高考数学一轮复习练习案63第九章计数原理概率随机变量及其分布第三讲二项式定理含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案63第九章计数原理概率随机变量及其分布第三讲二项式定理含解析新人教版，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2021·广东深圳、汕头、潮州、揭阳联考)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x))10的展开式中x4的系数是( B )
A．－210 B．－120
C．120 D．210
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x))10的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))10－r(－x)r＝(－1)rCeq \\al(r,10)x2r－10，由2r－10＝4得r＝7，∴x4的系数为(－1)7Ceq \\al(7,10)＝－120.故选B.
2．(2020·河北保定期末)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))6的展开式中，有理项共有( D )
A．1项 B．2项
C．3项 D．4项
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)·(－1)r·36－r·x6－eq \f(3,2)r，令6－eq \f(3,2)r为整数，求得r＝0,2,4,6，共计4项．
3．(2019·全国)(2eq \r(x)＋1)6的展开式中x的系数是( B )
A．120 B．60
C．30 D．15
[解析] 由二项式(2eq \r(x)＋1)6的展开式的通项为
Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(2eq \r(x))6－r＝26－rCeq \\al(r,6)xeq \f(6－r,2)，
令eq \f(6－r,2)＝1，解得r＝4，
则(2eq \r(x)＋1)6的展开式中x的系数是22Ceq \\al(4,6)＝60，故选B.
4．(2020·山东省临沂市期末)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,\r(3,4x))))6的展开式的中间项为( B )
A．－40 B．－40x2
C．40 D．40x2
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,\r(3,4x))))6的展开式的通项为
Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)(2x)6－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(3,4x))))k，
则中间项为
T4＝Ceq \\al(3,6)(2x)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(3,4x))))3＝20×23×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))×x2＝－40x2.故选B.
5．(2021·湖南省六校联考)设常数a∈R.若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(a,x)))5的二项展开式中x7项的系数为－15，则a＝( D )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(a,x)))5的二项展开式的通项公式为
Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)·(x2)5－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)))r＝ar·Ceq \\al(r,5)·x10－3r，
r＝0,1,2,3,4,5.令10－3r ＝7，得r＝1，
所以展开式中x7项的系数为a·Ceq \\al(1,5)＝－15，解得a＝－3.
故选D.
6．(2021·广州测试)使eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x\r(x))))n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( B )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)(3x)n－r·x－eq \f(3,2)r＝Ceq \\al(r,n)·3n－r·xn－eq \f(5r,2)(r＝0,1,2，…，n)，若Tr＋1是常数项，则有n－eq \f(5,2)r＝0，即2n＝5r(r＝0,1，…，n)，当r＝0,1时，n＝0，eq \f(5,2)，不满足条件：当r＝2时，n＝5，故选B.
7．(2021·四川达州诊断)已知(2＋x)8＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a8(1－x)8，则a6＝( B )
A．－252 B．252
C．112 D．－112
[解析] (2＋x)8＝[3－(1－x)]8＝a0＋a1(1－x)＋…＋a8(1－x)8，其通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)38－r[－(1－x)]r＝(－1)r38－rCeq \\al(r,8)(1－x)r，∴a6＝32Ceq \\al(6,8)＝252，故选B.
8．(2021·广西南宁二中、柳铁一中联考)(1－x)(1＋2x)3展开式中x2项的系数为( B )
A．5 B．6
C．－6 D．－4
[解析] x2项为1×Ceq \\al(2,3)(2x)2＋(－x)×Ceq \\al(1,3)(2x)＝6x2.
9．(2021·四川绵阳南山中学诊断)已知(2x－1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5，则a2＝( C )
A．10 B．80
C．40 D．120
[解析] 由已知得令x－1＝t有(2t＋1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，又Tr＝Ceq \\al(r,5)(2t)5－r＝25－rCeq \\al(r,5)t5－r.令5－r＝2得r＝3.∴a2＝25－3Ceq \\al(3,5)＝40.故选 C．
10．(2021·新高考八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是( D )
A．60 B．80
C．84 D．120
[解析] (1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)＋…＋Ceq \\al(2,9)，
因为Ceq \\al(m－1,n)＋Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)且Ceq \\al(2,2)＝Ceq \\al(3,3)，
所以Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＝Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)＝Ceq \\al(3,4)，
所以Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)＝Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(3,4)＝Ceq \\al(3,5)，
以此类推，.
Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)＋…＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,9)＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,10)＝eq \f(10×9×8,3×2×1)＝120.
故选D.
二、多选题
11．(2021·河北唐山摸底)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,ax)))6的展开式中x3的系数是－160，则( ABC )
A．a＝－eq \f(1,2) B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为64 D．常数项为－320
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,ax)))6的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(x2)6－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ax)))r＝a－rCeq \\al(r,6)x12－3r，由12－3r＝3，得r＝3，∴a－3Ceq \\al(3,6)＝－160，∴a＝－eq \f(1,2)，∴A正确；令x＝1得所有项系数和为(1－2)6＝1，∴B正确；二项式系数和为26＝64，∴C正确，令12－3r＝0得r＝4，∴常数项为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－4Ceq \\al(4,6)>0，∴D错误，故选ABC．
12．(2021·江苏南京调研)已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则( ABC )
A．a0的值为2
B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D．a1＋a3＋a5的值为120
[解析] 令x＝0，得a0＝2，故A正确；2×(－2)5Ceq \\al(5,5)＋(－2)4Ceq \\al(4,5)＝16，故a5＝16，B正确；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3①，又a0＝2，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－5，故C正确；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝243②，由①②得：a1＋a3＋a5＝－123，D错误．故选ABC．
三、填空题
13．(2018·天津高考)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2\r(x))))5的展开式中，x2的系数为 eq \f(5,2) .
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2\r(x))))5的展开式的通项为
Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)x5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2\r(x))))r＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))rCeq \\al(r,5)x5－eq \f(3r,2).
令5－eq \f(3r,2)＝2，可得r＝2.
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2\r(x))))5的展开式中的x2的系数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2Ceq \\al(2,5)＝eq \f(5,2).
14．(2021·山西大同学情调研)在(2x－1)7的二项展开式中，第四项的系数为 －560 .
[解析] 在(2x－1)7的二项展开式中，第四项的系数为：Ceq \\al(3,7)·24·(－1)3＝－560.
15．(2020·安徽池州统测)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))n的展开式中二项式系数之和为512，则展开式中常数项为 －672 .
[解析] 由题意得：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n＝512，解得：n＝9，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))9展开式的通项公式为
Tr＋1＝Ceq \\al(r,9)(eq \r(x))9－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))r＝(－2)rCeq \\al(r,9)xeq \f(9－3r,2)，
当9－3r＝0，即r＝3时，T4＝(－2)3Ceq \\al(3,9)＝－672，
∴常数项为－672.
16．(2020·广东省东莞市期末)若(3＋ax)(1＋x)4展开式中x的系数为13，则展开式中各项系数和为 64 .(用数字作答)
[解析] 由题意得3Ceq \\al(1,4)＋a＝13，∴a＝1.令x＝1得(3＋ax)(1＋x)4的展开式中各项系数和为(3＋1)(1＋1)4＝64.
B组能力提升
1．(2019·浙江，13)在二项式(eq \r(2)＋x)9的展开式中，常数项是 16eq \r(2) ，系数为有理数的项的个数是 5 .
[解析] (eq \r(2)＋x)9展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,9)(eq \r(2))9－rxr＝Ceq \\al(r,9)·2eq \f(9－r,2)·xr(r＝0,1,2，…，9)，令r＝0，得常数项T1＝Ceq \\al(0,9)·2eq \f(9,2)·x0＝2eq \f(9,2)＝16eq \r(2)，要使系数为有理数，则只需eq \f(9－r,2)∈Z，则r必为奇数，满足条件的r有1,3,5,7,9，共五种，故系数为有理数的项的个数是5.
2．(2021·中原名校质量测评)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x2)))n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是 1 .
[解析] 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x2)))n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项，所以n＝10；令x＝1，可求得展开式中各项的系数和是(1－2)10＝1.故答案为1.
3．(2021·上海普陀区二模)502 019＋1被7除后的余数为 2 .
[解析] 502 019＋1＝(1＋72)2019＋1＝1＋Ceq \\al(1,2 019)·72＋Ceq \\al(2,2 019)·74＋…＋Ceq \\al(2 019,2 019)74 038＋1＝72Ceq \\al(1,2 019)＋74Ceq \\al(2,2 019)＋…＋74 038Ceq \\al(2 019,2 019)＋2.故余数为2.
4．(2021·内蒙古包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝( B )
A．1 B．243
C．121 D．122
[解析] 令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，
即a4＋a2＋a0＝－121.
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，
即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选B.
5．(2021·衡水模拟)S＝Ceq \\al(1,27)＋Ceq \\al(2,27)＋…＋Ceq \\al(27,27)除以9的余数为( B )
A．8 B．7
C．6 D．5
[解析] 依题意S＝Ceq \\al(1,27)＋Ceq \\al(2,27)＋…＋Ceq \\al(27,27)＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝Ceq \\al(0,9)×99－Ceq \\al(1,9)×98＋…＋Ceq \\al(8,9)×9－Ceq \\al(9,9)－1＝9(Ceq \\al(0,9)×98－Ceq \\al(1,9)×97＋…＋Ceq \\al(8,9))－2.∵Ceq \\al(0,9)×98－Ceq \\al(1,9)×97＋…＋Ceq \\al(8,9)是正整数，∴S被9除的余数为7.
6．(2021·湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)(2x＋y＋1)6的展开式中，xy3的系数为( A )
A．120 B．480
C．240 D．320
[解析] 解法一：(2x＋y＋1)6＝[2x＋(y＋1)]6，
其展开式通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(2x)6－r(y＋1)r，
令r＝5得，T6＝2Ceq \\al(5,6)x(y＋1)5，
又(y＋1)5展开式通项Ps＋1＝Ceq \\al(s,5)y5－s，
令s＝2得P3＝Ceq \\al(2,5)y3，
∴xy3的系数为2Ceq \\al(5,6)·Ceq \\al(2,5)＝120，故选A.
解法二：(2x＋y＋1)6
＝(2x＋y＋1)·(2x＋y＋1)…(2x＋y＋1eq \(,\s\d4(6个))
从六个括号中1个取2x,3个取y、2个取1即得xy3项，其系数为2Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(3,5)·Ceq \\al(2,2)＝120，故选A.
7．(2021·江西重点中学联考)若多项式(2x＋3y)n展开式仅第5项的二项式系数最大，则多项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－4))n－4展开式中x2的系数为( A )
A．－304 B．304
C．－208 D．208
[解析] 多项式(2x＋3y)n展开式仅第5项的二项式系数最大，故n＝8，多项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－4))4展开式中x2的系数为Ceq \\al(1,4)·(－4)3＋Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(1,2)·(－4)＝－256－48＝－304，故选A.