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2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期末考试数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期末考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设i为虚数单位，复数z=1+2i，则|z|=( )
A.5B.5C.1D.2
2. 已知等差数列an中，a2+a8=18，则a5=( )
A.7B.11C.9D.18
3. “0A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，则椭圆的面积公式为S=πab．若椭圆的离心率为12，面积为23π，则椭圆的标准方程为( )
A.x24+y2=1或y24+x2=1B.x24+y23=1或y24+x23=1
C.x26+y23=1或y26+x23=1D.x216+y29=1或x29+y216=1
5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3，a=3，b=3，则c=( )
A.3B.3−3C.3D.23
6. 下列可能是函数fx=x2ex−e−x的图象的是( )
A.B.
C.D.
7. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“衰分”得100，60，36，21.6个单位，衰分比为40%，今共有粮mm>0石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，衰分比为20%，已知乙衰分得100石，则丁衰分得( )
A.90石B.80石C.51.2石D.64石
8. 设动直线x=m与函数fx=x2，gx=2lnx的图像分别交于M，N，则|MN|的最小值为( )
A.12B.1C.1+ln2D.1−ln2
二、多选题
下列命题正确的是( )
A.若a>b，b>c，则a>cB.若a>b，则ac2>bc2
C.若a>b，cb−dD.若a>b，c>d，则ac>bd
已知等轴双曲线C过点2,1，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为x2−y2=3B.双曲线C的离心率为2
C.焦点到渐近线的距离为3D.双曲线C的焦距为2
在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A.异面直线AC与BC1所成的角为π3
B.DA1→是平面ABC1D1的一个法向量
C.二面角A−B1C−B的正切值为22
D.正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的体积为32π
已知函数fx=13x3+x2−2在区间a−2,a+3上存在最小值，则整数a可以取( )
A.−2B.−1C.0D.1
三、填空题
函数fx=1x−2的定义域是________.
已知a→=(2, −1, 3)，b→=(−4, 2, x)，且a→⊥b→，则x=________.
已知命题p:∀x∈1,2，x2−a≥0，命题q：∃x∈R，x2−2ax+4=0．若命题p和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是________.
已知过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F，斜率为33的直线交抛物线于Ax1,y1，Bx2,y2两点，且|AB|=16，则p=________；若直线y=kx+1与抛物线C相交于M，N两点，满足|FM|=2|FN|，则k=________．
四、解答题
在①a1=1，a1a5=a22；②S3=9，S5=25；③Sn=n2.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中．
已知等差数列an的前n项和为Sn，且公差d≠0，若________，
(1)求数列an的通项公式；
(2)记bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn.
在锐角△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2asinA=3(ccsB+bcsC).
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为3，且b+c=5，求a.
如图，在四棱锥P−ABCD中，∠CAD=π6，且AD=CD=1，PA=322，△ABC和△PBC均是等边三角形，O为BC的中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求CB与平面PBD所成角的正弦值．
垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理．为了净化环境，保护水资源，某化工企业在2020年底投入100万元购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用 y（万元）；
(2)问：该企业污水处理设备使用几年年平均污水处理费用最低？最低年平均费用是多少万元？
已知函数fx=xlnx−aex+a，其中a∈R.
(1)当a=0时，求函数在e,fe处的切线方程；
(2)若函数fx在定义域内单调递减，求实数a的取值范围．
已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1−2,0，A22,0，P为椭圆上的动点(不与A1，A2重合)，且直线PA1与PA2的斜率的乘积为−12．
(1)求该椭圆的方程；
(2)已知Q−4,0，过Q的直线与椭圆交于D，E两点，求△DEF1面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数的模
【解析】
直接利用复数模的计算公式求解．
【解答】
解：∵ z=1+2i，
∴ |z|=12+22=5．
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
等差中项
等差数列的性质
【解析】
根据等差数列的性质求解即可
【解答】
解：由等差数列的性质得a2+a8=2a5=18⇒a5=9.
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可得结果.
【解答】
解：因为0所以0故选A.
4.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
根据椭圆的几何性质求解即可得结果.
【解答】
解：由题意得e2=c2a2=a2−b2a2=1−b2a2=14，
所以b2a2=34⇒ba=32，①
又πab=23π⇒ab=23，②
由①②可得a=2,b=3，
所以椭圆的标准方程为x24+y23=1或y24+x23=1.
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
三角形的形状判断
解三角形
【解析】
本体考查的是三角形中正弦定理的应用，根据大边对大角，求得角B，得出直角三角形，运用勾股定理即可求解.
【解答】
解：由正弦定理得：asinA=bsinB，
则sinB=basinA=12.
因为b所以c2=a2+b2=12，故c=23.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
根据函数的奇偶性以及单调性进行判断即可，关键是排除法的应用.
【解答】
解：函数的定义域为R，
又f(−x)=−x2e−x−ex=−x2ex−e−x=−f(x)，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A，B，
又函数在0,+∞上单调递增，故排除D.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
等比数列的通项公式
数列的应用
【解析】
根据等比数列的通项公式求解即可.
【解答】
解：由题意得甲、乙、丙、丁衰分后所得构成以0.8为公比的等比数列.
乙衰分得100石，则丙衰分得80石，丁衰分得64石.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的最值.
【解答】
解：设y=f(x)−g(x)=x2−2lnx，定义域为0,+∞，
所以y′=2x−2x=2x+1x−1x，
令y′=0则x=1或x=−1（舍去），
当0当x>1时，y′>0，函数单调递增；
所以当x=1时函数取得极小值即最小值1−2ln1=1>0，
所以函数fx−gx的最小值为1，
所以MNmin=ymin=1.
故选B.
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
本题考查不等式性质的简单应用，属基础题.
【解答】
解：A正确，符合不等式的传递性；
B不正确，当c=0时，不等式不成立；
C正确，a>b，c−d,
由不等式性质的可加性得a−c>b−d；
D不正确，取a=c=0，b=d=−1，则ac故选AC.
【答案】
A,B,C
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
点到直线的距离公式
等轴双曲线
【解析】
本题考查等轴双曲线的标准方程，离心率，及渐近线等内容，属基础题.
【解答】
解：设等轴双曲线方程为x2−y2=λλ≠0,
将点2,1代入得：λ=4−1=3，
故等轴双曲线方程为x2−y2=3，故A正确；
离心率e=ca=a2+b2a2=2，故B正确；
渐近线方程为y=±x,
焦点设为6,0，到直线y=x的距离为d=61+1=3，故C正确；
双曲线的焦距为2c=26≠2，故D不正确.
故选ABC.
【答案】
A,B,D
【考点】
二面角的平面角及求法
球内接多面体
异面直线及其所成的角
直线与平面垂直的判定
球的表面积和体积
【解析】
【解答】
解：连接BC1，A1C1，易知AC//A1C1，AC与BC1所成的角为∠A1C1B，连接A1B，△A1BC1为等边三角形，
∴ ∠A1C1B=π3，故A正确；
在正方形ADD1A1中，A1D⊥AD1.
∵ AB⊥面ADD1A1，且DA1⊂面ADD1A1，
∴ DA1⊥AB.
∵ AB∩AD1=A，AB，AD1⊂面ABC1D1，
∴ DA1⊥面ABC1D1，
∴ DA1→是面ABC1D1的一个法向量，故B正确；
连接B1C，BC1交于点E，连接AE.
∵ AB1=AC，BC=BB1，
∴ AE⊥B1C，BE⊥B1C，
∴ 二面角A−B1C−B的平面角为∠AEB.
∵ AB⊥面BCC1B1，AB⊥BE
∴ tan∠AEB=|AB||BE|.
又AB=1，易得BE=12BC1=22，
∴ tan∠AEB=2，故C错误；
设外接球半径为r，AC1可视为外接球直径，
∴ 2r=12+12+12=3，
∴ r=32，
∴ V=43πr3=43π⋅(32)3=32π，故D正确.
故选ABD.
【答案】
B,C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
本题通过求导判断函数的单调性，确定函数的极小值点，则函数在开区间内的极小值点为最小值点，从而解得参数的取值范围.
【解答】
解：由fx=13x3+x2−2，
得f′x=x2+2x，
当f′x>0时，解得x∈−∞,−2∪0,+∞，
当f′x<0时，解得x∈−2,0,
所以fx在−∞,−2，0,+∞上单调递增，fx在−2,0上单调递减，
所以f0为fx的极小值点.
当x=0时，f(0)=−2，
当f(x)=−2时，解得x=0或x=−3.
因为f(x)在区间(a−2,a+3)上存在最小值，
所以a−2<0因为a为整数，故a可取−1，0，1.
故选BCD.
三、填空题
【答案】
(2,+∞)
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可得x−2>0，解得x>2，故定义域为(2,+∞).
故答案为：(2,+∞).
【答案】
103
【考点】
空间向量的数量积运算
【解析】
根据向量垂直与数量积的关系，可得数量积为0，然后解方程即可．
【解答】
解：∵ a→=(2, −1, 3)，b→=(−4, 2, x)，且a→⊥b→，
∴ a→⋅b→=2×(−4)+(−1)×2+3×x=0，
解得x=103．
故答案为：103．
【答案】
(−∞,−2]
【考点】
函数恒成立问题
复合命题及其真假判断
一元二次不等式的解法
全称命题与特称命题
【解析】
根据题意分别求出两个命题为真命题时a的取值，再求交集即可得结果.
【解答】
解：p:a≤x2，x∈[1,2]恒成立，
又1≤x2≤4，所以a≤1；
q:Δ=4a2−16≥0，
解得a≤−2或a≥2，
若命题p和命题q都是真命题，
则a≤1,a≤−2或a≥2, 解得a≤−2，
所以实数a的取值范围为(−∞,−2].
故答案为：(−∞,−2].
【答案】
2,±223
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
直线与抛物线的位置关系
【解析】
联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与弦长公式求解即可.
【解答】
解：由题意得Fp2,0，直线AB方程为y=33x−p2，
由y=33x−p2,y2=2px得x2−7px+p24=0，
所以x1+x2=7p，
所以AB=x1+x2+p=8p=16⇒p=2.
设M(x3, y3)，N(x4, y4).
由y=k(x+1),y2=4x得k2x2+(2k2−4)x+k2=0，
Δ=(2k2−4)2−4k4>0，得k2<1，
则x3+x4=4−2k2k2，x3⋅x4=1，
因为|FM|=2|FN|，y2=4x，
所以由抛物线的定义得x3=2x4+1，
则(2x4+1)⋅x4=1，解得x3=2，x4=12，
故52=4−2k2k2，解得k=±223，符合题意.
故答案为：2；±223.
四、解答题
【答案】
解：(1)若选①：由a1=1，a1a5=a22，
得a1a1+4d=a1+d2 .
即2a1d=d2，
∵ d≠0 ，∴ d=2 ，
∴ an=1+2(n−1)=2n−1 ；
若选②：设等差数列{an}的首项为a1，由S3=9，S5=25，
得3a1+3d=9,5a1+5×42⋅d=25,
解得 a1=1,d=2,
所以an=1+2n−1=2n−1 ；
若选③：当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−n−12=2n−1，
显然n=1时也满an=2n−1，
∴ an=2n−1 .
(2)由(1)知an=2n−1，
∴ bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=1212n−1−12n+1
则Tn=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1 .
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
【解答】
解：(1)若选①：由a1=1，a1a5=a22，
得a1a1+4d=a1+d2 .
即2a1d=d2，
∵ d≠0 ，∴ d=2 ，
∴ an=1+2(n−1)=2n−1 ；
若选②：设等差数列{an}的首项为a1，由S3=9，S5=25，
得3a1+3d=9,5a1+5×42⋅d=25,
解得 a1=1,d=2,
所以an=1+2n−1=2n−1 ；
若选③：当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−n−12=2n−1，
显然n=1时也满an=2n−1，
∴ an=2n−1 .
(2)由(1)知an=2n−1，
∴ bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=1212n−1−12n+1
则Tn=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1 .
【答案】
解：(1)由正弦定理及2asinA=3ccsB+bcsC
得2sinAsinA=3sinCcsB+sinBcsC
=3sinB+C=3sinA．
∵ A∈0,π2，∴ sinA≠0，
∴ sinA=32 ，
∴ A=π3．
(2)由S△ABC=12bcsinA知，3=12bc×32 ，
∴ bc=4.
又∵ b+c=5，
∴ b2+c2=b+c2−2bc=52−2×4=17 ，
由余弦定理知，
a2=b2+c2−2bccsA=17−2×4×12=13，
∴ a=13 ．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由正弦定理及2asinA=3ccsB+bcsC
得2sinAsinA=3sinCcsB+sinBcsC
=3sinB+C=3sinA．
∵ A∈0,π2，∴ sinA≠0，
∴ sinA=32 ，
∴ A=π3．
(2)由S△ABC=12bcsinA知，3=12bc×32 ，
∴ bc=4.
又∵ b+c=5，
∴ b2+c2=b+c2−2bc=52−2×4=17 ，
由余弦定理知，
a2=b2+c2−2bccsA=17−2×4×12=13，
∴ a=13 ．
【答案】
(1)证明：在△ACD中，由已知得AC=3 ．
∵ △ABC，△PBC均为边长为3的等边三角形，
且O为BC的中点，
∴ OA⊥BC，OP⊥BC，且OA=OP=32 ．
在△PAO中，已知PA=322，则有PO2+OA2=PA2，
∴ OP⊥OA .
又∵ OA∩BC=O，OA⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴ OP⊥平面ABCD．
(2)解：以O为坐标原点，OA→,OC→,OP→分别为x轴，y轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P0,0,32，B0,−32,0，C0,32,0，D1,32,0，
∴ BC→=0,3,0，BD→=1,3,0，
BP→=0,32,32=320,1,3 ，
设平面PBD的法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅BD→=0,n→⋅BP→=0,即 x+3y=0,y+3z=0,
令z=1，则y=−3，x=3，
∴ 平面PBD的一个法向量为n→=3,−3,1，
设所求角为θ，
∴ sinθ=|cs|=3913．
∴ sinθ=3913 ．
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：在△ACD中，由已知得AC=3 ．
∵ △ABC，△PBC均为边长为3的等边三角形，
且O为BC的中点，
∴ OA⊥BC，OP⊥BC，且OA=OP=32 ．
在△PAO中，已知PA=322，则有PO2+OA2=PA2，
∴ OP⊥OA .
又∵ OA∩BC=O，OA⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴ OP⊥平面ABCD．
(2)解：以O为坐标原点，OA→,OC→,OP→分别为x轴，y轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P0,0,32，B0,−32,0，C0,32,0，D1,32,0，
∴ BC→=0,3,0，BD→=1,3,0，
BP→=0,32,32=320,1,3 ，
设平面PBD的法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅BD→=0,n→⋅BP→=0,即 x+3y=0,y+3z=0,
令z=1，则y=−3，x=3，
∴ 平面PBD的一个法向量为n→=3,−3,1，
设所求角为θ，
∴ sinθ=|cs|=3913．
∴ sinθ=3913 ．
【答案】
解：(1)依题意得，该企业使用该设备x年的维护费为
2+4+6+⋯+2x万元，
则总费用为[100+0.5x+2+4+6+⋯+2x]万元，
因此y=100+0.5x+2+4+6+⋯+2xx
=x+100x+1.5x∈N∗ .
(2)由(1)及x∈N∗可得，
y=x+100x+1.5≥2x⋅100x+1.5=21.5，
当且仅当x=100x，即x=10时等号成立，即当x=10时，y取得最小值．
∴ 该企业污水处理设备使用10年年平均费用最低，最低年平均费用是21.5万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)依题意得，该企业使用该设备x年的维护费为
2+4+6+⋯+2x万元，
则总费用为[100+0.5x+2+4+6+⋯+2x]万元，
因此y=100+0.5x+2+4+6+⋯+2xx
=x+100x+1.5x∈N∗ .
(2)由(1)及x∈N∗可得，
y=x+100x+1.5≥2x⋅100x+1.5=21.5，
当且仅当x=100x，即x=10时等号成立，即当x=10时，y取得最小值．
∴ 该企业污水处理设备使用10年年平均费用最低，最低年平均费用是21.5万元．
【答案】
解：(1)当a=0时，fx=xlnx，fe=e ，
f′x=lnx+1 ，f′e=2 ，
∴ 切线方程为：y−e=2x−e即2x−y−e=0 ．
(2)函数fx的定义域为0,+∞，
f′x=lnx+1−aex ，
∵ fx在0,+∞内是减函数，
∴ f′x=lnx+1−aex≤0在0,+∞内恒成立，
∴ a≥lnx+1ex在0,+∞内恒成立，
令gx=lnx+1ex，g′x=1x−lnx−1ex ，
ℎx=1x−lnx−1在0,+∞单调递减，且ℎ1=0，
∴ x∈0,1时，g′x>0，x∈1,+∞时，g′x<0，
gx在0,1单调递增，gx在1,+∞单调递减，
gxmax=g1=1e，
∴ a≥1e，
∴ 当fx在定义域内是减函数时，a的取值范围为[1e,+∞)．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=0时，fx=xlnx，fe=e ，
f′x=lnx+1 ，f′e=2 ，
∴ 切线方程为：y−e=2x−e即2x−y−e=0 ．
(2)函数fx的定义域为0,+∞，
f′x=lnx+1−aex ，
∵ fx在0,+∞内是减函数，
∴ f′x=lnx+1−aex≤0在0,+∞内恒成立，
∴ a≥lnx+1ex在0,+∞内恒成立，
令gx=lnx+1ex，g′x=1x−lnx−1ex ，
ℎx=1x−lnx−1在0,+∞单调递减，且ℎ1=0，
∴ x∈0,1时，g′x>0，x∈1,+∞时，g′x<0，
gx在0,1单调递增，gx在1,+∞单调递减，
gxmax=g1=1e，
∴ a≥1e，
∴ 当fx在定义域内是减函数时，a的取值范围为[1e,+∞)．
【答案】
解：(1)设Px,y，由题意得yx+2⋅yx−2=−12．
化简得椭圆方程为x22+y2=1．
(2)根据题意可知直线DE的斜率存在，且不为0.
设Dx1,y1,Ex2,y2，直线DE的方程为x=ty−4，
代入椭圆方程，整理得2+t2y2−8ty+14=0，
则Δ=−8t2−4×14×2+t2=8t2−14，
因为Δ>0，所以t2>14，
|DE|=1+t222t2−14t2+2，
焦点F1−1,0到DE的距离为d=31+t2，
则S△DEF1=32t2−14t2+2，
设m=t2−14，
则S△DEF1=32mm2+16=321m+16m≤328，
当且仅当m=16m取“=”，即m2=16时取“=”，
（此时t2=30适合Δ>0的条件）
故△DEF1面积的最大值为328．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设Px,y，由题意得yx+2⋅yx−2=−12．
化简得椭圆方程为x22+y2=1．
(2)根据题意可知直线DE的斜率存在，且不为0.
设Dx1,y1,Ex2,y2，直线DE的方程为x=ty−4，
代入椭圆方程，整理得2+t2y2−8ty+14=0，
则Δ=−8t2−4×14×2+t2=8t2−14，
因为Δ>0，所以t2>14，
|DE|=1+t222t2−14t2+2，
焦点F1−1,0到DE的距离为d=31+t2，
则S△DEF1=32t2−14t2+2，
设m=t2−14，
则S△DEF1=32mm2+16=321m+16m≤328，
当且仅当m=16m取“=”，即m2=16时取“=”，
（此时t2=30适合Δ>0的条件）
故△DEF1面积的最大值为328．
1. 设i为虚数单位，复数z=1+2i，则|z|=( )
A.5B.5C.1D.2
2. 已知等差数列an中，a2+a8=18，则a5=( )
A.7B.11C.9D.18
3. “0
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，则椭圆的面积公式为S=πab．若椭圆的离心率为12，面积为23π，则椭圆的标准方程为( )
A.x24+y2=1或y24+x2=1B.x24+y23=1或y24+x23=1
C.x26+y23=1或y26+x23=1D.x216+y29=1或x29+y216=1
5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3，a=3，b=3，则c=( )
A.3B.3−3C.3D.23
6. 下列可能是函数fx=x2ex−e−x的图象的是( )
A.B.
C.D.
7. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“衰分”得100，60，36，21.6个单位，衰分比为40%，今共有粮mm>0石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，衰分比为20%，已知乙衰分得100石，则丁衰分得( )
A.90石B.80石C.51.2石D.64石
8. 设动直线x=m与函数fx=x2，gx=2lnx的图像分别交于M，N，则|MN|的最小值为( )
A.12B.1C.1+ln2D.1−ln2
二、多选题
下列命题正确的是( )
A.若a>b，b>c，则a>cB.若a>b，则ac2>bc2
C.若a>b，c
已知等轴双曲线C过点2,1，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为x2−y2=3B.双曲线C的离心率为2
C.焦点到渐近线的距离为3D.双曲线C的焦距为2
在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A.异面直线AC与BC1所成的角为π3
B.DA1→是平面ABC1D1的一个法向量
C.二面角A−B1C−B的正切值为22
D.正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的体积为32π
已知函数fx=13x3+x2−2在区间a−2,a+3上存在最小值，则整数a可以取( )
A.−2B.−1C.0D.1
三、填空题
函数fx=1x−2的定义域是________.
已知a→=(2, −1, 3)，b→=(−4, 2, x)，且a→⊥b→，则x=________.
已知命题p:∀x∈1,2，x2−a≥0，命题q：∃x∈R，x2−2ax+4=0．若命题p和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是________.
已知过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F，斜率为33的直线交抛物线于Ax1,y1，Bx2,y2两点，且|AB|=16，则p=________；若直线y=kx+1与抛物线C相交于M，N两点，满足|FM|=2|FN|，则k=________．
四、解答题
在①a1=1，a1a5=a22；②S3=9，S5=25；③Sn=n2.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中．
已知等差数列an的前n项和为Sn，且公差d≠0，若________，
(1)求数列an的通项公式；
(2)记bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn.
在锐角△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2asinA=3(ccsB+bcsC).
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为3，且b+c=5，求a.
如图，在四棱锥P−ABCD中，∠CAD=π6，且AD=CD=1，PA=322，△ABC和△PBC均是等边三角形，O为BC的中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求CB与平面PBD所成角的正弦值．
垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理．为了净化环境，保护水资源，某化工企业在2020年底投入100万元购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用 y（万元）；
(2)问：该企业污水处理设备使用几年年平均污水处理费用最低？最低年平均费用是多少万元？
已知函数fx=xlnx−aex+a，其中a∈R.
(1)当a=0时，求函数在e,fe处的切线方程；
(2)若函数fx在定义域内单调递减，求实数a的取值范围．
已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1−2,0，A22,0，P为椭圆上的动点(不与A1，A2重合)，且直线PA1与PA2的斜率的乘积为−12．
(1)求该椭圆的方程；
(2)已知Q−4,0，过Q的直线与椭圆交于D，E两点，求△DEF1面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数的模
【解析】
直接利用复数模的计算公式求解．
【解答】
解：∵ z=1+2i，
∴ |z|=12+22=5．
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
等差中项
等差数列的性质
【解析】
根据等差数列的性质求解即可
【解答】
解：由等差数列的性质得a2+a8=2a5=18⇒a5=9.
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可得结果.
【解答】
解：因为0
4.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
根据椭圆的几何性质求解即可得结果.
【解答】
解：由题意得e2=c2a2=a2−b2a2=1−b2a2=14，
所以b2a2=34⇒ba=32，①
又πab=23π⇒ab=23，②
由①②可得a=2,b=3，
所以椭圆的标准方程为x24+y23=1或y24+x23=1.
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
三角形的形状判断
解三角形
【解析】
本体考查的是三角形中正弦定理的应用，根据大边对大角，求得角B，得出直角三角形，运用勾股定理即可求解.
【解答】
解：由正弦定理得：asinA=bsinB，
则sinB=basinA=12.
因为b
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
根据函数的奇偶性以及单调性进行判断即可，关键是排除法的应用.
【解答】
解：函数的定义域为R，
又f(−x)=−x2e−x−ex=−x2ex−e−x=−f(x)，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A，B，
又函数在0,+∞上单调递增，故排除D.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
等比数列的通项公式
数列的应用
【解析】
根据等比数列的通项公式求解即可.
【解答】
解：由题意得甲、乙、丙、丁衰分后所得构成以0.8为公比的等比数列.
乙衰分得100石，则丙衰分得80石，丁衰分得64石.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的最值.
【解答】
解：设y=f(x)−g(x)=x2−2lnx，定义域为0,+∞，
所以y′=2x−2x=2x+1x−1x，
令y′=0则x=1或x=−1（舍去），
当0
所以当x=1时函数取得极小值即最小值1−2ln1=1>0，
所以函数fx−gx的最小值为1，
所以MNmin=ymin=1.
故选B.
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
本题考查不等式性质的简单应用，属基础题.
【解答】
解：A正确，符合不等式的传递性；
B不正确，当c=0时，不等式不成立；
C正确，a>b，c
由不等式性质的可加性得a−c>b−d；
D不正确，取a=c=0，b=d=−1，则ac
【答案】
A,B,C
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
点到直线的距离公式
等轴双曲线
【解析】
本题考查等轴双曲线的标准方程，离心率，及渐近线等内容，属基础题.
【解答】
解：设等轴双曲线方程为x2−y2=λλ≠0,
将点2,1代入得：λ=4−1=3，
故等轴双曲线方程为x2−y2=3，故A正确；
离心率e=ca=a2+b2a2=2，故B正确；
渐近线方程为y=±x,
焦点设为6,0，到直线y=x的距离为d=61+1=3，故C正确；
双曲线的焦距为2c=26≠2，故D不正确.
故选ABC.
【答案】
A,B,D
【考点】
二面角的平面角及求法
球内接多面体
异面直线及其所成的角
直线与平面垂直的判定
球的表面积和体积
【解析】
【解答】
解：连接BC1，A1C1，易知AC//A1C1，AC与BC1所成的角为∠A1C1B，连接A1B，△A1BC1为等边三角形，
∴ ∠A1C1B=π3，故A正确；
在正方形ADD1A1中，A1D⊥AD1.
∵ AB⊥面ADD1A1，且DA1⊂面ADD1A1，
∴ DA1⊥AB.
∵ AB∩AD1=A，AB，AD1⊂面ABC1D1，
∴ DA1⊥面ABC1D1，
∴ DA1→是面ABC1D1的一个法向量，故B正确；
连接B1C，BC1交于点E，连接AE.
∵ AB1=AC，BC=BB1，
∴ AE⊥B1C，BE⊥B1C，
∴ 二面角A−B1C−B的平面角为∠AEB.
∵ AB⊥面BCC1B1，AB⊥BE
∴ tan∠AEB=|AB||BE|.
又AB=1，易得BE=12BC1=22，
∴ tan∠AEB=2，故C错误；
设外接球半径为r，AC1可视为外接球直径，
∴ 2r=12+12+12=3，
∴ r=32，
∴ V=43πr3=43π⋅(32)3=32π，故D正确.
故选ABD.
【答案】
B,C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
本题通过求导判断函数的单调性，确定函数的极小值点，则函数在开区间内的极小值点为最小值点，从而解得参数的取值范围.
【解答】
解：由fx=13x3+x2−2，
得f′x=x2+2x，
当f′x>0时，解得x∈−∞,−2∪0,+∞，
当f′x<0时，解得x∈−2,0,
所以fx在−∞,−2，0,+∞上单调递增，fx在−2,0上单调递减，
所以f0为fx的极小值点.
当x=0时，f(0)=−2，
当f(x)=−2时，解得x=0或x=−3.
因为f(x)在区间(a−2,a+3)上存在最小值，
所以a−2<0
故选BCD.
三、填空题
【答案】
(2,+∞)
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可得x−2>0，解得x>2，故定义域为(2,+∞).
故答案为：(2,+∞).
【答案】
103
【考点】
空间向量的数量积运算
【解析】
根据向量垂直与数量积的关系，可得数量积为0，然后解方程即可．
【解答】
解：∵ a→=(2, −1, 3)，b→=(−4, 2, x)，且a→⊥b→，
∴ a→⋅b→=2×(−4)+(−1)×2+3×x=0，
解得x=103．
故答案为：103．
【答案】
(−∞,−2]
【考点】
函数恒成立问题
复合命题及其真假判断
一元二次不等式的解法
全称命题与特称命题
【解析】
根据题意分别求出两个命题为真命题时a的取值，再求交集即可得结果.
【解答】
解：p:a≤x2，x∈[1,2]恒成立，
又1≤x2≤4，所以a≤1；
q:Δ=4a2−16≥0，
解得a≤−2或a≥2，
若命题p和命题q都是真命题，
则a≤1,a≤−2或a≥2, 解得a≤−2，
所以实数a的取值范围为(−∞,−2].
故答案为：(−∞,−2].
【答案】
2,±223
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
直线与抛物线的位置关系
【解析】
联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与弦长公式求解即可.
【解答】
解：由题意得Fp2,0，直线AB方程为y=33x−p2，
由y=33x−p2,y2=2px得x2−7px+p24=0，
所以x1+x2=7p，
所以AB=x1+x2+p=8p=16⇒p=2.
设M(x3, y3)，N(x4, y4).
由y=k(x+1),y2=4x得k2x2+(2k2−4)x+k2=0，
Δ=(2k2−4)2−4k4>0，得k2<1，
则x3+x4=4−2k2k2，x3⋅x4=1，
因为|FM|=2|FN|，y2=4x，
所以由抛物线的定义得x3=2x4+1，
则(2x4+1)⋅x4=1，解得x3=2，x4=12，
故52=4−2k2k2，解得k=±223，符合题意.
故答案为：2；±223.
四、解答题
【答案】
解：(1)若选①：由a1=1，a1a5=a22，
得a1a1+4d=a1+d2 .
即2a1d=d2，
∵ d≠0 ，∴ d=2 ，
∴ an=1+2(n−1)=2n−1 ；
若选②：设等差数列{an}的首项为a1，由S3=9，S5=25，
得3a1+3d=9,5a1+5×42⋅d=25,
解得 a1=1,d=2,
所以an=1+2n−1=2n−1 ；
若选③：当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−n−12=2n−1，
显然n=1时也满an=2n−1，
∴ an=2n−1 .
(2)由(1)知an=2n−1，
∴ bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=1212n−1−12n+1
则Tn=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1 .
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
【解答】
解：(1)若选①：由a1=1，a1a5=a22，
得a1a1+4d=a1+d2 .
即2a1d=d2，
∵ d≠0 ，∴ d=2 ，
∴ an=1+2(n−1)=2n−1 ；
若选②：设等差数列{an}的首项为a1，由S3=9，S5=25，
得3a1+3d=9,5a1+5×42⋅d=25,
解得 a1=1,d=2,
所以an=1+2n−1=2n−1 ；
若选③：当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−n−12=2n−1，
显然n=1时也满an=2n−1，
∴ an=2n−1 .
(2)由(1)知an=2n−1，
∴ bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=1212n−1−12n+1
则Tn=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1 .
【答案】
解：(1)由正弦定理及2asinA=3ccsB+bcsC
得2sinAsinA=3sinCcsB+sinBcsC
=3sinB+C=3sinA．
∵ A∈0,π2，∴ sinA≠0，
∴ sinA=32 ，
∴ A=π3．
(2)由S△ABC=12bcsinA知，3=12bc×32 ，
∴ bc=4.
又∵ b+c=5，
∴ b2+c2=b+c2−2bc=52−2×4=17 ，
由余弦定理知，
a2=b2+c2−2bccsA=17−2×4×12=13，
∴ a=13 ．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由正弦定理及2asinA=3ccsB+bcsC
得2sinAsinA=3sinCcsB+sinBcsC
=3sinB+C=3sinA．
∵ A∈0,π2，∴ sinA≠0，
∴ sinA=32 ，
∴ A=π3．
(2)由S△ABC=12bcsinA知，3=12bc×32 ，
∴ bc=4.
又∵ b+c=5，
∴ b2+c2=b+c2−2bc=52−2×4=17 ，
由余弦定理知，
a2=b2+c2−2bccsA=17−2×4×12=13，
∴ a=13 ．
【答案】
(1)证明：在△ACD中，由已知得AC=3 ．
∵ △ABC，△PBC均为边长为3的等边三角形，
且O为BC的中点，
∴ OA⊥BC，OP⊥BC，且OA=OP=32 ．
在△PAO中，已知PA=322，则有PO2+OA2=PA2，
∴ OP⊥OA .
又∵ OA∩BC=O，OA⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴ OP⊥平面ABCD．
(2)解：以O为坐标原点，OA→,OC→,OP→分别为x轴，y轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P0,0,32，B0,−32,0，C0,32,0，D1,32,0，
∴ BC→=0,3,0，BD→=1,3,0，
BP→=0,32,32=320,1,3 ，
设平面PBD的法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅BD→=0,n→⋅BP→=0,即 x+3y=0,y+3z=0,
令z=1，则y=−3，x=3，
∴ 平面PBD的一个法向量为n→=3,−3,1，
设所求角为θ，
∴ sinθ=|cs
∴ sinθ=3913 ．
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：在△ACD中，由已知得AC=3 ．
∵ △ABC，△PBC均为边长为3的等边三角形，
且O为BC的中点，
∴ OA⊥BC，OP⊥BC，且OA=OP=32 ．
在△PAO中，已知PA=322，则有PO2+OA2=PA2，
∴ OP⊥OA .
又∵ OA∩BC=O，OA⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴ OP⊥平面ABCD．
(2)解：以O为坐标原点，OA→,OC→,OP→分别为x轴，y轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P0,0,32，B0,−32,0，C0,32,0，D1,32,0，
∴ BC→=0,3,0，BD→=1,3,0，
BP→=0,32,32=320,1,3 ，
设平面PBD的法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅BD→=0,n→⋅BP→=0,即 x+3y=0,y+3z=0,
令z=1，则y=−3，x=3，
∴ 平面PBD的一个法向量为n→=3,−3,1，
设所求角为θ，
∴ sinθ=|cs
∴ sinθ=3913 ．
【答案】
解：(1)依题意得，该企业使用该设备x年的维护费为
2+4+6+⋯+2x万元，
则总费用为[100+0.5x+2+4+6+⋯+2x]万元，
因此y=100+0.5x+2+4+6+⋯+2xx
=x+100x+1.5x∈N∗ .
(2)由(1)及x∈N∗可得，
y=x+100x+1.5≥2x⋅100x+1.5=21.5，
当且仅当x=100x，即x=10时等号成立，即当x=10时，y取得最小值．
∴ 该企业污水处理设备使用10年年平均费用最低，最低年平均费用是21.5万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)依题意得，该企业使用该设备x年的维护费为
2+4+6+⋯+2x万元，
则总费用为[100+0.5x+2+4+6+⋯+2x]万元，
因此y=100+0.5x+2+4+6+⋯+2xx
=x+100x+1.5x∈N∗ .
(2)由(1)及x∈N∗可得，
y=x+100x+1.5≥2x⋅100x+1.5=21.5，
当且仅当x=100x，即x=10时等号成立，即当x=10时，y取得最小值．
∴ 该企业污水处理设备使用10年年平均费用最低，最低年平均费用是21.5万元．
【答案】
解：(1)当a=0时，fx=xlnx，fe=e ，
f′x=lnx+1 ，f′e=2 ，
∴ 切线方程为：y−e=2x−e即2x−y−e=0 ．
(2)函数fx的定义域为0,+∞，
f′x=lnx+1−aex ，
∵ fx在0,+∞内是减函数，
∴ f′x=lnx+1−aex≤0在0,+∞内恒成立，
∴ a≥lnx+1ex在0,+∞内恒成立，
令gx=lnx+1ex，g′x=1x−lnx−1ex ，
ℎx=1x−lnx−1在0,+∞单调递减，且ℎ1=0，
∴ x∈0,1时，g′x>0，x∈1,+∞时，g′x<0，
gx在0,1单调递增，gx在1,+∞单调递减，
gxmax=g1=1e，
∴ a≥1e，
∴ 当fx在定义域内是减函数时，a的取值范围为[1e,+∞)．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=0时，fx=xlnx，fe=e ，
f′x=lnx+1 ，f′e=2 ，
∴ 切线方程为：y−e=2x−e即2x−y−e=0 ．
(2)函数fx的定义域为0,+∞，
f′x=lnx+1−aex ，
∵ fx在0,+∞内是减函数，
∴ f′x=lnx+1−aex≤0在0,+∞内恒成立，
∴ a≥lnx+1ex在0,+∞内恒成立，
令gx=lnx+1ex，g′x=1x−lnx−1ex ，
ℎx=1x−lnx−1在0,+∞单调递减，且ℎ1=0，
∴ x∈0,1时，g′x>0，x∈1,+∞时，g′x<0，
gx在0,1单调递增，gx在1,+∞单调递减，
gxmax=g1=1e，
∴ a≥1e，
∴ 当fx在定义域内是减函数时，a的取值范围为[1e,+∞)．
【答案】
解：(1)设Px,y，由题意得yx+2⋅yx−2=−12．
化简得椭圆方程为x22+y2=1．
(2)根据题意可知直线DE的斜率存在，且不为0.
设Dx1,y1,Ex2,y2，直线DE的方程为x=ty−4，
代入椭圆方程，整理得2+t2y2−8ty+14=0，
则Δ=−8t2−4×14×2+t2=8t2−14，
因为Δ>0，所以t2>14，
|DE|=1+t222t2−14t2+2，
焦点F1−1,0到DE的距离为d=31+t2，
则S△DEF1=32t2−14t2+2，
设m=t2−14，
则S△DEF1=32mm2+16=321m+16m≤328，
当且仅当m=16m取“=”，即m2=16时取“=”，
（此时t2=30适合Δ>0的条件）
故△DEF1面积的最大值为328．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设Px,y，由题意得yx+2⋅yx−2=−12．
化简得椭圆方程为x22+y2=1．
(2)根据题意可知直线DE的斜率存在，且不为0.
设Dx1,y1,Ex2,y2，直线DE的方程为x=ty−4，
代入椭圆方程，整理得2+t2y2−8ty+14=0，
则Δ=−8t2−4×14×2+t2=8t2−14，
因为Δ>0，所以t2>14，
|DE|=1+t222t2−14t2+2，
焦点F1−1,0到DE的距离为d=31+t2，
则S△DEF1=32t2−14t2+2，
设m=t2−14，
则S△DEF1=32mm2+16=321m+16m≤328，
当且仅当m=16m取“=”，即m2=16时取“=”，
（此时t2=30适合Δ>0的条件）
故△DEF1面积的最大值为328．
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