江苏省泰州中学2021-2022学年高三上学期期初检测数学试题(含答案）

这是一份江苏省泰州中学2021-2022学年高三上学期期初检测数学试题(含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年度江苏省泰州中学第一学期期初检测
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为R,集合,,则(　　)
A. B.
C. D.
2.下列关于的关系中为函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“对任意的正数，”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（ ）
A．尺布 B．尺布 C．尺布 D．尺布
5．设，则的大小关系是(　　)
A. B.
C. D.
6.已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，－2]∪[4，＋∞) B. (－∞，－4]∪[2，＋∞)
C. (－2，4) D. (－4，2)
7.已知函数 若关于的方程，无实根，则实数的取值范围为(　　)
A. B. (－1，0) C. D. (0，1)
8.如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足
，若,则的值为（ ）
A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．若复数满足，则（ ）
A. B.是纯虚数
C.复数在复平面内对应的点在第三象限
D.若复数在复平面内对应的点在角的终边上，
10．已知集合，，则下列 命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
11.已知是等差数列的前项和，，设，则数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．时，取得最大值
12.设函数，其中表示中的最小者.下列说法正确的有（ ）
A.函数为偶函数 B.当时,有
C.当时, D.当时,
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知平面向量，，且，则实数的值为 .
14.若数列的通项公式是，则等于 .
15.若函数 .
16.在数列中，，，
则 ，对所有恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．

18．（12分）已知数列的前项和为，满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．

19. （12分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
20．（12分） 已知数列满足:，，N*且≥.
（1）求证: 数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和.




21．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

22．（12分）已知函数
（1）求函数的最大值；
（2）令，若既有极大值，又有极小值，求实数
的取值范围；
（3）求证：当时，.




2021-2022学年度江苏省泰州中学第一学期期初检测
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为R,集合,,则(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解答】解：∵≤1＝， ∴x≥0， ∴A＝{x|x≥0}；
又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0， ∴2≤x≤4．
∴B＝{x|2≤x≤4}，
∴∁RB＝{x|x＜2或x＞4}，
∴A∩∁RB＝{x|0≤x＜2或x＞4}，
故选：C．
2.下列关于的关系中为函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，定义域需满足即，不能满足函数的定义，故B不是函数；对于C，不能满足函数的定义，故C不是函数；对于D，满足构成函数的要素，故D是函数，故选D.
3. “”是“对任意的正数，”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
解：当“a＝”时，由基本不等式可得：
“对任意的正数x，2x+”一定成立，
即“a＝”⇒“对任意的正数x，2x+”为真命题；
而“对任意的正数x，2x+的”时，可得“a≥”
即“对任意的正数x，2x+”⇒“a＝”为假命题；
故“a＝”是“对任意的正数x，2x+的”充分不必要条件
故选：A．
4.《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（ ）
A．尺布 B．尺布 C．尺布 D．尺布
【答案】D
解：设该女子第天织尺布，前天工织布尺，
则数列为等差数列，设其公差为，
由题意可得，解得.
故选：D.

5．设，则的大小关系是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
解：a＝＝＜1，
b＝＞1，
c＝＝＜1；
且0＜＜＜1，函数y＝在（0，+∞）上是单调增函数，
所以＜，
所以c＜a；
综上知，c＜a＜b．
故选：A．
6.已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2，4) D．(－4，2)
【答案】D
解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋2y＝(x＋2y)＝＋＋4≥2＋4＝4＋4＝8，当且仅当x＝4，y＝2时，等号成立．∵x＋2y＞m2＋2m恒成立，∴m2＋2m＜8，解得－4＜m＜2，故选D.
7.已知函数若关于的方程，无实根，则实数的取值范围为(　　)
A. B.(－1，0)
C. D．(0，1)
【答案】B
解：因为函数f（x）＝，
关于x的方程f（x）＝x+a无实根等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+a无交点，
设直线y＝x+a与f（x）＝（x＞0）切与点P（x0，y0），
由f′（x）＝，
由已知有：，解得x0＝1，则P（1，0），
则切线方程为：y＝x﹣1，
由图知：函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+a无交点时实数a的取值范围为实数a的取值范围为﹣1＜a＜0，
故选：B．
8.如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足
，若,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：如图所示，建立直角坐标系．
AC＝3，AB＝4
∵∠CAB＝，∴|OA|＝，|OC|＝，
∴A（﹣，0），C（0，），B（，0）．
∵，∴＝＝（，0），
∴＝+（，0）＝（，0）， ∴＝（，﹣）．
设＝λ+（1﹣λ）＝λ+（1﹣λ）×，
与＝m+比较，可得：m＝λ，＝， 解得m＝．
∴＝+＝（，）+（4，0）＝（，），
∴＝×﹣×＝．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．若复数满足，则（ ）
A. B.是纯虚数
C.复数在复平面内对应的点在第三象限
D.若复数在复平面内对应的点在角的终边上，
【答案】AB
【解析】由题意，复数满足，所以故选项A正确；是纯虚数，故选项B正确；复数在复平面内对应点的坐标为（2，4）位于第一象限，故选项C错误；因为在复平面内对应的（2，4）在角的终边上，所以故选项D错误，故选AB.
10．已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
【答案】ABC
解析：，若，则，且，故A正确，
时．故D不正确．
若，则且，
解得，故B正确，
当时，，解得或，故C正确．
11.已知是等差数列的前项和，，设，则数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．时，取得最大值
【答案】ABC
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
可得，，，
即，，即，
所以，且，
即数列递减，且，，…，，，
又由，可得，
当时，可得，
当时，可得，
当时，可得，
当时，可得，
又由，
因为，且，
所以，
所以当时，取得最小值.综上可得，D不正确.
12.设函数，其中表示中的最小者.下列说法正确的有
A.函数为偶函数
B.当时,有
C.当时,
D.当时,
【答案】ABC
解：在同一直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|，y＝x2，y＝|x+2|的图象如右图所示，
由图象可知：f（x）＝，
显然有f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数；故A正确；
又当x≥1时，f（x）＝|x﹣2|，f（x﹣2）的图象可看作f（x）的图象右移2个单位得到，显然x≥1时，f（x）的图象在f（x﹣2）图象之上，
∴当x∈[1，+∞）时，有f（x﹣2）≤f（x），故B正确；
又由图象可知：若x∈R时，f（x）≥0，可令t＝f（x），
由y＝f（t）和y＝t（t≥0）的图象可知：当t≥0时，y＝t在曲线y＝f（t）的上方，∴当t≥0时，有t≥f（t），
即有f（f（x））≤f（x）成立，故C正确；
若x∈[﹣4，4]，f（﹣4）＝2，f（﹣4）﹣2＝0，显然f（﹣4）＞|f（﹣4）﹣2|，故D不正确，
故选：ABC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知平面向量，，且，则实数的值为_________.
【答案】
14.若数列的通项公式是，则等于 .
【答案】30
【详解】
由题意，数列的通项公式是，
则，
所以．
15.若函数__________.
【答案】2
解：当x＞0时，由f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），可得f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
两式相加得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），则f（x+3）＝﹣f（x），
∴当x＞0时，f（x+6）＝﹣f（x+3）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），
即x＞0时，f（x）是周期为6的周期函数，
又f（x）＝，
∴f（2021）＝f（5）＝﹣f（2）＝f（﹣1）=2，
故答案为：2
16．在数列中，，，则______，对所有恒成立，则的取值范围是______.
【答案】 .
【详解】
解：由于，
所以当时，有，
两式相减可得，即当时，，当时，求得，即也符合该递推关系，所以.
由于，令，
由于，当时，，当单调递增，当单调递减，所以，故数列最大项为，
即.
故答案为：；.
四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
【详解】（1）设等差数列的公差为．
由已知得，解得．
所以．
（2）由（Ⅰ）可得．
所以



．
18．（12分）已知数列的前n项和，满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）3Sn＝1+2an，①，
当n＝1时，3S1＝1+2a1，解得a1＝1，
当n≥1时，3Sn+1＝1+2an+1，②，
由②﹣①可得3an+1＝2an+1﹣2an，
即an+1＝﹣2an， ∴＝﹣2，
∴数列{an}是以1为首项，以﹣2为公比的等比数列，
∴an＝（﹣2）n﹣1，
（2）（2n﹣1）an＝（2n﹣1）（﹣2）n﹣1，
则Tn＝1×（﹣2）0+3×（﹣2）1+5×（﹣2）2+…+（2n﹣1）（﹣2）n﹣1，
∴﹣2Tn＝1×（﹣2）1+3×（﹣2）2+5×（﹣2）3+…+（2n﹣1）（﹣2）n，
两式相减，可得
3Tn＝1+2×（﹣2）1+2×（﹣2）2+2×（﹣2）3+…+2×（﹣2）n﹣1﹣（2n﹣1）（﹣2）n，
＝1+2×﹣（2n﹣1）（﹣2）n，
＝1﹣﹣×（﹣2）n﹣（2n﹣1）（﹣2）n＝﹣﹣（2n﹣）×（﹣2）n，
∴Tn＝﹣﹣．
19.（12分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
【解析】（1）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
20．（12分） 已知数列满足:，，N*且≥.
（1）求证: 数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和.
（1）证明：

又
∴数列是以首项为，公差为的等差数列
（2）由（1）得，

（3）解：


21．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝2ex﹣x﹣2，f′（x）＝2ex﹣1，f′（1）＝2e﹣1，
即曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率k＝2e﹣1，又f（1）＝2e﹣3，
故所求的切线方程是y＝（2e﹣1）x﹣2．
（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立⇔[f（x）]min≥0．
易知f′（x）＝2ex﹣a．
①若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增；
又f（0）＝0，∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）＝0，符合题意．
②若 a＞0，由f′（x）＝0，解得x＝ln．
则当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴x＝时，函数f（x）取得最小值．
当，即0＜a≤2时，当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）＝0，符合题意．
当，即a＞2时，当时，f（x）单调递增，f（x）＜f（0）＝0，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．

22．（12分）已知函数
（1）求函数的最大值；
（2）令，若既有极大值，又有极小值，求实数
的范围；
（3）求证：当时，.
（1）解：（1）函数y＝f（x）定义域为x∈（﹣1，+∞），f′（x）＝﹣，
∴x∈（﹣1，+∞）当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上为增函数；在区间（0，+∞）为减函数，
所以f（x）max＝f（0）＝1；
（2）解：g（x）＝1+ln（x+1）﹣（a﹣2）x+x2，
g′（x）＝﹣（a﹣2）+2x＝，
g（x）既有极大值，又有极小值，
等价于方程2x2+（4﹣a）x+3﹣a＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，
即：，解得：a＞2，
所以所求实数a的取值范围是：（2，+∞）；
（3）证明：由（1）知当x＞0时，f（x）＜f（0）＝1，
∴ln（1+x）＜x，∴ln（1+）＜，
∴ln（1+1）＜1，ln（1+）＜，ln（1+）＜，…，ln（1+）＜，
∴ln（1+1）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）
＜1+++…+
＜1+++…+
＝1+2（﹣+﹣+…+﹣）
＝1+2﹣2＝2﹣1＜2．