2020-2021学年山东省临沂市高一（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省临沂市高一（下）期末考试数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是1,2，则z¯=( )
A.1−2iB.1+2iC.2+iD.2−i

2. 若单位向量a→，b→满足a→−2b→⋅a→+b→=−12，则|a→−b→|等于( )
A.1B.2C.3D.233

3. 已知m→=3,−4，则和m→同向的单位向量是( )
A.35,−45B.−35,45C.−45,35D.45,−35

4. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D测得点A在东偏南30∘方向上，过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南60∘方向上，俯角为45∘，则该车的行驶速度为( )

A.15米/秒B.153米/秒C.20米/秒D.203米/秒

5. △ABC中，AB=4，BC=3，CA=2，则其最大内角的余弦值为( )
A.14B.1116C.−14D.78

6. 已知向量a→=2,1，b→=1,−2，则a→与b→的夹角大小为( )
A.0∘B.45∘C.60∘D.90∘

7. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A.若m // α，n // α，则m // nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，则n // αD.若m⊥α，m⊥n，则n⊥α

8. 已知集合M=−1,0,1,−2，从集合M中有放回地任取两元素作为点P的坐标，则点P落在坐标轴上的概率为( )
A.516B.716C.38D.58

9. 下面是关于复数z=2−1+i的四个命题：其中的真命题为( )
A.|z|=2B.z2=2i
C.z的共轭复数为1+iD.z的虚部为−1
二、多选题

已知平面向量a→=2,−3，b→=−1,λ，且a→，b→的夹角是钝角，则λ可以是( )
A.−1B.12C.32D.2

关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法正确的是( )
A.改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变
B.频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等
C.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数
D.样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小

袋中装有形状完全相同的3个白球和4个黑球，从中一次摸出3个球，下列事件是互斥事件的是( )
A.摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件
B.恰好有一黑球事件和都是黑球事件
C.至少一个黑球事件和至多一个白球事件
D.至少一个黑球事件和全是白球事件
三、填空题

已知向量a→=sinπ3,csπ3,b→=1,0，则a→,b→的夹角为________.

已知某地区人口总数为125万，具体分布如图，近期，卫计委拟针对18到60岁的人群开展新冠疫苗接种工作，抽样发现，他们中有80%的人符合接种的健康要求．截止3月底，已有30%符合健康要求的人接种了第一剂，据要求，这部分人需要在4月份接种第二剂，剩余70%符合健康要求的人需在4月份接种第一剂，5月份接种第二剂．则该地区4月份需要________万剂疫苗．


数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________.

复数z=1−i（其中i为虚数单位），则|z+3i|=________.
四、解答题

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，过E点作EF⊥PB交PB于点F．求证：

(1)PA // 平面EDB；

(2)PB⊥平面EFD.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2=bsinA．
(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．

从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：g）如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1)分别求出这组数据的第25，75，95百分位数；

(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；

(3)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省临沂市高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
共轭复数
【解析】
无
【解答】
解：由题知， z=1+2i，
则z¯=1−2i．
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为|a→|=|b→|=1，
a→−2b→⋅a→+b→=a→2−a→⋅b→−2b→2=−1−a→⋅b→=−12，
所以a→⋅b→=−12，
所以|a→−b→|=a→−b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2
=1−2×−12+1=3．
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
单位向量
【解析】
无
【解答】
解：因为m→=3,−4，
所以和m→同向的单位向量是：
1|m→|m→=153,−4=35,−45．
故选A．
4.
【答案】
A
【考点】
解三角形的实际应用
【解析】
无
【解答】
解：根据题意CD=900，
由B处在山顶俯角为45∘，
所以BC=900，
由A东偏南30∘，B东偏南60∘,
所以∠BAC=30∘，∠ACB=60∘−30∘=30∘，
所以△ABC为等腰三角形，
所以AB=900，
由90060=15，
所以速度为15米/秒，
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由题意知，△ABC中，∠ACB最大，
故由余弦定理得：
cs∠ACB=BC2+AC2−AB22BC⋅AC=9+4−162×3×2=−14．
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
无
【解答】
解：因为a→=2,1，b→=1,−2，
所以a→⋅b→=2×1+1×−2=0，
所以向量a→与b→的夹角是90∘．
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对A，平行同一平面的两条直线并不能判断此两条直线平行，故A错误；
对B，直线垂直于平面，则垂直于平面内的任意一条直线，故B正确；
对C，若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或者n//α，故C错误；
对D，若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或者n//α，故D错误．
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
【解答】
解：由已知得，基本事件共有4×4=16个，
其中落在坐标轴上的点为：−1,0，0,−1，0,0，1,0，0,1，−2,0，0,−2，共7个，
∴ 所求的概率P=716．
故选B．
9.
【答案】
B,D
【考点】
共轭复数
复数的模
复数的基本概念
复数代数形式的混合运算
【解析】
由z=2−1+i=2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i，知p1:|z|=2，p2:z2=2i，p3:z的共轭复数为−1+i，p4:z的虚部为−1，由此能求出结果．
【解答】
解：∵ z=2−1+i=2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i，
A，|z|=2，错误；
B，z2=2i，正确；
C，z的共轭复数为−1+i，错误；
D，z的虚部为−1，正确.
故选BD.
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
无
【解答】
解：因为a→与b→的夹角为钝角，
所以a→⋅b→<0，且a→与b→不共线，
即−2−3λ<0，且2λ≠3，
所以λ>−23且λ≠32．
故选BD．
【答案】
B,C,D
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
【解析】
直接利用相关概念，逐个判断即可.
【解答】
解：A，改变其中一个数据，平均数和中位数可能发生改变，也可能不改变，故A错误；
B，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，中位数刚好对应频率为0.5的数字，故B正确；
C，若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数，故C正确；
D，样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小，故D正确.
故选BCD.
【答案】
A,B,D
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故正确；
对于B，恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故正确；
对于C，比如三个球中两个黑球和一个白球，则至少一个黑球事件和至多一个白球事件可同时发生，故错误；
对于D，至少一个黑球事件和全是白球事件也不可能同时发生，故正确．
故选ABD．
三、填空题
【答案】
π6
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵a→=sinπ3,csπ3=32,12,b→=1,0，
则csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=32，
∵ 0≤θ≤π，
∴ θ=π6.
故答案为：π6.
【答案】
70
【考点】
扇形统计图
【解析】
由题中给出的统计图结合题意分析求解即可．
【解答】
解：18到60岁的人群中符合接种的人数为：125×70%×80%=70（万人），
又其中30%的人在4月份需要接种第二剂，
70%的人在4月份需要接种第一剂，
所以该地区4月份需要70万剂疫苗．
故答案为：70．
【答案】
8.4
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为8×30%=2.4，
故第30百分位数是第三项数据8.4.
故答案为：8.4.
【答案】
5
【考点】
复数的模
复数代数形式的加减运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为z=1−i，
所以z+3i=1−i+3i=1+2i，
所以|z+3i|=|1+2i|=12+22=5.
故答案为：5.
四、解答题
【答案】
证明：(1) 连结AC、BD，交于点O，连结OE，
∵底面ABCD是正方形，
∴ O是AC中点，
∵点E是PC的中点，
∴OE//PA.
∵OE⊂平面EDB， PA⊄平面EDB，
∴ PA//平面EDB．
(2)∵PD=DC，点E是PC的中点，
∴DE⊥PC.
∵底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
∴ PD⊥BC， CD⊥BC，且 PD∩DC=D，
∴ BC⊥平面PDC，
∴ DE⊥BC，
又PC∩BC=C，
∴ DE⊥平面PBC，
∴ DE⊥PB，
∵EF⊥PB ，EF∩DE=E，
∴PB⊥平面EFD．
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D−xyz．（1）通过PA→与平面BDE的法向量的数量积为0即得结论；
（2）通过PB→⋅DE→=PB→⋅DF→=0，即得结论；
【解答】
证明：(1) 连结AC、BD，交于点O，连结OE，
∵底面ABCD是正方形，
∴ O是AC中点，
∵点E是PC的中点，
∴OE//PA.
∵OE⊂平面EDB， PA⊄平面EDB，
∴ PA//平面EDB．
(2)∵PD=DC，点E是PC的中点，
∴DE⊥PC.
∵底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
∴ PD⊥BC， CD⊥BC，且 PD∩DC=D，
∴ BC⊥平面PDC，
∴ DE⊥BC，
又PC∩BC=C，
∴ DE⊥平面PBC，
∴ DE⊥PB，
∵EF⊥PB ，EF∩DE=E，
∴PB⊥平面EFD．
【答案】
解：(1)由题设及正弦定理得，
sinAsinA+C2=sinBsinA.
因为sinA≠0，
所以sinA+C2=sinB，
由A+B+C=180∘，
可得sinA+C2=csB2，
故csB2=2sinB2csB2.
因为csB2≠0，
所以sinB2=12，
所以B=60∘.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=34a，
由正弦定理得，
a=csinAsinC
=sin(120∘−C)sinC
=32tanC+12．
由于△ABC为锐角三角形，
故0∘由(1)知A+C=120∘,
所以30∘故12从而38因此，△ABC的面积的取值范围是38, 32.
【考点】
二倍角的正弦公式
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题设及正弦定理得，
sinAsinA+C2=sinBsinA.
因为sinA≠0，
所以sinA+C2=sinB，
由A+B+C=180∘，
可得sinA+C2=csB2，
故csB2=2sinB2csB2.
因为csB2≠0，
所以sinB2=12，
所以B=60∘.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=34a，
由正弦定理得，
a=csinAsinC
=sin(120∘−C)sinC
=32tanC+12．
由于△ABC为锐角三角形，
故0∘由(1)知A+C=120∘,
所以30∘故12从而38因此，△ABC的面积的取值范围是38, 32.
【答案】
解：(1)设事件Ai(i=1, 2, 3, 4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”．
由已知P(A1)=56，P(A2)=45，P(A3)=34，P(A4)=13．
设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，
则P(B)=P(A1A2A3¯)=56×45×(1−34)=16.
(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则P(C)=P(A1¯+A1A2¯+A1A2A3¯)
=16+56×15+56×45×(1−34)=12．
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
【解析】
（1）根据题意，设事件Ai(i=1, 2, 3, 4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，事件B即A1、A2发生，且A3¯发生，由独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；
（2）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，包含三个基本事件，即第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰，由互斥事件的概率公式，计算可得答案．
【解答】
解：(1)设事件Ai(i=1, 2, 3, 4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”．
由已知P(A1)=56，P(A2)=45，P(A3)=34，P(A4)=13．
设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，
则P(B)=P(A1A2A3¯)=56×45×(1−34)=16.
(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则P(C)=P(A1¯+A1A2¯+A1A2A3¯)
=16+56×15+56×45×(1−34)=12．
【答案】
解：(1)将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，
所以12×25%=3，12×75%=9，12×95%=11.4，
则第25百分位数是8.0+8.32=8.15，
第75百分位数是8.6+8.92=8.75，
第95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)因为共有12个数据，
所以12×15%=1.8，
则第15百分位数是第2个数据为7.9.，
即产品质量较小的前15%的产品有2个，
它们的质量分别为7.8，7.9..
(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15g，
第50百分位数为8.5g，
第95百分位数是9.9g，
所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，
质量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，
质量大于8.5g且小于等于9.9g的珍珠为优等品，
质量大于9.9g的珍珠为特优品．
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，
所以12×25%=3，12×75%=9，12×95%=11.4，
则第25百分位数是8.0+8.32=8.15，
第75百分位数是8.6+8.92=8.75，
第95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)因为共有12个数据，
所以12×15%=1.8，
则第15百分位数是第2个数据为7.9.，
即产品质量较小的前15%的产品有2个，
它们的质量分别为7.8，7.9..
(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15g，
第50百分位数为8.5g，
第95百分位数是9.9g，
所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，
质量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，
质量大于8.5g且小于等于9.9g的珍珠为优等品，
质量大于9.9g的珍珠为特优品．