2022年中考数学专题复习类型十一 二次函数与正方形有关的问题（解析版）

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求抛物线的函数表达式:
若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围．
如图2，是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点在抛物线上的对应点，设是上的动点，是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】；；四边形可以为正方形，
【解析】
解：
将三点代入得
解得
；
如图．
关于对称的抛物线为
当过点时有
解得:
当过点时有
解得:
；
四边形可以为正方形
由题意设，
是抛物线第一象限上的点
解得:(舍去)即
如图作，于，
于
四边形为正方形
易证
为
将代入得
解得:(舍去)
当时四边形为正方形.
【典例2】如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴，∴，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
∴，∴，∴直线BD的解析式为y=﹣2x﹣6，
设点P（a，﹣2a﹣6），
∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），
根据勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，
PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∵PC=PE，
∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∴a=﹣2，∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
（3）如图，作PF⊥x轴于F，
∴F（﹣2，0），
设M（d，0），
∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），
∵以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FM=MG，
∴|d+2|=|d2+2d﹣3|，
∴d=或d=，
∴点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．
【典例3】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6，
∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，
∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴=，
当点F在x轴上方时，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；
当点F在x轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点坐标为（﹣3，﹣）；
综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；
（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），
∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，
∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，
∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．
【典例4】如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．过点N作NF⊥x轴，垂足为点F
（1）求二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式；
（2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；
（3）若M点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M的横坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，
得：，解得，故该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．
如图，设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，
∴ME=|﹣m2+2m+3|，
∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，
∴点N的横坐标为2﹣m，
∴MN=2m﹣2，
∵四边形MNFE为正方形，
∴ME=MN，
∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，
分两种情况：
①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=、m2=﹣（不符合题意，舍去），
当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8；
②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合题意，舍去），
当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8；
综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．
（3）设BC所在直线解析式为y=px+q，
把点B（3，0）、C（0，﹣3）代入表达式，
得：，解得：，
∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3，
设点M的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1，
则点N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），点D（t，t﹣3），
∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|．
∵MD=MN，∴|t2﹣3t|=2﹣2t，
分两种情况：
①当t2﹣3t=2﹣2t时，解得t1=﹣1，t2=2（不符合题意，舍去）．
②当3t﹣t2=2﹣2t时，解得t3=，t2=（不符合题意，舍去）．
综上所述，点M的横坐标为﹣1或．
【典例5】 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；
（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】： （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据轴对称，可得M′的坐标，根据待定系数法，可得AM′的解析式，根据解方程组，可得B点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据正方形的性质，可得P、Q点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．
【解答】：解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得，
抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3；
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y=（x﹣1）2﹣4，
M点的坐标为（1，﹣4），M′点的坐标为（1，4），
设AM′的解析式为y=kx+b，
将A、M′点的坐标代入，得，解得，AM′的解析式为y=2x+2，
联立AM′与抛物线，得
，解得，
C点坐标为（5，12）．S△ABC=×4×12=24；
（3）存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形，
由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得
P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），
①当顶点P（1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
将A点坐标代入函数解析式，得a（﹣1﹣1）2﹣2=0，解得a=，
抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣2，
②当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+2，将
A点坐标代入函数解析式，得a（﹣1﹣1）2+2=0，
解得a=﹣，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2，
综上所述：y=（x﹣1）2﹣2或y=﹣（x﹣1）2+2，使得四边形APBQ为正方形．
【典例6】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；
（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），由相似三角形的判定及性质可得出点F′的坐标，根据点B、F′的坐标利用待定系数法可求出直线BF的解析式，联立直线BF和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F的坐标；
（3）设对角线MN、PQ交于点O′，如图2所示．根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P、Q的位置，设出点Q的坐标为（2，2n），由正方形的性质可得出点M的坐标为（2﹣n，n）．由点M在抛物线图象上，即可得出关于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入点Q的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）将点B（6，0）、C（0，6）代入y=﹣x2+bx+c中，
得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6．
∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，
∴点D的坐标为（2，8）．
（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），如图1所示．
∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，
∴△F′BO∽△BDE，∴．
∵点B（6，0），点D（2，8），
∴点E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，∴OF′=•OB=3，∴点F′（0，3）或（0，﹣3）．
设直线BF的解析式为y=kx±3，则有0=6k+3或0=6k﹣3，解得：k=﹣或k=，
∴直线BF的解析式为y=﹣x+3或y=x﹣3．
联立直线BF与抛物线的解析式得：①或②，
解方程组①得：或（舍去），∴点F的坐标为（﹣1，）；
解方程组②得：或（舍去），∴点F的坐标为（﹣3，﹣）．
综上可知：点F的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）．
（3）设对角线MN、PQ交于点O′，如图2所示．
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上，
设点Q的坐标为（2，2n），则点M的坐标为（2﹣n，n）．
∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，
∴n=﹣+2（2﹣n）+6，即n2+2n﹣16=0，
解得：n1=﹣1，n2=﹣﹣1．
∴点Q的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）．
【典例7】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，，∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）如图1，连接PC、PE，x=﹣=﹣=1，
当x=1时，y=4，∴点D的坐标为（1，4），
设直线BD的解析式为：y=mx+n，
则，解得，，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，
设点P的坐标为（x，﹣2x+6），
则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
解得，x=2，则y=﹣2×2+6=2，
∴点P的坐标为（2，2）；
（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），
∵以F、M、G为顶点的四边形是正方形，
∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，
当2﹣a=﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，
当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，
整理得，a2﹣a﹣5=0，
解得，a=，
∴当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．