2020-2021学年江西省上饶市高一（下）第3次周测数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市高一（下）第3次周测数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. cs45∘sin75∘+sin45∘sin165∘的值为( )
A.32B.−32C.12D.−12

2. cs275∘+cs215∘+cs75∘⋅cs15∘的值为( )
A.62B.32C.34D.54

3. 若α为第四象限角，且sinα=−513，则tanα的值等于( )
A.125B.−125C.512D.−512

4. 已知csα−3sinα=0，则2csα−sinαcsα+sinα的值为（ ）
A.−54B.−45C.54D.45

5. 已知sinα−csα=23，则sin2α等于（ ）
A.49B.59C.−59D.518

6. 已知sinα=sinα+π3+13，则csα+π6的值为( )
A.13B.−13C.233D.−233

7. 已知csπ4−α=13，−π4<α<π4，则sin2α的值是（ ）
A.−429B.429C.−79D.79

8. 设tanα=3，则2sin2α−sinαcsα+1的值等于（ ）
A.1310B.52C.2D.−1

9. 函数fx=sinxcsx+3cs2x的图象的一条对称轴为( )
A.x=π12B.x=π6C.x=π3D.x=π2

10. 已知函数fx=3cs2x+2sinxcsx+1，则以下说法正确的是（ ）
A.函数fx的最大值是3+3
B.函数fx的图象的对称中心是−π6+kπ2,0, k∈Z
C.函数fx的图象的对称轴方程是x=kπ2+π24,k∈Z
D.函数fx的单调增区间是kπ−512π,kπ+π12,k∈Z

11. 已知sinx+csx=a，x∈[0, 2π)，若0A.(0,π2)B.(π2,π)∪(3π2,2π)
C.(0,π2)∪(3π2,2π)D.(π2,34π)∪(74π,2π)

12. 已知函数fx=sinωx2+3sinωxcsωxω>0在0,π上有且只有四个零点，则实数ω的取值范围是（ ）
A.53,2B.53,2C.53,2D.53,2
二、填空题

1−sin2240∘的值为________．
三、解答题

若3sinα−csαsinα+3csα=1，求：
(1)tanα的值；

(2)sinα+csαsinα−csα+cs2α的值．

已知函数f(x)=cs2x+3sinxcsx−12(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；

(2)讨论f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性.

已知0<α<π2，sinα=513.
(1)求sin2α的值；

(2)若cs(α−β)=45, 0<α<β<π2，求csβ的值.


(1)求值：sin20∘cs110∘+cs200∘sin70∘；

(2)已知α是第二象限角，化简1+sinπ−α1+sinπ+a+1−sin2π+α1−sin−a.

已知A，B，C为△ABC的内角，且2sinB−C+4csBsinC=2，A为锐角．
(1)求角A的大小；

(2)求sin2B+2sinC的取值范围.

已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)+2sin2ωx+φ2−1(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为π2．
(1)当x∈−π2,π4时，求fx的单调递减区间；

(2)将函数y=fx的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象．当x∈−π12,π6时，求函数gx的值域．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一（下）第3次周测数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正弦公式
诱导公式
【解析】
无
【解答】
解：原式=cs 45∘cs 15∘+sin 45∘sin 15∘
=cs45∘−15∘=cs 30∘=32．
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
求二倍角的正弦
同角三角函数间的基本关系
【解析】
利用诱导公式化简表达式，再用平方关系，二倍角公式化简为1+12sin30∘，求出结果．
【解答】
解：cs275∘+cs215∘+cs75∘⋅cs15∘
=cs275∘+sin275∘+sin15∘⋅cs15∘
=1+12sin30∘=54.
故选D．
3.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
象限角、轴线角
【解析】
由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tana的值．
【解答】
解：∵ sinα=−513，且α为第四象限角，
∴ csα=1−sin2α=1213，
则tanα=sinαcsα=−512.
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为csα−3sinα=0，
所以cs=3sinα，
则2csα−sinαcsα+sinα=6sinα−sinα3sinα+sinα=54
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
求二倍角的正弦
同角三角函数基本关系的运用
三角函数的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为sinα−csα=23，
两边同时平方得，1−2sinαcsα=49，
故sin2α=59，
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
运用诱导公式化简求值
两角和与差的正弦公式
【解析】
首先利用和差角化简，再利用诱导公式求值即可.
【解答】
解：∵ sinα=sinα+π3+13，
∴ sinα=sinαcsπ3+csαsinπ3+13，
即12sinα−32csα=13，即sinα−π3=13，
∴ csα+π6=sinπ2−α+π6
=sinπ3−α=−sinα−π3=−13.
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
诱导公式
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为csπ4−α=13，
所以cs2π4−α=2cs2π4−α−1=2×132−1=−79，
又因为cs2π4−α=csπ2−2α=sin2α，
所以sin2α=−79，
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为tanα=3，
则2sin2α−sinαcsα+1
=2sin2α−sinαcsα+sin2α+cs2αsin2α+cs2α
=3tan2α−tanα+1tan2α+1=3×32−3+132+1=52，
故选B．
9.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正弦公式
二倍角的正弦公式
正弦函数的对称性
【解析】
先化简，然后由周期性求出w，最后求出对称轴方程．
【解答】
解：f(x)=sinxcsx+3cs2x
=12sin2x+3(1+cs2x)2
=12sin2x+32cs2x+32
=sin(2x+π3)+32，
令2x+π3=kπ+π2，k∈Z，
解得x=π12+kπ2，k∈Z，
当k=0时， x=π12．
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
正弦函数的图象
三角函数的最值
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：fx=3cs2x+2sinxcsx+1
=3cs2x+sin2x+1=2sin2x+π3+1，
对于A，由于fx的最大值为2+1=3，故错误；
对于B，令2x+π3=kπ,k∈Z，解得x=12kπ−π6,k∈Z，可得函数fx的图象的对称中心是12kπ−π6,1，故错误；
对于C，令2x+π3=kπ+π2,k∈Z，解得x=12kπ+π12，k∈Z，可得函数fx的图象的对称轴为x=12kπ+π12, k∈Z，故错误；
对于D，令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12, k∈Z，
可得函数fx的单调增区间是kπ−5π12,kπ+π12,k∈Z，故正确．
故选D．
11.
【答案】
D
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
正弦函数的定义域和值域
【解析】
由已知利用辅助角公式化积，结合0【解答】
解：a=sinx+csx=2sin(x+π4)，
∵ 0∴ 0<2sin(x+π4)<1，
即0∴ 2kπ即−π4+2kπ∵ x∈[0, 2π)，
∴ x∈(π2,34π)∪(74π,2π)，
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的图象
函数的零点
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x)=1−cs2ωx2+32sin2ωx
=32sin2ωx−12cs2ωx+12=sin(2ωx−π6)+12，
由fx=0得sin2ux−π6=−12，
当0≤x≤π时，0≤ωx≤ωπ，0≤2ωx≤2ωπ，−π6≤2ωx−π6≤2ωπ−π6，
设t=2ωx−π6，则−π6≤t≤2ωπ−π6，
作出函数y=sint在−π6≤t≤2ωπ−π6的图象，
由sint=−12知，右侧第一个零点为t=π+π6=7π6，第二个零点为t=2π−π6=11π6，
第三个零点为t=2π+7π6，
第四个零点为t=2π+11π6，
要使fx在0,π上有且只有四个零点，
则满足2π+7π6≤2ωπ−π6<2π+11π6，
即2π+4π3≤2ωπ<2π+2π，
即53≤ω<2，
故选C．
二、填空题
【答案】
12
【考点】
三角函数的化简求值
【解析】
由240∘=180∘+60∘，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出sin240∘的值，然后把sin240∘的值代入到所求的式子中化简，即可求出值．
【解答】
解：因为sin240∘=sin(180∘+60∘)=−sin60∘=−32，
所以1−sin2240∘=1−(−32)2=12．
故答案为：12．
三、解答题
【答案】
解：(1)若3sinα−csαsinα+3csα=1，
则3sinα−csα=sinα+3csα，
整理可得sinα=2csα，
从而tanα=2．
(2)sinα+csαsinα−csα+cs2α
=2csα+csα2csα−csα+cs2α
=3+11+tan2α
=3+11+4
=165.
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
（1）由已知等式整理可得sinα=2csα，从而tanα=2．
（2）由（1）正弦化余弦，利用同角三角函数关系式即可得解．
【解答】
解：(1)若3sinα−csαsinα+3csα=1，
则3sinα−csα=sinα+3csα，
整理可得sinα=2csα，
从而tanα=2．
(2)sinα+csαsinα−csα+cs2α
=2csα+csα2csα−csα+cs2α
=3+11+tan2α
=3+11+4
=165.
【答案】
解：(1)f(x)=12+12cs2x+32sin2x−12=sin(2x+π6)，
∴ T=π.
(2)依题意，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，
∴ f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；
设A=[−π4,π4],B=[−π3+kπ,π6+kπ]，
易知A∩B=[−π4,π6]，
∴ 当x∈[−π4,π4]时，f(x)在区间[−π4,π6]上单调递增，在区间(π6,π4]上单调递减．
【考点】
两角和与差的三角函数
正弦函数的单调性
【解析】
（1）化简可得f(x)=sin(2x+π6)，进而求得最小正周期；
（2）先求得f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，进而求得f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性．
【解答】
解：(1)f(x)=12+12cs2x+32sin2x−12=sin(2x+π6)，
∴ T=π.
(2)依题意，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，
∴ f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；
设A=[−π4,π4],B=[−π3+kπ,π6+kπ]，
易知A∩B=[−π4,π6]，
∴ 当x∈[−π4,π4]时，f(x)在区间[−π4,π6]上单调递增，在区间(π6,π4]上单调递减．
【答案】
解：(1)∵0<α<π2, sinα=513，
∴csα=1−sin2α=1213，
∴sin2α=2sinαcsα=120169.
(2)∵ cs(α−β)=45, 0<α<β<π2，
∴sin(α−β)=−1−cs2(α−β)=−35，
csβ=cs[α−(α−β)]
=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)
=1213×45+513×−35
=3365.
【考点】
二倍角的正弦公式
两角和与差的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵0<α<π2, sinα=513，
∴csα=1−sin2α=1213，
∴sin2α=2sinαcsα=120169.
(2)∵ cs(α−β)=45, 0<α<β<π2，
∴sin(α−β)=−1−cs2(α−β)=−35，
csβ=cs[α−(α−β)]
=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)
=1213×45+513×−35
=3365.
【答案】
解：(1)原式=sin20∘cs90∘+20∘
+cs180∘+20∘sin90∘−20∘
=sin20∘(−sin20∘)−cs20∘cs20∘
=−sin220∘−cs220∘=−1．
(2)原式=1+sinα1−sinα+1−sinα1+sinα
=|csα|1−sinα+|csα|1+sinα.
又α是第二象限角，则csα<0,
则原式=−csα1−sinα+−csα1+sinα
=−csα−sinαcsα−csα+sinαcsαcs2α
=−2csα.
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
运用诱导公式化简求值
【解析】
(1)利用诱导公式化简，再利用sin2α+cs2α=1即可得到结论；
(2)根据a是第二象限角，得到sinα与csα的符号，再利用二次根式的性质即可得到结论．
【解答】
解：(1)原式=sin20∘cs90∘+20∘
+cs180∘+20∘sin90∘−20∘
=sin20∘(−sin20∘)−cs20∘cs20∘
=−sin220∘−cs220∘=−1．
(2)原式=1+sinα1−sinα+1−sinα1+sinα
=|csα|1−sinα+|csα|1+sinα.
又α是第二象限角，则csα<0,
则原式=−csα1−sinα+−csα1+sinα
=−csα−sinαcsα−csα+sinαcsαcs2α
=−2csα.
【答案】
解：(1)由于2sinB−C+4csBsinC=2，
整理得2sinBcsC+2csBsinC=2，
所以sinB+C=22，
由于A为锐角，
所以sinB+C=sinA=22，
解得A=π4．
(2)sin2B+2sinC=2sinBcsB+2sin3π4−B
=2sinBcsB+2sinB+csB，
令sinB+csB=t，则t∈0,2，
2sinBcsB=t2−1，
所以sin2B+2sinC=2sinBcsB+2sinB+csB
=t2+2t−1∈(−1,3]，
故sin2B+2sinC的取值范围为−1,3．
【考点】
两角和与差的正弦公式
二倍角的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由于2sinB−C+4csBsinC=2，
整理得2sinBcsC+2csBsinC=2，
所以sinB+C=22，
由于A为锐角，
所以sinB+C=sinA=22，
解得A=π4．
(2)sin2B+2sinC=2sinBcsB+2sin3π4−B
=2sinBcsB+2sinB+csB，
令sinB+csB=t，则t∈0,2，
2sinBcsB=t2−1，
所以sin2B+2sinC=2sinBcsB+2sinB+csB
=t2+2t−1∈(−1,3]，
故sin2B+2sinC的取值范围为−1,3．
【答案】
解：(1)∵ 函数f(x)=3sin(ωx+φ)−cs(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π6)，
且相邻两对称轴间的距离为π2，可得T=2×π2=2πω，求得ω=2．
再根据f(x)为奇函数，可得φ−π6=kπ，k∈Z，
即φ=kπ+π6，故可取φ=π6，
故f(x)=2sin2x．
令2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2，
求得kπ+π4≤x≤kπ+3π4，
可得f(x)的减区间为[kπ+π4, kπ+3π4]，k∈Z．
再结合x∈(−π2, π4)，可得减区间为[−π2, −π4]．
(2)将函数y=f(x)的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，
可得函数y=2sin2(x−π6)=2sin(2x−π3)的图象；
再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），
得到函数y=g(x)=2sin(4x−π3)的图象，
当x∈[−π12, π6]时，4x−π3∈[−2π3, π3]，−1≤sin(2x−π3)≤32，
∴ g(x)∈[−2, 3]．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
二倍角的余弦公式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 函数f(x)=3sin(ωx+φ)−cs(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π6)，
且相邻两对称轴间的距离为π2，可得T=2×π2=2πω，求得ω=2．
再根据f(x)为奇函数，可得φ−π6=kπ，k∈Z，
即φ=kπ+π6，故可取φ=π6，
故f(x)=2sin2x．
令2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2，
求得kπ+π4≤x≤kπ+3π4，
可得f(x)的减区间为[kπ+π4, kπ+3π4]，k∈Z．
再结合x∈(−π2, π4)，可得减区间为[−π2, −π4]．
(2)将函数y=f(x)的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，
可得函数y=2sin2(x−π6)=2sin(2x−π3)的图象；
再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），
得到函数y=g(x)=2sin(4x−π3)的图象，
当x∈[−π12, π6]时，4x−π3∈[−2π3, π3]，−1≤sin(2x−π3)≤32，
∴ g(x)∈[−2, 3]．