2021届陕西省榆林市高三上学期理数第一次高考模拟测试试卷及答案

这是一份2021届陕西省榆林市高三上学期理数第一次高考模拟测试试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三上学期理数第一次高考模拟测试试卷
一、单项选择题
1.假设复数z为纯虚数，且 ，那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C. -2                                         D. 2
2.集合 ，假设 ，那么 〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
3.如图，角 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，那么 〔    〕

A.                         B.                         C.                         D. 
4.以下四个函数：① ；② ；③ ；④ ，其中定义域与值域相同的函数的个数为〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
5.在△ 中， 为 边上的中线，E为 的中点，那么 〔   〕
A.                  B.                  C.                  D. 
6.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的根底上创造的，是中国古代一项伟大的、重要的创造，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算〞一词最早见于东汉徐岳所撰的?数术记遗?，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.〞北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3局部，上、下两局部是停游珠用的，中间一局部是作定位用的.以下列图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、 ，上面一粒珠〔简称上珠〕代表5，下面一粒珠〔简称下珠〕是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数〔除了1和本身没有其它的约数〕的概率是〔    〕

A.                                           B.                                           C.                                           D. 
7. 是两条直线， 是两个平面，那么 的一个充分条件是〔    〕
A. ， ，                                    B. ， ，
C. ， ，                                    D. ， ，
8.假设 ，那么〔    〕
A. 图像关于直线 对称                                   B. 图像关于 对称
C. 最小正周期为                                                   D. 在 上单调递增
9.在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，假设 ， ， 的面积为 ，那么 〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
10.双曲线 的左､右焦点分别为 ，过 的直线与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，假设 为等边三角形，那么双曲线的离心率为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 3
11.设 ，随机变量的分布

-1
0
1
P

a
b
那么当a在 内增大时，〔    〕
A. 增大， 增大                                       B. 增大， 减小
C. 减小， 增大                                     D. 减小， 减小
12.定义在R上的偶函数 满足 ，且 在 上递减.假设 ， ， ，那么a，b，c的大小关系为〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
二、填空题
13.假设二项式 的展开式中二项式系数的和为64，那么展开式中的常数项为________.
14.过抛物线 的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，假设 ，那么 (O为坐标原点)的面积为________.
15.一个棱长为1的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，那么该半球体(包括底面)的外表积为________.
16.假设 ，那么下面不等式正确的选项是________.
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
三、解答题
17.数列 是等差数列， 是数列 的前n项和， ， .
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
18.为了推进分级诊疗，实现“基层首诊､双向转诊､急慢分治､上下联动〞的诊疗模式，某城市自2021年起全面推行家庭医生签约效劳.该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.


〔1〕估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；
〔2〕据统计，该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由.
19.如图，在正四面体 中，点E，F分别是 的中点，点G，H分别在 上，且 ， .

〔1〕求证：直线 必相交于一点，且这个交点在直线 上；
〔2〕求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.椭圆 与抛物线 有相同的焦点 ，抛物线 的准线交椭圆 于 ， 两点，且 .
〔1〕求椭圆 与抛物线 的方程；
〔2〕为坐标原点，假设 为椭圆 上任意一点，以 为圆心， 为半径的圆 与椭圆 的焦点 为圆心，以 为半径的圆 交于 ， 两点，求证： 为定值.
21.函数 .
〔1〕设 ，求 的单调区间；
〔2〕求证：存在恰有2个切点的曲线 的切线.
22.在直角坐标系 中，直线l过点 ，倾斜角为 .以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为： .
〔1〕求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；
〔2〕假设直线l交曲线C于A，B两点，M为 中点，且满足 成等比数列，求直线l的斜率.
23.函数 .
〔1〕当 时，求 的最小值；
〔2〕当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意，复数 ，
因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 .
故答案为：D.

【分析】根据复数的运算法那么，化简复数为， 根据复数z为纯虚数，即可求解。
2.【解析】【解答】由题意，集合 ，
因为 ，所以 ，解得 ，那么
所以集合 ，所以 .
故答案为：D.

【分析】因为 ，求得，那么 ， 得到集合 ，结合集合并集的概念及运算，即可求解。
3.【解析】【解答】由图可知 ，
所以 ，
故答案为：A.

【分析】由图可知 ， ， 根据平面向量数量积的坐标运算，可得， 即可得出答案。
4.【解析】【解答】①函数 的定义域为 ，值域也为 ；即定义域和值域相同；②函数 的定义域为 ，值域也为 ；即定义域和值域相同；③指数函数 的定义域为 ，值域为 ，即定义域和值域不同；④幂函数 的定义域为 ，值域也为 ，即定义域和值域相同；
故答案为：C.

【分析】根据根本初等函数的性质，逐个判断函数的定义域和值域，即可得出答案。
5.【解析】【解答】解：根据向量的运算法那么，可得

  ，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法运算法那么-------三角形法那么，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
6.【解析】【解答】由题意可知，算盘所表示的数可能有：7、16、25、52、61、70，
其中是质数的有：7、61，故所求事件的概率为 .
故答案为：A.

【分析】利用列举法求出根本领件有6个，算盘表示的数为质数包含的根本领件有2个，由此能求出算盘表示的数为质数的概率。
7.【解析】【解答】由a，b是两条不同的直线， 是两个不同的平面，
在A中， ， ， ，因为 的方向不确定，那么a与b可以成任意角，A不符合题意；
在B中， ， ， ，根据对应的性质可知，可知a与b是平行的，B不符合题意；
在C中，由 ， ， ，可知 ，由线面垂直的性质可知 ，C符合题意；
在D中， ， ， ，可得a与b可以成任意角，D不符合题意．
故答案为：C.

【分析】在A中，a与b可以成任意角；在B中，a与b是平行的；在C中，可得， 从而得到；在D中，可得a与b可以成任意角，即可得到答案。
8.【解析】【解答】对于A，由于 ， ，
所以图像不关于直线 对称，A不符合题意；
对于B，由于 ，
所以图像关于 对称，正确；
对于C， ， ，
所以 不是函数 的周期；
对于D， ，所以 在 上不是单调递增.
故答案为：B.

【分析】分别取特殊值可判断A,C,D不正确，由可判断B正确。
9.【解析】【解答】 ，所以 ，
由余弦定理可得： 得
又由正弦定理可得： ，所以 ，
故答案为：A.

【分析】根据三角形的面积公式，可求出， 由余弦定理可求出， 再根据正弦定理可得答案。
10.【解析】【解答】解析：取 的中点D，连结 ，

设 ，那么 ，因为
所以
从而 ，
故答案为：C.

【分析】设 ，那么 ，因为 ， 即， 即可求出双曲线的离心率。
11.【解析】【解答】解：由因为分布列中概率之和为1，可得 ，
∴ ，∴当 增大时， 减小，
又由
可知当 在 内增大时， 减小.
故答案为：D.

【分析】利用分布列求出期望与方差，通过的范围，判断期望与方差的单调性即可。
12.【解析】【解答】因为定义在R上的偶函数，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 是以2为周期的周期函数，又 在 上递减，所以在 递增，
， ， ，
因为 ， 在 上递增，所以 ， ，
即 ，
故答案为：A.

【分析】由在R上是偶函数且在 上递减，可得在 递增，然后比较的自变量，进而判断得出结果。
二、填空题
13.【解析】【解答】解：因为二项式 的展开式中二项式系数的和为64，所以 ，所以 ，二项式 的展开式中常数项为 .
故答案为：15

【分析】由题意利用二项式系数的性质求得的值，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求出的值，即可求得常数项。
14.【解析】【解答】由题意知， ，不妨设 在第一象限， ， ，
设 ，

联立方程 ，整理可得 ，解得 ，
.
故答案为：

【分析】设 在第一象限，， ， 将该直线方程与抛物线方程联立，解出， ， 再利用求出即可。
15.【解析】【解答】作出半球和正方体的轴截面，如下列图，

设求得的半径为 ，
因为正方体的棱长为1，所以正方体的对角线长 ，
在直角 中， ，
半球的外表积为 .
故答案为： .

【分析】由题意，结合正方体的体积求出外接球的半径，再由球的外表积公式求解即可。
16.【解析】【解答】解：对①，令 ，
那么 ，
当 的正负不确定，
故 与 的大小不确定，故①错误；
对②，令 ，
那么 ，
当 ，
在 上单调递增，
又 ，
，
即 ，
即： ，故②正确；
对③，,令 ，
那么 ，
当 ，
在 上单调递增，
又 ，
，
即： ，故③错误；
对④，令 ，
那么 ，
当 ，
在 上单调递增，
又 ，
，
即： ，故④正确；
对⑤，,令 ，
那么 ，
当 的符号不能确定，
与 的大小不能确定，
即 与 的大小不能确定，故⑤错误；
故答案为：②④.

【分析】构造函数，然后求导，根据函数的单调性判断即可。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用等差数列的定义、前项和公式以及等差数列的性质，即可求出数列的通项公式；
〔2〕由〔1〕得  ， 进而得出  ， 利用裂项相消法即可得出数列  的前  项和 。
18.【解析】【分析】〔1〕根据题中频率分布直方图与各年龄段被访者的签约率，分别计算50岁以上各年龄段的居民人数，再求和，即可得出结果；
〔2〕根据题中条件，先确定年龄在18-30岁的人数，年龄在30-50岁的人数，以及年龄在50岁以上的人数，即可确定结果。
19.【解析】【分析】〔1〕由条件推导出 E，F，G，H四点共面，再由EF与GH从能平行，证明出 直线  必相交于一点，且这个交点在直线  上；
〔2〕 取  的中点O， 那么  ，所以  平面  ， 以O为坐标原点建立如下列图的空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出  与平面  所成角的余弦值，进而求出  与平面  所成角的正弦值 。 
20.【解析】【分析】〔1〕由求出椭圆的焦点  ，抛物线的焦点  ， 再由抛物线与椭圆有相同的焦点，可得 ，把抛物线的准线方程与椭圆方程联立，可得  ，再由 解出  ，  ， 可得椭圆  与抛物线  的方程；
〔2〕 设  ， 圆  的方程为：  ，圆  的方程为：  ， 直线  的方程为： ， 设点  到直线  的距离为  ， 根据点到直线的距离公式求出， 进而得出  为定值 。
 
21.【解析】【分析】〔1〕求出函数的解析式，然后分类讨论，结合导数进行求解即可求得  的单调区间 ；
〔2〕先对求导，然后假设存在直线以  ，  为切点，不妨设  ，那么  ， ， 可得以  为切点的切线方程和以  为切点的切线方程，那么  ，令  ，那么  ，  ， 令  ，  ， 求导可得  的单调性，进而证得存在恰有2个切点的曲线  的切线。
22.【解析】【分析】〔1〕根据直线过点P，及倾斜角  ，代入公式，即可求得参数方程，将曲线C左右同乘， 即可求得曲线C的直角坐标方程；
〔2〕将直线l的参数方程带入曲线C的直角坐标方程可得关于t的一元二次方程，根据t的几何意义及题干条件，可得 ， 即可求得答案。
23.【解析】【分析】〔1〕代入的值，然后将写为分段函数的形式，再判断函数的单调性，求出其最小值；
〔2〕由题意知不等式化为 ， 即  在  上恒成立， 令  在  上单调递减， 从而得出  ，进而求出的取值范围。