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初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数4 二次函数的应用教课内容ppt课件
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这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数4 二次函数的应用教课内容ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了教学目标等内容，欢迎下载使用。
1、会利用二次函数的知识解决面积最值问题。2、经过面积、利润等最值问题的教学，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验。3．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；4．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值。
1.利用二次函数求实际问题的最值。2.二次函数解决实际问题中的最值问题。
1.对实际问题中数量关系的分析。2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围
前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，实际问题中最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.
1．运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛 (投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象 与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．
2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式； (4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
例1[ 中考·德州] 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池（如图2-4-8），在水池中心竖直安装了一根高为2 m 的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1 m 处达到最高，水柱落地处离水池中心3 m.（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线对应的函数表达式.（2）求水柱的最大高度是多少.
求解的一般步骤是：1.建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放在坐标中；2. 结合图形和已知条件，分析变量间的关系；3. 用待定系数法求函数表达式；4. 利用二次函数的表达式及其性质，求解实际问题.
1 (中考·铜仁)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛 物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数 表达式为 y＝－ x2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m时，这时水面宽度AB为( ) A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
2 (中考·金华)图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱 与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB 为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成 抛物线y＝－ (x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交 点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10 m，则桥面 离水面的高度AC为( ) A．16 m B. m C．16 m D. m
例2 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如 图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线对应的函 数表达式为y＝－ x2＋c且过点C(0，5).(长度单位：m) (1)直接写出c的值； (2)现因做庆典活动，计划沿拱桥的 台阶表面铺设一条宽度为1.5 m的地 毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元； (3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H， G分别在抛物线的左右侧上)，并铺设斜面EG.已知矩形 EFGH的周长为27.5 m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度 数．(精确到0.1°)
导引：(1)将点C的坐标代入计算即可；(2)首先应求出铺设 地毯的台阶的表面积，而求表面积的关键在于求得 所有台阶的水平和竖直的总长度，进而求得所需钱 数；(3)求出点G的坐标，在Rt△EFG中，利用三角 函数求∠GEF的度数． 解：(1)c＝5. (2)由(1)知OC＝5.令y＝0，即－ x2＋5＝0， 解得x1＝10，x2＝－10. ∴地毯的总长度为AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)． ∴30×1.5×20＝900(元)． ∴购买地毯需要900元．
(3)可设G的坐标为 其中a＞0， 则EF＝2a m，GF＝ 由已知得2(EF＋GF)＝27.5 m，即2 解得a1＝5，a2＝35(不合题意，舍去)．当a＝5时， ＋5＝－ ×52＋5＝3.75，∴点G的坐标是(5，3.75)． ∴EF＝10 m，GF＝3.75 m.在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝ 0.375，∴∠GEF≈20.6°.
本题实际上是一道函数与几何的综合题．主要考查根据题意和已知图形，利用数形结合思想、方程思想等来解决问题，是中等难度的试题．
3 (中考·绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时， 桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以 水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为 坐标原点时抛物线对应的函数表达式是y＝－ (x－ 6)2＋4，则选取点B为坐标原点时抛物线对应的函数 表达式是______________________．
前面我们已学习了利用二次函数解决抛物线型建筑问题,下面我们学习建立坐标系解抛物线型运动问题.
例3 〈一题多解〉如图，某灌溉设备的喷 头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线 型水流在与喷头底部A的距离为1 m 处达到距离地面最大高度2.25 m，试 建立恰当的直角坐标系并求出与该抛物线型水流对应 的二次函数关系式．
导引：解决问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，把 实际问题中的长度转化为点的坐标，从而利用待定 系数法求二次函数关系式．
解：方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物 线的顶点为O(0，0)，且经过点B(－1，－1)．于是 设所求二次函数关系式为y＝ax2， 则有－1＝a·(－1)2，得a＝－1. ∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2.
方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(0，2.25)，且抛物线经过点B(－1，1.25)．于是设所求二次函数关系式为y＝ax2＋2.25，则有1.25＝a·(－1)2＋2.25，解得a＝－1.∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2＋2.25.
方法三：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(1，2.25)，且经过点B(0，1.25)．于是设所求二次函数关系式为y＝a(x－1)2＋2.25，则有1.25＝a(－1)2＋2.25，解得a＝－1.∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.
解决抛物线型问题，其一般步骤为：(1)建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标；(2)根据图象设抛物线对应的函数表达式；(3)根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用 二次函数的性质解题．在解题过程中要充分利用抛 物线的对称性，同时要注意数形结合思想的应用．
1 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平 地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系， 水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：m) 的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A．4 m B．5 m C．6 m D．7 m
【中考·临沂】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ ；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4
3 向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与 高度之间的关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7 s与第 14 s时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最 高的( ) A．第9.5 s B．第10 s C．第10.5 s D．第11 s
1.抛物线型建筑物问题：几种常见的抛物线型建筑 物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等．解决这类 问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立 直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式， 然后利用函数解析式解决问题．
2.运动问题：(1)运动中的距离、时间、速度问题； 这类问题多根据运动规律中的公式求解．(2)物 体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思想 方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立 直角坐标系，根据已知数据,运用待定系数法求 出运动轨迹(抛物线)的解析式，再利用二次函数 的性质去分析、解决问题．
1、会利用二次函数的知识解决面积最值问题。2、经过面积、利润等最值问题的教学，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验。3．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；4．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值。
1.利用二次函数求实际问题的最值。2.二次函数解决实际问题中的最值问题。
1.对实际问题中数量关系的分析。2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围
前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，实际问题中最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.
1．运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛 (投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象 与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．
2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式； (4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
例1[ 中考·德州] 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池（如图2-4-8），在水池中心竖直安装了一根高为2 m 的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1 m 处达到最高，水柱落地处离水池中心3 m.（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线对应的函数表达式.（2）求水柱的最大高度是多少.
求解的一般步骤是：1.建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放在坐标中；2. 结合图形和已知条件，分析变量间的关系；3. 用待定系数法求函数表达式；4. 利用二次函数的表达式及其性质，求解实际问题.
1 (中考·铜仁)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛 物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数 表达式为 y＝－ x2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m时，这时水面宽度AB为( ) A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
2 (中考·金华)图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱 与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB 为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成 抛物线y＝－ (x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交 点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10 m，则桥面 离水面的高度AC为( ) A．16 m B. m C．16 m D. m
例2 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如 图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线对应的函 数表达式为y＝－ x2＋c且过点C(0，5).(长度单位：m) (1)直接写出c的值； (2)现因做庆典活动，计划沿拱桥的 台阶表面铺设一条宽度为1.5 m的地 毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元； (3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H， G分别在抛物线的左右侧上)，并铺设斜面EG.已知矩形 EFGH的周长为27.5 m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度 数．(精确到0.1°)
导引：(1)将点C的坐标代入计算即可；(2)首先应求出铺设 地毯的台阶的表面积，而求表面积的关键在于求得 所有台阶的水平和竖直的总长度，进而求得所需钱 数；(3)求出点G的坐标，在Rt△EFG中，利用三角 函数求∠GEF的度数． 解：(1)c＝5. (2)由(1)知OC＝5.令y＝0，即－ x2＋5＝0， 解得x1＝10，x2＝－10. ∴地毯的总长度为AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)． ∴30×1.5×20＝900(元)． ∴购买地毯需要900元．
(3)可设G的坐标为 其中a＞0， 则EF＝2a m，GF＝ 由已知得2(EF＋GF)＝27.5 m，即2 解得a1＝5，a2＝35(不合题意，舍去)．当a＝5时， ＋5＝－ ×52＋5＝3.75，∴点G的坐标是(5，3.75)． ∴EF＝10 m，GF＝3.75 m.在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝ 0.375，∴∠GEF≈20.6°.
本题实际上是一道函数与几何的综合题．主要考查根据题意和已知图形，利用数形结合思想、方程思想等来解决问题，是中等难度的试题．
3 (中考·绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时， 桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以 水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为 坐标原点时抛物线对应的函数表达式是y＝－ (x－ 6)2＋4，则选取点B为坐标原点时抛物线对应的函数 表达式是______________________．
前面我们已学习了利用二次函数解决抛物线型建筑问题,下面我们学习建立坐标系解抛物线型运动问题.
例3 〈一题多解〉如图，某灌溉设备的喷 头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线 型水流在与喷头底部A的距离为1 m 处达到距离地面最大高度2.25 m，试 建立恰当的直角坐标系并求出与该抛物线型水流对应 的二次函数关系式．
导引：解决问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，把 实际问题中的长度转化为点的坐标，从而利用待定 系数法求二次函数关系式．
解：方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物 线的顶点为O(0，0)，且经过点B(－1，－1)．于是 设所求二次函数关系式为y＝ax2， 则有－1＝a·(－1)2，得a＝－1. ∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2.
方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(0，2.25)，且抛物线经过点B(－1，1.25)．于是设所求二次函数关系式为y＝ax2＋2.25，则有1.25＝a·(－1)2＋2.25，解得a＝－1.∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2＋2.25.
方法三：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(1，2.25)，且经过点B(0，1.25)．于是设所求二次函数关系式为y＝a(x－1)2＋2.25，则有1.25＝a(－1)2＋2.25，解得a＝－1.∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.
解决抛物线型问题，其一般步骤为：(1)建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标；(2)根据图象设抛物线对应的函数表达式；(3)根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用 二次函数的性质解题．在解题过程中要充分利用抛 物线的对称性，同时要注意数形结合思想的应用．
1 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平 地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系， 水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：m) 的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A．4 m B．5 m C．6 m D．7 m
【中考·临沂】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ ；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4
3 向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与 高度之间的关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7 s与第 14 s时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最 高的( ) A．第9.5 s B．第10 s C．第10.5 s D．第11 s
1.抛物线型建筑物问题：几种常见的抛物线型建筑 物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等．解决这类 问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立 直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式， 然后利用函数解析式解决问题．
2.运动问题：(1)运动中的距离、时间、速度问题； 这类问题多根据运动规律中的公式求解．(2)物 体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思想 方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立 直角坐标系，根据已知数据,运用待定系数法求 出运动轨迹(抛物线)的解析式，再利用二次函数 的性质去分析、解决问题．
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