2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.8函数与方程及应用学案理含解析北师大版

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第八节　函数与方程及应用命题分析预测学科核心素养本节是高考的热点，主要考查：（1）利用零点存在性定理判断零点是否存在以及零点所在区间；（2）判断函数零点、方程根的个数；（3）根据零点（方程根）的情况求参数的取值范围；（4）函数模型及应用.一般出现在选择题和填空题的后两题，有时与导数综合作为解答题的一问呈现，难度较大.本节通过零点问题考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的运用，以及考生的逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第37页知识点一　函数的零点（1）函数的零点的概念对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.（2）函数的零点与方程的根的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图像与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点Ｗ.（3）零点存在性定理如果函数y＝f（x）满足：①在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f（a）·f（b）＜0；则函数y＝f（x）在（a，b）上存在零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根.• 温馨提醒 •二级结论有关函数零点的结论（1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.（3）连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.必明易错1.函数f（x）的零点是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图像与x轴交点的横坐标.2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像.1.函数f（x）＝ln x－的零点所在的大致范围是（　　）A.（1，2）　　　　　　　 B.（2，3）C.和（3，4）  D.（4，＋∞）解析：易知f（x）为增函数，由f（2）＝ln 2－1＜0，f（3）＝ln 3－＞0得f（2）·f（3）＜0.答案：B2.函数f（x）＝ex＋3x的零点个数是__________.解析：由已知得f′（x）＝ex＋3＞0，所以f（x）在R上单调递增，又f（－1）＝－3＜0，f（0）＝1＞0，因此函数f（x）有且只有一个零点.答案：13.若二次函数f（x）＝x2－2x＋m在区间（0，4）上存在零点，则实数m的取值范围是__________.解析：二次函数f（x）图像的对称轴方程为x＝1.若在区间（0，4）上存在零点，只需f（1）≤0且f（4）＞0即可，即－1＋m≤0且8＋m＞0，解得－8＜m≤1.答案：（－8，1]4.（易错题）给出下列命题：①函数f（x）＝x2－1的零点是（－1，0）和（1，0）；②函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图像连续不断），则一定有f（a）·f（b）＜0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在b2－4ac＜0时没有零点；④若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）＜0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点.其中正确的是　　　　（填序号）.答案：③④知识点二　函数模型及应用指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质　　　y＝ax（a＞1）y＝logax（a＞1）y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax1.已知f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是（　　）A.f（x）＞g（x）＞h（x）  B.g（x）＞f（x）＞h（x）C.g（x）＞h（x）＞f（x）  D.f（x）＞h（x）＞g（x）解析：由图像（图略）知，当x∈（4，＋∞）时，增长速度由大到小依次为g（x）＞f（x）＞h（x）.答案：B2.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为__________.解析：设隔墙的长度为x（0＜x＜6），矩形面积为y，则y＝x×＝2x（6－x）＝－2（x－3）2＋18，所以当x＝3时，y最大.答案：3授课提示：对应学生用书第38页题型一　函数零点个数或所在区间的判定　　1.（2019·高考全国卷Ⅲ）函数f（x）＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为（　　）A.2　　　　　　　　　 B.3C.4  D.5解析：令f（x）＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin xcos x＝0，∴2sin x（1－cos x）＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0，2π]，∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.故函数f（x）的零点为0，π，2π，共3个.答案：B2.（2021·揭阳模拟）曲线y＝与y＝x的交点横坐标所在区间为（　　）A.B.C.D.解析：设f（x）＝－x，易知f（x）单调递减，∵f＝－＞0，f＝－＜0，∴ff＜0，根据零点存在性定理可得函数零点所在区间为，即所求交点横坐标所在区间为.答案：B3.（2021·太原模拟）函数f（x）＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是（　　）A.  B.（1，2）C.（2，e）  D.（e，3）解析：因为f＝－＋－e－2＜0，f（1）＝－2＜0，f（2）＝ln 2－＜0，f（e）＝＋e－－2＞0，所以f（2）f（e）＜0，所以函数f（x）＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是（2，e）.答案：C1.判断函数零点个数的三种方法（1）解方程法：若对应方程f（x）＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点.（2）函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图像在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数的零点个数. （3）数形结合法：合理转化为两个函数的图像（易画出图像）的交点个数问题.先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数就是函数零点的个数.2.确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法（1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是否连续，其次看是否有f（a）·f（b）<0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点.（2）数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.题型二　函数模型及应用　　[例]　国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝1瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图所示.该函数模型如下：f（x）＝根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln 9.82≈2.28，ln 10.18≈2.32，ln 54.27≈3.99）[解析]　（1）由题图可知，当函数f（x）取得最大值时，0＜x＜2，此时f（x）＝44.21sin＋0.21，当x＝，即x＝时，函数f（x）取得最大值为ymax＝44.21＋0.21＝44.42.故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x＞2.由54.27e－0.3x＋10.18＜20，得e－0.3x＜，两边取自然对数得ln e－0.3x＜ln ，即－0.3x＜ln 9.82－ln 54.27，所以x＞≈＝5.7，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.1.与幂函数、指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型（底数大于1）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.2.在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图像求解最值问题，必要时可借助导数.[对点训练]某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）.（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解析：（1）当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3（x－6）]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f（x）＝（2）对于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，显然当x＝6时，ymax＝185；对于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋，6＜x≤20，x∈Z，当x＝11时，ymax＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.　函数与方程及模型应用中的核心素养（一）直观想象——数形结合思想在已知函数零点或方程根确定参数范围中的应用[例1]　（2020·高考天津卷）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－|kx2－2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（　　）A.∪（2，＋∞）B.∪（0，2）C.（－∞，0）∪（0，2）D.（－∞，0）∪（2，＋∞）[解析]　注意到g（0）＝0，所以要使g（x）恰有4个零点，只需方程|kx－2|＝恰有3个实根即可，令h（x）＝，即y＝|kx－2|与h（x）＝的图像有3个不同交点.因为h（x）＝＝当k＝0时，此时y＝|kx－2|＝2，如图1，y＝2与h（x）＝有1个交点，不满足题意；当k＜0时，如图2，此时y＝|kx－2|与h（x）＝的图象恒有3个不同交点，满足题意；当k＞0时，如图3，当y＝kx－2与y＝x2相切时，联立方程得x2－kx＋2＝0，令Δ＝0得k2－8＝0，解得k＝2（负值舍去），此时y＝|kx－2|与h（x）＝的图象有3个交点.所以k＞2.综上，k的取值范围为（－∞，0）∪（2，＋∞）.            [答案]　D已知函数有零点（方程有根），求参数取值范围常用的方法（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），通过解不等式（组）确定参数范围.（2）分离参数法：先将参数分离，化为a＝g（x）的形式，进而转化成求函数最值问题加以解决.（3）数形结合法：将函数解析式（方程）适当变形，转化为图像易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图像，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图像求解.（二）数学建模——函数建模在实际问题中的应用[例2]　某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数：①f（x）＝p·qx；②f（x）＝px2＋qx＋1；③f（x）＝x（x－q）2＋p（以上三式中p，q均为常数，且q＞1）.（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）？（2）若f（0）＝4，f（2）＝6.①求出所选函数f（x）的解析式（注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推）；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.[解析]　（1）因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f（x）＝x（x－q）2＋p.（1）①对于f（x）＝x（x－q）2＋p，由f（0）＝4，f（2）＝6，可得p＝4，（2－q）2＝1，又q＞1，所以q＝3，所以f（x）＝x3－6x2＋9x＋4（0≤x≤5）.②因为f（x）＝x3－6x2＋9x＋4（0≤x≤5），所以f′（x）＝3x2－12x＋9，令f′（x）＜0，得1＜x＜3.所以函数f（x）在（1，3）内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式（注意定义域），并进行相关求解，最后结合实际意义作答.[对点训练]某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：年份2008200920102011…投资成本x35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b（k≠0）；②y＝abx（a≠0，b＞0，且b≠1）；③y＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）.（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；（2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型.解析：（1）将（3，1），（5，2）代入y＝kx＋b（k≠0），得解得所以y＝x－.当x＝9时，y＝4，不符合题意；将（3，1），（5，2）代入y＝abx（a≠0，b＞0，且b≠1），得解得所以y＝·（）x＝2.当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意：将（3，1），（5，2）代入y＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1），得解得所以y＝log2（x－1）.当x＝9时，y＝log28＝3；当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系.（2）令log2（x－1）＞6，则x＞65.因为年利润＜10%，所以该企业要考虑转型.