直线AB,AC不平行,故②错误;③两两相交的三条直线,比如墙角处的三条交线最多可以确定三个平面,故③正确;④如果两个平面有三个共线的公共点,这两个平面不重合,故④错误.故选C.
3.(2020浙江,6)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B　解析 由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图,三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内,所以“m,n,l”共面是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.
4.(2020黑龙江大庆实验中学高三线上测试)已知如图,点E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中点,则(　　)A.GH=2EF,且直线EF,GH是相交直线B.GH=2EF,且直线EF,GH是异面直线C.GH≠2EF,且直线EF,GH是相交直线D.GH≠2EF,且直线EF,GH是异面直线
所以GH≠2EF.设M,N分别为CC1和A1D1的中点,则六边形EFGMHN是过E,F,G,H四点的平面截正方体的截面,所以EF与GH是共面直线,且EF与GH不平行,所以EF与GH是相交直线.故选C.
5.(2020全国2,16改编)设有下列四个命题:p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.则上述命题中的真命题是　　　　. 
答案 p1,p4　解析对于命题p1,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为α;若l3与l1相交,则交点A在平面α内,同理,l3与l2的交点B也在平面α内,所以,AB⊂α,即l3⊂α,命题p1为真命题;对于命题p2,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,命题p2为假命题;对于命题p3,空间中两条直线可能相交、平行或异面,命题p3为假命题;对于命题p4,若直线m⊥平面α,则直线m垂直于平面α内所有直线,∵直线l⊂平面α,∴直线m⊥直线l,命题p4为真命题.综上可知,p1,p4为真命题,p2,p3为假命题.
【例1】 ①四边形BCHG的形状是　　　　　; ②点C,D,E,F,G中,能共面的四点是　　　　　. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是　　　　　. 
答案 (1)①平行四边形　②C,D,E,F　(2)点O在直线C1M上　解析 (1)①因为G,H分别为FA,FD的中点,所以GH? AD.又BC ? AD,所以GH ? BC,所以四边形BCHG为平行四边形.②由BE= FA,G为FA的中点,知BE=FG,又BE∥AF,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由①知BG∥CH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,E,F四点共面.
(2)如图所示,连接A1C,因为A1C⊂平面A1ACC1,O∈A1C,所以O∈平面A1ACC1,而O是平面BDC1与直线A1C的交点,所以O∈平面BDC1,所以点O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.因为AC∩BD=M,所以M∈平面BDC1.又M∈平面A1ACC1,所以平面BDC1∩平面A1ACC1=C1M,所以O∈C1M.
解题心得共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法:①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.(2)证明点共线问题的两种方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
对点训练1(1)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是(　　)
(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:①E,C,D1,F四点共面;②CE,D1F,DA三线共点.
答案 (1)D　解析 A,B,C图中四点一定共面,D中四点不共面.(2)证明 ①如图,连接EF,CD1,A1B.∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥A1B.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面.②∵EF∥CD1,EF【例2】 (2019全国3,理8)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则(　　)A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
答案 B　解析 如图,连接BD,BE.在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,∴BM,EN是相交直线,排除选项C,D.作EO⊥CD于点O,连接ON.作MF⊥OD于点F,连接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB与△EON均为直角三角形.
解题心得异面直线的判定方法
对点训练2(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(　　)A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中所有正确的结论为　　　　(填序号). 
答案 (1)D　(2)③④　解析 (1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.(2)直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误.结论③④正确.
【例3】 如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
思维变式1(变条件)将本例条件“AA1=2AB=2”变为“AB=1,若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”,其他条件不变,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为　　　　. 
思维变式2(变设问)将本例条件“AA1=2AB=2”变为“AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ”,其他条件不变,则AA1的值为　　　　. 
解题心得求解异面直线所成角的方法
对点训练3(2020安徽马鞍山第二中学高三第二次阶段性素质测试)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的余弦值为(　　)