2021学年6.1 余弦定理与正弦定理第3课时导学案及答案

这是一份2021学年6.1 余弦定理与正弦定理第3课时导学案及答案，共6页。
第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形学 习 任 务核 心 素 养1．熟练掌握正弦、余弦定理及其变形．(重点)2．能利用余弦、正弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．(难点)通过余弦、正弦定理及其变形的应用，培养数学运算及逻辑推理素养． 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m，88 m，127 m，则这个区域的面积是多少？(精确到0.1 m2)知识点　三角形的面积公式(1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高).(2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．在△ABC中，边BC，CA，AB上的高ha，hb，hc怎样用对应的边和角表示？[提示]　在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么ha＝b sin C＝c sin B，hb＝c sin A＝a sin C，hc＝a sin B＝b sin A．已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为(　　)A．18    B．9    C．18    D．9 B　[由已知，得C＝180°－A－B＝30°，∴A＝C，∴BC＝AB＝6，∴S△ABC＝AB·BC·sin B＝×6×6×sin 120°＝9.] 类型1　三角形中的几何计算【例1】　在△ABC中，已知AB＝，cos ∠ABC＝，AC边上的中线BD＝，求sin A的值．[解]　如图所示，取BC的中点E，连接DE，则DE∥AB，且DE＝AB＝.∵cos ∠ABC＝，∴cos ∠BED＝－.设BE＝x，在△BDE中，利用余弦定理，可得BD2＝BE2＋ED2－2BE·ED·cos ∠BED，即5＝x2＋＋2××x.解得x＝1或x＝－(舍去)，故BC＝2.在△ABC中，利用余弦定理，可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝，即AC＝.又sin ∠ABC＝＝，∴＝，∴sin A＝.解决此类问题的着眼点：(1)找出已知边长或角的三角形，从中筛选出可解三角形；(2)找要求线段或角所在的三角形，确定所需条件．提醒：构造三角形时，要注意使构造的三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算．1．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，求其中线AD的长．[解]　在△ACD中，由余弦定理，得a2＋AD2－a×AD×cos ∠ADC＝b2，在△ABD中，由余弦定理，得a2＋AD2－a×AD×cos ∠ADB＝c2，两式相加得，a2＋2AD2－a×AD(cos ∠ADC＋cos ∠ADB)＝b2＋c2，因为cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝cos ＋cos ∠ADB＝－cos ∠ADB＋cos ∠ADB＝0，所以a2＋2AD2＝b2＋c2，所以AD＝. 类型2　三角形的面积问题【例2】　(教材北师版P115例9改编)在△ABC中，＝，＝，求证：S△ABC＝.[证明]　S△ABC＝||||sin A＝||||＝＝＝＝＝|x1y2－x2y1|.三角形面积计算公式(1)S＝aha(ha为a边上的高)；(2)S＝ab sin C＝＝2R2sin A sin B sin C(R为外接圆的半径)；(3)S＝(a＋b＋c)r(r为内切圆的半径)；(4)S＝(s为三角形周长的一半).2．已知△ABC中，·<0，S△ABC＝，||＝3，||＝5，则∠BAC＝(　　)A．30°     B．120°C．150°     D．30°或150°C　[由S△ABC＝，得×3×5sin ∠BAC＝，∴sin ∠BAC＝，又由·<0，得∠BAC>90°，∴∠BAC＝150°.] 类型3　正、余弦定理的综合应用【例3】　已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ab，若△ABC的外接圆半径为，求△ABC面积的最大值．1．在△ABC中，如何利用正弦定理进行边角转化？[提示]　(1)边转化为角：a＝2R sin A；(2)角转化为边：sin A＝.2．在△ABC中，利用余弦定理解三角形时，有什么变形技巧？[提示]　常用的变形技巧是整体代换，例如(1)a2＋b2－c2＝2ab cos C；(2)a2＝－2bc，此公式在已知b±c和bc的情况下，可以在不求b，c的前提下，建立a，A的关系．[解]　由cos C＝＝，得sin C＝，由外接圆半径R＝及sin C可得：c＝2R sin C＝4，所以a2＋b2＝16＋ab，而a2＋b2≥2ab，所以有16＋ab≥2ab⇒ab≤12，所以S△ABC≤·12·＝4.则△ABC的面积的最大值为4.本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出C，在计算面积时有三组边角可供选择：S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，通常是“依角而选”，从而把目标转向求ab的最值．要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再利用均值不等式，可以建立“平方”与“乘积”的不等关系，从而可求出ab的最值．3．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足＋ ≥1，求角A的范围．[解]　由＋≥1 ，得b＋c≥，整理得b2＋c2－a2≥bc，所以cos A＝≥，所以A∈.1．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段(　　)A．能组成直角三角形    B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形   D．不能组成三角形B　[设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为cos θ＝＝>0，所以能组成锐角三角形．]2．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为(　　)A．A>B     B．A<BC．A≥B     D．A，B的大小关系不确定A　[设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵sin A>sin B，∴2R sin A>2R sin B(R为△ABC外接圆的半径)，即a>b，故A>B.]3．△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于(　　)A．    B．    C．或    D．或D　[＝，∴sin C＝.∵0°<C<180°，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝；当C＝120°时，A＝30°，此时，S△ABC＝××1×sin 30°＝.]4．在△ABC中，B＝60°，a＝1，c＝2，则△ABC外接圆的半径R等于________．1　[由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝3，∴b＝，由正弦定理得，2R＝＝＝2，∴R＝1.]5．在△ABC中，S△ABC＝(a2＋b2－c2)，则∠C＝________．　[由S△ABC＝(a2＋b2－c2)，得ab sin C＝(a2＋b2－c2)，即sin C＝，∴sin C＝cos C，即tan C＝1，又∠C∈(0，π)，∴∠C＝.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.根据已知条件，如何正确选择解题策略解三角形？[提示]　(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.,2.求解三角形中的几何计算问题应注意哪些方面？[提示]　(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化；(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．