2020-2021学年陕西省榆林市高一（下）期中考试数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年陕西省榆林市高一（下）期中考试数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则B∩(ðUA)=( )
A.{1, 6}B.{1,7}C.{6, 7}D.{1,6,7}

2. cs150∘=( )
A.32B. −32 C.12D.−12

3. 若函数y=sinx和y=csx在区间D上都是增函数，则区间D可以是( )
A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)

4. 已知函数fx=ln|x|⋅sinx，则此函数的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.

5. 已知向量a→=1,1，b→=0,2，则下列结论正确的是( )
A.a→//b→B.2a→−b→⊥b→
C.|a→|=|b→|D.a→⋅b→=3

6. 若a=20.5，b=lgπ3，c=lg20.5，则( )
A.b>a>cB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

7. 若f(x)是R上周期为3的偶函数，且当0A.−2B.2C.−12D.12

8. 方程lg3x=x−4的一个实根所在的区间是( )
A.(2, 3)B.(3, 4)C.(5, 6)D.(6, 7)

9. 函数fx=2sinωx+φω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )

A.ω=2， φ=π6B.ω=12， φ=−π6C.ω=2， φ=−π6D.ω=12， φ=π6

10. 已知0<α<π2<β<π，tanα=43，cs(β−α)=210，则sinβ=( )
A.12B.22C.32D.6+24

11. 将函数y=sin(x+φ)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移π12个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin2φ=( )
A.−12B.12C.−32D.32

12. 定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)+1，当x∈[0, 1)时，f(x)=(2x−1)(2x−2)，若f(x)在[n, n+1)上的最小值为23，则n=( )
A.4B.5C.6D.7
二、填空题

函数fx=cs2x−6csx的最大值为________.
三、解答题

已知函数f(x)=lg2(1+x)−lg2(1−x)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)求满足f(x)<0的x的取值范围．

已知tan(π+α)=2.
(1)求sin(π−α)+cs(3π+α)sin(3π2−α)+cs(9π2+α)的值；

(2)求cs2αsinα⋅csα的值.

已知向量m→=(2sinx,csx)，n→=(3sinx,2sinx)，函数f(x)=m→⋅n→.
(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间[0, π]上的单调递增区间.

如图，在▱ABCD中，AB→=a→，AD→=b→，BM=2MC，AN=3NB．

(1)试用向量a→，b→表示DN→，AM→；

(2)若|AB→|=4，|AD→|=3，∠BAD=60∘，求AM→⋅ DN→的值．

已知函数f(x)=2cs2x+3sin2x+a的最小值为0.
(1)求a的值及函数y=f(x)图象的对称中心；

(2)若关于x的方程f(x)−m=0在区间[0,7π6]上有三个不相等的实数根x1，x2，x3，求m的取值范围及tan(x1+2x2+x3)的值.

已知函数f(x)=x2−2ax+1满足f(x)=f(2−x)．
(1)求a的值；

(2)若不等式f(2x)4x≥m对任意的x∈[1, +∞)恒成立，求实数m的取值范围；

(3)若函数g(x)=f(|lg2x|)−k(|lg2x|−1)有4个零点，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省榆林市高一（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
找出全集U中不属于集合B的部分，确定出集合B的补集，找出B补集与A的公共元素，即可确定出所求的集合．
【解答】
解：∵ 集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，A={2,3,4,5}，
∴ ð​UA={1, 6, 7}，又B={2,3,6,7}，
则B∩(ðUA)={6, 7}.
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
诱导公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：cs150∘=cs(180∘−30∘)=−cs30∘=−32.
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
【解析】
由题意利用正弦函数、余弦函数的单调性，可得结论．
【解答】
解：函数y=sinx和y=csx在区间(2kπ+3π2, 2kπ+2π)，k∈Z都是增函数，
∴ 区间D为(2kπ+3π2, 2kπ+2π)，k∈Z.
故选D.
4.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
奇偶函数图象的对称性
【解析】
利用函数的奇偶性和特殊值排除即可得到答案.
【解答】
解：由题意，得函数fx=ln|x|⋅sinx的定义域为{x|x≠0}，
且f−x=ln|−x|⋅sin(−x)=−ln|x|⋅sinx=−f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，
故排除选项AC；
当x∈(0,1)时，ln|x|<0，sinx>0，
∴ f(x)<0，
故排除选项B.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
平行向量（共线）
平面向量数量积的性质及其运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】

利用向量的平行，垂直，向量的模的运算法则，数量积的运算法则，化简求解判断选项即可．
【解答】
解：A，1×2−0×1≠0，故A错误；
B，2a→−b→=2,0，b→=0,2，
则2×0+0×2=0，所以2a→−b→⊥b→，故B正确；
C，|a→|=2，|b→|=2，故C错误；
D，a→⋅b→=1×0+1×2=2，故D错误．
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用指数函数和对数函数的性质即可得出．
【解答】
解：∵ 20.5>20=1，
0lg20.5∴ a>b>c．
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
函数的周期性
偶函数
【解析】
根据题意，由函数的奇偶性与周期性可得f(−132)=f(−12)=f(12)，结合函数的解析式分析可得答案．
【解答】
解：由题意得f(x)是R上周期为3的偶函数，
则f(−132)=f(−12)=f(12).
因为当0所以f(12)=lg412=−12，
所以f(−132)=−12.
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
由条阿金利用函数零点的判定定理可得函数f(x)的一个零点所在的区间为(5, 6)，即方程lg3x＝x−4的一个实根所在的区间是(5, 6)．
【解答】
解：令f(x)=lg3x−x+4，
由于f(5)=lg35−1>0，f(6)=lg36−2<0，
故函数f(x)的一个零点所在的区间为(5, 6)，
即方程lg3x=x−4的一个实根所在的区间是(5, 6).
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由函数的周期性求出ω=12，利用特殊值求出φ=π6.
【解答】
解：由题意可得T=2×8π3−2π3=4π=2πω，
所以ω=12，
所以fx=2sin12x+φ.
又因为f2π3=2，
所以12×2π3+φ=π2+2kπk∈Z.
因为φ<π2，
所以φ=π6.
故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由已知结合两角和的正弦公式即可求解．
【解答】
解：因为0<α<π2<β<π，且cs(β−α)=210，
所以sin(β−α)=1−cs(β−α)=7210，
因为sin2x+cs2x=1，tanα=43，
所以sinα=45，csα=35，
所以sinβ=sin(β−α+α)
=sin(β−α)csα+cs(β−α)sinα
=7210×35+210×45
=22.
故选B.
11.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将函数y=sin(x+φ)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），
可得函数y=sin(2x+φ)的图像，
再将所得图像向左平移π12个单位，
得到函数y=sin(2x+π6+φ)的图像，
再根据所得到的函数图像关于原点中心对称，
可得 π6+φ=kπ，k∈Z，
则φ=−π6，
则sin2φ=sin(−π3)=−sinπ3=−32.
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
函数的最值及其几何意义
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
根据x∈[0, 1]时，f(x)＝(2x−1)(2x−2)＝22x−3⋅2x+2＝(2x−32)2−14，研究其最小值，再考虑当x∈[1, 2]、[2, 3]时，相应函数的最小值，总结规律即可得到结论．
【解答】
解：①当x∈[0, 1)时，f(x)=(2x−1)(2x−2)
=22x−3⋅2x+2=(2x−32)2−14，
∵ 0≤x<1，∴ 1≤2x<2，
当2x=32，即x=lg232时，f (x)min=−14；
②当n=1，即x∈[1, 2)时，
有x−1∈[0, 1)，f(x−1)=(2x−1−32)2−14，
f(x)=2f(x−1)+1=2(2x−1−32)2+12，
∵ 0≤x−1<1，∴ 1≤2x−1<2，
当2x−1=32，x=lg23时，f (x)min=12，
③当n=2，即x∈[2, 3)，
有x−2∈[0, 1)，f(x−2)=(2x−2−32)2−14，
f(x−1)=2f(x−2)+1=2(2x−2−32)2+12，
f(x)=2f(x−1)+1=4(2x−2−32)2+2，
则2x−2=32，即x=lg26时，f(x)取得最小值2；
同理可得当n=3，即x∈[3, 4)，f(x)的最小值为2×2+1=5，
当n=4，即x∈[4, 5)，f(x)的最小值为2×5+1=11，
当n=5，即x∈[5, 6)，f(x)的最小值为2×11+1=23．
故选B.
二、填空题
【答案】
7
【考点】
二次函数的性质
余弦函数的定义域和值域
二倍角的余弦公式
【解析】
由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用二次函数的性质，余弦函数的值域，求出函数的最大值．
【解答】
解：函数fx=cs2x−6csx
=2cs2x−6csx−1
=2csx−322−112，
所以fx在−1,1上单调递减，且csx∈(−1,1)，
所以当csx=−1时，fx取得最大值7．
故答案为：7．
三、解答题
【答案】
解：(1)函数f(x)=lg2(1+x)−lg2(1−x)，
令1+x>0，1−x>0， 解得−1所以f(x)的定义域为(−1, 1)，且关于原点对称；
又f(−x)=lg2(1−x)−lg2(1+x)=−f(x)，
所以f(x)为奇函数；
(2)不等式f(x)<0，即lg2(1+x)所以1+x<1−x，解得x<0；
又f(x)的定义域是(−1, 1)，
所以满足f(x)<0时x的取值范围是(−1, 0)．
【考点】
指、对数不等式的解法
函数奇偶性的判断
【解析】
（1）求出函数f(x)的定义域，判断定义域关于原点对称，
再根据函数奇偶性的定义判断即可；
（2）根据函数的性质求不等式f(x)<0的解集即可．
【解答】
解：(1)函数f(x)=lg2(1+x)−lg2(1−x)，
令1+x>0，1−x>0， 解得−1所以f(x)的定义域为(−1, 1)，且关于原点对称；
又f(−x)=lg2(1−x)−lg2(1+x)=−f(x)，
所以f(x)为奇函数；
(2)不等式f(x)<0，即lg2(1+x)所以1+x<1−x，解得x<0；
又f(x)的定义域是(−1, 1)，
所以满足f(x)<0时x的取值范围是(−1, 0)．
【答案】
解：(1)∵ tan(π+α)=2，
∴ tanα=2，
∴ sin(π−α)+cs(3π+α)sin(3π2−α)+cs(9π2+α)
=sinα−csα−csα−sinα
=tanα−1−1−tanα
=2−1−1−2
=−13.
(2)cs2αsinα⋅csα
=cs2α−sin2αsinαcsα
=1−tan2αtanα
=−32.
【考点】
运用诱导公式化简求值
二倍角的余弦公式
【解析】
(1)由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值.
(2)由题意利用二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．
【解答】
解：(1)∵ tan(π+α)=2，
∴ tanα=2，
∴ sin(π−α)+cs(3π+α)sin(3π2−α)+cs(9π2+α)
=sinα−csα−csα−sinα
=tanα−1−1−tanα
=2−1−1−2
=−13.
(2)cs2αsinα⋅csα
=cs2α−sin2αsinαcsα
=1−tan2αtanα
=−32.
【答案】
解：(1)f(x)=23sin2x+sin2x
=1−cs2x2×23+sin2x
=sin2x−3cs2x+3
=2sin(2x−π3)+3，
所以f(x)的最小正周期为2π2=π.
(2)因为x∈[0, π]，
所以2x−π3∈[−π3,5π3]，
当2x−π3=π2时，解得x=5π12，
当2x−π3=3π2，解得x=11π12，
结合正弦函数图象可得单调递增区间为[0,5π12]，[11π12,π].
【考点】
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
正弦函数的单调性
【解析】
(1)进行数量积的坐标运算，根据二倍角的正余弦公式和两角差的正弦公式即可得出f(x)=2sin(2x−π3)+3；
(2)根据x∈[0, π]即可得出2x−π3∈[−π3,5π3]，然后由2x−π3=π2可求出x=5π12，由2x−π3=3π2可求出x=11π12，然后根据正弦函数、一次函数和复合函数的单调性即可得出f(x)在[0, π]上的单调递增区间．
【解答】
解：(1)f(x)=23sin2x+sin2x
=1−cs2x2×23+sin2x
=sin2x−3cs2x+3
=2sin(2x−π3)+3，
所以f(x)的最小正周期为2π2=π.
(2)因为x∈[0, π]，
所以2x−π3∈[−π3,5π3]，
当2x−π3=π2时，解得x=5π12，
当2x−π3=3π2，解得x=11π12，
结合正弦函数图象可得单调递增区间为[0,5π12]，[11π12,π].
【答案】
解：(1)因为AB→=a→，AD→=b→，BM=2MC，AN=3NB，且四边形ABCD是平行四边形，
所以DN→=AN→−AD→
=34AB→−AD→
=34a→−b→，
AM→=AB→+BM→
=AB→+23AD→
=a→+23b→.
(2)因为若|AB→| = 4，|AD→| = 3，∠BAD=60∘，
由(1)得AM→⋅DN→=(a→+23b→)⋅(34a→−b→)
=34a→2−12a→⋅b→−23b→2
=34×42−12×4×3×cs60∘−23×32
=3．
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量的基本定理及其意义
向量的三角形法则
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
（1）根据BM＝2MC，AN＝3NB即可得出 AN → = 34 a→， BM→ = 23b→然后代入DN →= AN → − AD → ，AM→= AB→ + BM→ 即可得答案；
【解答】
解：(1)因为AB→=a→，AD→=b→，BM=2MC，AN=3NB，且四边形ABCD是平行四边形，
所以DN→=AN→−AD→
=34AB→−AD→
=34a→−b→，
AM→=AB→+BM→
=AB→+23AD→
=a→+23b→.
(2)因为若|AB→| = 4，|AD→| = 3，∠BAD=60∘，
由(1)得AM→⋅DN→=(a→+23b→)⋅(34a→−b→)
=34a→2−12a→⋅b→−23b→2
=34×42−12×4×3×cs60∘−23×32
=3．
【答案】
解：(1)f(x)=cs2x+3sin2x+1+a
=2sin(2x+π6)+a+1，
由已知可得2×(−1)+a+1=0，
解得a=1，
所以f(x)=2sin(2x+π6)+2，
令2x+π6=kπ，可得x=kπ2−π12，
所以y=f(x)图象的对称中心为(kπ2−π12,2)，k∈Z.
(2)y=f(x)在x∈[0,7π6]上的大致图象如图所示，
由2x+π6=kπ+π2，得x=kπ2+π6.
当k=0时，对称轴为x=π6，
当k=1时，对称轴为x=2π3，
由f(x)−m=0，得f(x)=m.
若f(x)=m，有三个不相等的实根，由图可得m∈[3, 4)，
且x1，x2关于x=π6对称，x2，x3关于x=2π3对称，
则x1+x2=π3，x2+x3=4π3，
x1+2x2+x3=5π3，
tan(x1+2x2+x3)=tan5π3=−3.
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦函数的对称性
函数的零点与方程根的关系
【解析】
(1)利用辅助角公式进行转化，结合函数的对称性进行求解即可；
(2)利用函数与方程之间的关系进行转化，作出函数的图象，求出函数的对称轴结合对称性进行求解即可.
【解答】
解：(1)f(x)=cs2x+3sin2x+1+a
=2sin(2x+π6)+a+1，
由已知可得2×(−1)+a+1=0，
解得a=1，
所以f(x)=2sin(2x+π6)+2，
令2x+π6=kπ，可得x=kπ2−π12，
所以y=f(x)图象的对称中心为(kπ2−π12,2)，k∈Z.
(2)y=f(x)在x∈[0,7π6]上的大致图象如图所示，
由2x+π6=kπ+π2，得x=kπ2+π6.
当k=0时，对称轴为x=π6，
当k=1时，对称轴为x=2π3，
由f(x)−m=0，得f(x)=m.
若f(x)=m，有三个不相等的实根，由图可得m∈[3, 4)，
且x1，x2关于x=π6对称，x2，x3关于x=2π3对称，
则x1+x2=π3，x2+x3=4π3，
x1+2x2+x3=5π3，
tan(x1+2x2+x3)=tan5π3=−3.
【答案】
解：(1)∵ f(x)=f(2−x)，
∴ f(x)的图象关于x=1对称，
∴ a=1．
(2)令2x=t，
则原不等式可化为m≤(1−1t)2(t≥2)恒成立，
∴ m≤(1−1t)min2=14，
∴ m的取值范围是(−∞,14]．
(3)令b=|lg2x|，
则y=g(x)可化为y=b2−(k+2)b+k+1
=(b−1)(b−k−1)，
由(b−1)(b−k−1)=0可得b1=1或b2=k+1，
∵ y=g(x)有4个零点，b1=|lg2x|有2个零点，
∴ b2=|lg2x|有2个零点，
∴ b2=k+1>0，
∴ k>−1．
【考点】
函数的对称性
函数恒成立问题
函数的零点与方程根的关系
【解析】
(1)由题意可得对称轴为x＝1，计算可得a的值；
(2)原不等式可化为m≤(1−1t)2(t≥2)恒成立，由函数的性质可得最小值，即可得到所求范围；
(3)令t＝|lg2x|，则y＝g(x)可化为y＝t2−(k+2)t+k+1＝(t−1)(t−k−1)，令y＝0，解方程，再令其根大于0，可得所求范围．
【解答】
解：(1)∵ f(x)=f(2−x)，
∴ f(x)的图象关于x=1对称，
∴ a=1．
(2)令2x=t，
则原不等式可化为m≤(1−1t)2(t≥2)恒成立，
∴ m≤(1−1t)min2=14，
∴ m的取值范围是(−∞,14]．
(3)令b=|lg2x|，
则y=g(x)可化为y=b2−(k+2)b+k+1
=(b−1)(b−k−1)，
由(b−1)(b−k−1)=0可得b1=1或b2=k+1，
∵ y=g(x)有4个零点，b1=|lg2x|有2个零点，
∴ b2=|lg2x|有2个零点，
∴ b2=k+1>0，
∴ k>−1．