2022届一轮复习专题练习70(A) 带电粒子在组合场中的运动（解析版）

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1.(2020·江苏省南京师大苏州实验学校一模)如图1所示，半径为a的圆内有一固定的边长为1.5a的等边三角形框架ABC，框架中心与圆心重合，S为位于BC边中点处的狭缝．三角形框架内有一水平放置带电的平行金属板，框架与圆之间存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．一束质量为m、电荷量为q，不计重力的带正电的粒子，从P点由静止经两板间电场加速后通过狭缝S，垂直BC边向下进入磁场并发生偏转．忽略粒子与框架碰撞时能量与电量损失．求：
图1
(1)要使粒子进入磁场后第一次打在SB的中点，则加速电场的电压为多大？
(2)要使粒子最终仍能回到狭缝S，则加速电场电压满足什么条件？
(3)回到狭缝S的粒子在磁场中运动的最短时间是多少？
答案 (1)eq \f(9qB2a2,512m) (2)U＝eq \f(9qB2,32m)·eq \f(a2,2n－12)(n＝4,5,6，…) (3)eq \f(23πm,qB)
解析 (1)粒子在电场中加速，由动能定理有qU＝eq \f(1,2)mv2
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝eq \f(mv2,r)，
粒子打在SB的中点，则有r＝eq \f(3a,16)
解得U＝eq \f(qB2,2m)r2＝eq \f(9qB2a2,512m).
(2)要使粒子能回到狭缝S，则每次碰撞时粒子速度都应与边垂直，则r和v应满足以下条件：
①粒子与框架垂直碰撞，绕过三角形顶点时的轨迹圆弧的圆心应位于三角形顶点上，即SB为半径的奇数倍，
即r＝eq \f(SB,2n－1)＝eq \f(3a,42n－1)(n＝1,2,3，…)
②要使粒子能绕过顶点且不飞出磁场，临界情况为粒子轨迹圆与磁场区域圆相切，
即r≤a－eq \f(\r(3),2)a
解得n≥3.3，即n＝4,5,6，…
得加速电压U＝eq \f(9qB2,32m)·eq \f(a2,2n－12)(n＝4,5,6，…)．
(3)设粒子在磁场中运动周期为T
qvB＝eq \f(mv2,r)，T＝eq \f(2πr,v)
解得T＝eq \f(2πm,qB)
当n＝4时，时间最短，即tmin＝3×6×eq \f(T,2)＋3×eq \f(5,6)T＝eq \f(23,2)T
解得tmin＝eq \f(23πm,qB).
2.(2020·河南焦作市三模)如图2所示，在坐标系xOy的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ，第三象限存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B0的匀强磁场Ⅱ，第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，第四象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，且第二象限和第四象限内的电场强度大小相等．一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从y轴上的A点(0，－R)沿x轴负方向射入第三象限，随后从C点垂直于x轴进入第二象限，然后从y轴上D点沿与y轴成45°角的方向离开电场，在磁场Ⅰ中运动一段时间后，从x轴上F点进入第四象限，恰好又能从A点垂直y轴射入磁场Ⅱ，以后做周期性运动．不计粒子重力，求：
图2
(1)电场强度E的大小；
(2)磁场Ⅰ的磁感应强度B1的大小；
(3)粒子的运动周期T.
答案 (1)eq \f(B\\al(,02)qR,2m) (2)B0 (3)eq \f(3πm＋8m,2qB0)
解析 (1)根据题意可知，带电粒子在第三象限做半径为R的匀速圆周运动．
由B0v0q＝meq \f(v\\al(,02),R)
可得v0＝eq \f(B0qR,m)
在第二象限的电场中，粒子沿电场方向做匀加速直线运动，有veq \\al(,x2)＝2aR
粒子的加速度大小a＝eq \f(Eq,m)
由于粒子从D点射出时与y轴的夹角为45°，所以有vx＝v0
综合以上解得E＝eq \f(B\\al(,02)qR,2m).
(2)粒子进入磁场Ⅰ时的速度大小为v＝eq \r(2)v0
OD间的距离大小为d＝v0t＝2R
根据运动轨迹可知，粒子在磁场Ⅰ中做半径为r＝eq \r(2)R的匀速圆周运动，然后从F点射出时速度方向与x轴负方向的夹角大小也为45°
根据B1vq＝meq \f(v2,r)
联立以上可解得B1＝B0.
(3)粒子在磁场Ⅱ中做eq \f(1,4)周期的圆周运动，所以运动时间t1＝eq \f(πm,2qB0)
在磁场Ⅰ中做eq \f(1,2)周期的圆周运动，所以运动时间t2＝eq \f(πm,qB0)
由于粒子从x轴上的F点进入第四象限，恰好又能从A点垂直y轴射入磁场Ⅱ，因此可知粒子在两个电场中的运动时间相同，均为t3＝eq \f(2R,v0)＝eq \f(2m,qB0)
故粒子运动的周期为T＝t1＋t2＋2t3＝eq \f(3πm＋8m,2qB0).