新高考2021届高考数学小题必练16平面向量

1．平面向量及其应用

向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁．向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领城向量的基础，在解决实际向题中发挥重要作用．本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用，用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题．

内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用．

（1）向量概念

①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．

②理解平面向量的几何表示和基本要素．

（2）向量运算

①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．

②通过实例分析，掌握平面向量数量运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．

③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．

④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．

⑤通过几何直观，了解平面向投影的概念以及投影向量的意义（参见案例）．

⑥会用数量积判断两个平面向的垂直关系．

（3）向量基本定理及坐标表示

①理解平面向量基本定理及其意义．

②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．

③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．

④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．

⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．

（4）向量应用与解三角形

①会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．

②借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．

③能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．

1．【2020全国Ⅰ卷】设，为单位向量，且，则．

【答案】

【解析】因为，为单位向量，所以，，

所以，解得，

所以．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．

2．【2020全国Ⅱ卷】已知单位向量，的夹角为，与垂直，则．

【答案】

【解析】由题意可得，

由向量垂直的充分必要条件可得，

即，解得，

故答案为．

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．

一、单选题．

1．已知向量，，若，则实数的值为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵向量，，

若，则，∴实数，故选A．

2．已知向量，，且，则的值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题知，，

因为，所以，从而，故选D．

3．已知向量，，，若，则实数（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，所以，

又，，所以，

即，解得，故选C．

4．已知向量与的夹角为，，，当时，实数为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】向量与的夹角为，，，

由，知，，

，解得．故选C．

5．已知，为单位向量，且，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，为单位向量，且，所以，

所以，所以，故选B．

6．在中，，，为边上的高，为的中点，那么（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为在中，，，为边上的高，

所以，，

又为的中点，

则，故选A．

7．已知向量，满足，，若与的夹角为，则实数（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】不妨设，，则，，

则，，，

由向量夹角公式可知，解得，

∵，则，故舍去一根，∴，故选C．

8．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，，

∴，，，

故答案为C．

二、多选题．

9．已知是平行四边形对角线的交点，则（）

A．  B．

C．  D．

【答案】AB

【解析】因为是平行四边形对角线的交点，

对于选项A，结合相等向量的概念可得，，即A正确；

对于选项B，由平行四边形法则可得，即B正确；

对于选项C，由向量的减法可得，即C错误；

对于选项D，由向量的加法运算可得，即D错误，

综上可得A、B正确，故选AB．

10．已知向量，，，设，的夹角为，则（）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】根据题意，，，则，，

依次分析选项：对于A，，，则不成立，A错误；

对于B，，，则，即，B正确；

对于C，，，不成立，C错误；

对于D，，，则，，，

则，则，D正确，

故选BD．

11．已知，，且与夹角为，则的取值可以是（）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】因为，且，，与夹角为，

所以，解得或，

故选AC．

12．已知圆和两点，（）．若圆上存在点，

使得，则实数的取值可以为（）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】圆的圆心，半径，

设在圆上，则，，

若，则，∴，

∴，

∴的最大值即为的最大值，等于，最小值为，

∴的取值范围是，故选ABC．

三、填空题．

13．已知，，若，则实数；若，则实数．

【答案】，

【解析】由，可得，解得；

由，得，即，解得．

故答案为，．

14．若平面向量，满足，，则．

【答案】

【解析】因为向量，满足，，

所以①，②，

由①②，得，即，

故答案为．

15．已知非零向量与的夹角为，，若，则．

【答案】

【解析】由，可得，所以，即，

又由，可得，解得（舍）或，

故答案为．

16．已知非零向量与的夹角为，，，则对于任意的，的最小值为．

【答案】

【解析】由平面向量数量积的定义可得，

所以，，

所以，当时，取最小值，

故答案为．