数学必修 第一册8.1 二分法与求方程近似解教案设计

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本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或计算器，用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。
教学重点：用“二分法 ”求方程的近似解
教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
1．函数f(x)＝x2－3x＋2的零点为________．
答案：1和2
2．函数f(x)＝lg2x的零点是________．
答案：1
3．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，则函数g(x)＝bx－a的零点为________．
解析：据题意－eq \f(b,a)＝2，
令g(x)＝0，
则x＝eq \f(a,b)＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
知识点一 二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
典型例题
类型一 二分法的适用条件
例1 以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
答案 C
解析 使用二分法必先找到零点所在区间[a，b]，且f(a)·f(b)<0，但C中找不到这样的区间．
总结 运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
类型二 二分法的操作
例2 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点(精确度0.02)．
解 由于f(0)＝－3＜0，
f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，
故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
因为|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625＜0.02，
所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.437 5.
总结 用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．
变式训练 用二分法求函数y＝x3－2x2＋3x－6的一个正零点．
解：∵f(1)＝－4＜0，f(3)＝12＞0，
∴可取区间[1,3]作为计算的初始区间．
区间[1,3]的中点的横坐标x0＝eq \f(1＋3,2)＝2，
∴f(2)＝23－2×22＋3×2－6＝0，
∴函数的一个正零点为2.
类型三 二分法思想的考查
例3 函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点x0与eq \f(1＋\r(3),2)的大小关系为________．
答案 eq \f(1＋\r(3),2)解析 在同一坐标系内画出y＝ln x，y＝3－x2的图象如图．
由图可知，y＝ln x与y＝3－x2有唯一的交点x0∈(1，eq \r(3))．
即f(x)＝ln x＋x2－3有唯一的零点x0∈(1，eq \r(3))．
代入区间中点x＝eq \f(1＋\r(3),2)，
则ln eq \f(1＋\r(3),2)1.
∴ln eq \f(1＋\r(3),2)<3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(3),2)))2.
∴eq \f(1＋\r(3),2)总结 在实际考查中，不一定要求把二分法进行多少次，但可以要求利用二分法缩小零点所在区间．
变式训练 函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)内有无零点？若有，该零点是在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内还是在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))内？
解 ∵f(x)为R上的增函数且f(0)＝20＋03－2<0，f(1)＝21＋13－2>0，
∴f(x)在(0,1)内有且仅有1个零点x0.
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3－2＝eq \f(8\r(2)－15,8)＝eq \f(\r(128)－\r(225),8)<0，
∴x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
“二分法”是求方程近似解的一种常见方法，教学时应注意：重在对原理的认识，会用函数的知识、方法结合函数的图象判断方程的解所在的范围，能进行初步的估算，在精度上不要对学生提出要求．课程目标
学科素养
1.了解二分法的原理及其适用条件.
2.掌握二分法的实施步骤.
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
a.数学抽象：二分法的概念；
b.逻辑推理：运用二分法求近似解的原理；
c.数学运算：运用二分法求具体方程的近似解；
d.直观想象：运用函数图像理解二分法的原理；
区间
中点的值
中点函数值(或近似值)
(1,2)
1.5
0.375
(1,1.5)
1.25
－1.047
(1.25,1.5)
1.375
－0.400
(1.375,1.5)
1.437 5
－0.030
(1.437 5,1.5)
1.468 75
0.168
(1.437 5,1.468 75)
1.453 125
0.068
(1.437 5,1.453 125)