2021届高中数学一轮复习 第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用 课件 （文数）（北师大版）

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【教材·知识梳理】1.向量的夹角(1)条件:平移两个非零向量a和b至同一起点,结论:∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角.
(2)范围:0°≤θ≤180°.特殊情况:当θ=0°时,a与b_________.当θ=180°时,a与b_________.当θ=90°时,a与b_________.
2.向量的数量积(1)条件:两个向量a与b,夹角θ,结论:数量_____________叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=_____________. (2)数量积的几何意义条件:a的长度|a|,b在a的方向上的投影__________ (或b的长度|b|,a在b方向上的投影__________), 结论:数量积a·b等于|a|与__________的乘积(或|b|与__________的乘积). 
3.平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=
【知识点辨析】 (正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个向量的夹角的范围是 .(　　)(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(　　)(3)a·b>0,则a与b的夹角为锐角;a·b<0,则a与b的夹角为钝角.(　　)(4)两向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)
提示:(1)×.由两个向量夹角的定义可知:两个向量夹角的范围为 .(2)√.因为向量a在b方向上的投影|a|cs θ,它是一个实数值.(3)×.因为a·b>0,则a与b的夹角为锐角或零角;a·b<0,则a与b的夹角为钝角或平角.(4)√.由向量的数量积,向量的加法、减法、数乘运算的定义可知,两个向量的数量积结果为一实数,两个向量的和或差结果为向量,向量的数乘运算结果为向量.
【教材·基础自测】1.(必修4P95例1改编)已知a·b=-12 ,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|=(　　)A.12B.6C.3 D.3【解析】选B.a·b=|a||b|cs 135°=-12 ,所以|b|=
2.(必修4P109A组T9改编)已知向量|a|=1,b= ,且a⊥b,则a=(　　)
【解析】选D.设a=(x,y),则依题意有 解得 所以a=
3.(必修4P110B组T3改编)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于(　　)
【解析】选A.c=a+kb=(1,2)+k(1,1)=(1+k,2+k),因为b⊥c,所以b·c=0,b·c=(1,1)·(1+k,2+k)=1+k+2+k=3+2k=0,所以k=- .
4.(必修4P108复习题二A组T1(13)改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的射影为　　　　. 【解析】b在a方向上的射影为|b|cs θ=4×cs 120°=-2.答案:-2
5.(必修4P97习题A组T6改编)在圆O中,长度为 的弦AB不经过圆心,则 的值为　　　　. 【解析】设向量 的夹角为θ,答案:1
【核心素养】　数学运算——向量与三角变换的综合　 【素养诠释】数学运算是根据法则、公式进行变形的正确运算,根据问题的条件寻找与设计合理、简洁的运算途径,它包括:分析运算条件、探究运算公式、确定运算程序.
与向量数量积有关运算求解能力应关注以下三点:(1)平面向量数量积的定义及运算公式.(2)明确是哪两个向量的数量积.(3)能建立平面直角坐标系的尽量建立坐标系.
【典例】 (2017·江苏高考)已知向量a=(cs x,sin x),b=(3,- ),x∈[0,π].世纪金榜导学号(1)若a∥b,求x的值.(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
【素养立意】向量数量积与三角恒等变换,三角函数图像与性质结合,考查数学运算的核心素养.