2021届广东省深圳市六校高三数学第一次联考试卷及答案
展开这是一份2021届广东省深圳市六校高三数学第一次联考试卷及答案,共10页。试卷主要包含了多项选择题〔共4题,每题5分等内容,欢迎下载使用。
高三数学第一次联考试卷
一、单项选择题〔共8题,每一题5分,共40分。〕
1.集合 ,那么 〔 〕
A.{x|0<x<l}
B.{x|x>0}
C.{x|1<x<3}
D.{x|0<x<3}
2.复数 在复平面内对应点的坐标为〔 〕
A.
B.
C.
D.
3.假设定义在R上的函数f(x)不是偶函数,那么以下命题正确的选项是〔 )
A.
B.
C.
D.
4.抛物线 的焦点坐标是〔 〕
A. B. C. D.
5.数列{an}的通项公式 ,那么数列前n项和S,取最小值时,n的值是〔)
6.两条不同的直线l,m和两个不同的平面α,β,那么:
⑴假设m∥β, β⊥α,那么m⊥α;
⑵空间中,三点确定一个平面;
⑶假设l,m⫋β,l∥a,m∥a,那么a∥β;
⑷假设α∩B=m,l∥a且l∥β,那么l∥m.
以上假命题的个数为〔 〕
7.一座圆拱桥,当水面在如下列图位置时,拱顶离水面3米,水面宽12米,当水面下降1米后,水面宽度最接近( )
1是ln.x+x=5的根,x2是ln(4一x)-x= l的根,那么( )
1+x2=4
1+x2 (5,6)
1+x2∈(4,5)
1+x2=5
二、多项选择题〔共4题,每题5分。不选、错选得0分;少选得2分;全对得5分,共20分。〕
9.设a,b∈R且ab >0,那么以下不等式正确的选项是( )
A.
B.
C.
D.
10.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老创造,也是人类利用自然和改造自然的象征。如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A (1,- )出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒。经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足 ,那么以下结论正确的选项是〔)
A.
B.当t∈[0,2]时,函数y=f(t)单调递增.
C.当t∈[3,5]时,函数最小值为-2.
D.当t=9时,|PA|=4
11.在△ABC中,以下说法正确的选项是( )
A.假设A>B,那么|cosB|>|cosA|
2+b2>c2 , 那么△ABC为锐角三角形
C.等式a=bcosC+ccosB恒成立.
D.假设A:B:C=1:1:4,那么a:b:c=1:1:
12.△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)且斜率之差等于n,那么正确的选项是〔 〕
A.当m>0时,点C的轨迹是双曲线.
B.当m=-1时,点C在圆x2+y2=25上运动
C.当m<-1时,点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大
D.无论n如何变化,点C的运动轨迹是轴对称图形
三、填空题〔共4题,每题5分,共20分〕
13.一部纪录片在4个不同的场地轮映,每个场地放映一次,那么有________种轮映次序.
14.某工厂有四条流水线生产同一种产品,这四条流水线的产量分别占总产量的0.20,0.25,0.3,0.25这四条流水线的合格率依次为0.95,0.96,0.97,0.98,现在从出厂产品中任取一件,那么恰好抽到不合格的概率是________.
15.向量 满足 =6, ,且 ,那么 的值为________.
16.三棱锥P-ABC的顶点P在底面的射影O为△ABC的垂心,着S△AEC·S△OBC=S2△PEC , 且三棱锥P-ABC的外接球半径为4,那么S△PAB+S△PEC+S△PAC的最大值为________.
四、解答题〔共6题,17题10分,18-22题每题12分,共70分。〕
17.在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an-an-1(n≥2).
〔1〕求{an}的通项公式;
〔2〕设 ,求{bn}的前n项和Tn.
18.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,∠BAC= , AD平分∠BAC交BC于D,AD=1.
〔1〕求△ABC面积S的最小值;
〔2〕a = ,求△ABC面积S.
19.在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,平面PAB与平面PCD的交线记为m,P-ABCD体积为16且 , , .
〔1〕证明:CD∥m;
〔2〕求三棱锥A-EFG的体积.
20.甲乙两队进行篮球比赛,约定赛制如下:谁先赢四场那么最终获胜,每场比赛甲赢的概率为 ,输的概率为 .
〔1〕求甲最终获胜的概率;
〔2〕记最终比赛场次为X,求随机变量X的分布列及数学期望.
21.抛物线 ,点F是C的焦点,O为坐标原点,过点F的直线 与C相交于A,B两点.
〔1〕求向量 的数量积;
〔2〕设 ,求 在y轴上截距的取值范围.
22.设函数 .
〔1〕求f(x)的单调区间;
〔2〕如果当x>0,且x≠1时, ,求k的取值范围.
答案解析局部
一、单项选择题〔共8题,每一题5分,共40分。〕
1.【解析】【解答】解:∵A={x|x2-3x<0}={x|0<x<3},B={x|lgx>0}={x|x>1}
∴A∩B={x|1<x<3}
故答案为:C
【分析】根据一元二次不等式及对数不等式的解法,结合交集的定义求解即可.
2.【解析】【解答】解:, 表示的点为
故答案为:B
【分析】根据复数的运算法那么,结合复数的几何意义求解即可.
3.【解析】【解答】解:因为偶函数满足对任意x,满足f(-x)=f(x)成立,
又因为逆否命题与原命题同为真命题,
所以假设f(x)不是偶函数,所以不能使得所有的x满足f(-x)=f(x)成立,
即存在x0∈R,使得f(-x0)≠f(x0)
故答案为:C
【分析】根据偶函数的概念,结合原命题与逆否命题的关系求解即可.
4.【解析】【解答】 即 ,故抛物线焦点在 轴上, ,焦点纵坐标为 .
故焦点坐标为
故答案为:D
【分析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.
5.【解析】【解答】解:令an=3n(2n-13)≤0,得
又∵n∈N+
∴当n≤6时,an≤0,当n≥7时,an≥0;
那么 数列前n项和S取最小值时,n=6
故答案为:A
【分析】根据数列的通项公式,结合递增数列的性质求解即可.
6.【解析】【解答】解:对于(1) ,假设m∥β, β⊥α,那么m⊥α或m在α内,故错误;
对于(2), 空间中,不共线的三点确定一个平面,故错误;
对于(3),根据平面与平面平行的判定定理,易知条件中缺l,m是相交直线,故错误;
对于(4),根据平面与平面平行的性质定理,易知(4)正确
故答案为:C
【分析】根据直线与平面的位置关系可判断(1),根据平面的根本性质可判断(2),根据平面与平面平行的判定定理可判断(3),根据平面与平面平行的性质定理可判断(4).
7.【解析】【解答】解:如下列图,以圆弧形拱桥的顶点为原点,以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴,以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系.
设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,那么由可得A(6,-3),
设圆的半径长为r,那么C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2
将点A的坐标代入上述方程可得,
所以圆的方程为
当水面下降1米后,水面弦的端点为A',B',
可设A(x0,-4)(x0>0),代入, 解得,
那么此时水面宽度为
故答案为:C
【分析】根据圆的标准方程求解即可.
8.【解析】【解答】解:由题意得lnx1+x1=5,那么lnx1=5-x1 ,
同理得ln(4-x2)-x2=1,那么ln(4-x2)=1+x2=5-(4-x2),
设函数f(x)=lnx+x-5,那么>0在(0,+∞)上恒成立,那么f(x)在(0,+∞)上单调递增,
那么由f(x1)=f(4-x2)=0,得x1=4-x2
那么x1+x2=4
故A正确,BCD错误
故答案为:A
【分析】利用构造函数思想,再利用导数研究函数的单调性,结合函数的零点求解即可.
二、多项选择题〔共4题,每题5分。不选、错选得0分;少选得2分;全对得5分,共20分。〕
9.【解析】【解答】解:对于A,根据根本不等式的性质,易知a2+b2≥2ab,a,b∈R,故A正确;
对于B,当a<0,b<0时,显然不成立,故B错误;
对于C,当a<0,b<0时,显然不成立,故C错误;
对于D,∵ a,b∈R且ab>0
∴,
那么根据根本不等式的性质,易知 ,故D正确.
故答案为:AD
【分析】根据根本不等式逐项判断即可.
10.【解析】【解答】解:由题意得R=2,, 又当t=0时,y=f(0)=2sinφ=, 解得
那么, 故A错误;当t∈[0,2]时,, 函数y=f(t)单调递增,故B正确;当t∈[3,5]时,, 当时,函数y=f(t)取得最小值为, 故C错误;当t=9时,, 此时点P为, 那么点A与点P关于原点对称,那么|PA|=2+2=4,故D错误.
故答案为:BD
【分析】根据函数的图像与性质求解即可.
11.【解析】【解答】解:对于A, 因为A>B,所以a>b,由正弦定理得,sinA>sinB,那么, 即|cosB|>|cosA|,故A正确;
对于B,因为 a2+b2>c2, 所以, 所以C是锐角,但角A,B无法判断,故B错误;
对于C,在三角形中,B+C=π-A,再由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C),上式显然成立,故C正确;
对于D,∵A:B:C=1:1:4
∴A=30°,B=30°,C=120°,
那么由正弦定理得a:b:c=sinA:sinB:sinC=
故D正确
故答案为:ACD
【分析】根据正弦定理与余弦定理,结合两角和的正弦定理以及三角形的几何性质逐项判断即可
12.【解析】【解答】解:设C(x,y),那么由题意得, 即为点C的轨迹方 程
对于A,当m>0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线,故A正确;
对于B,当m=-1时,点C的轨迹为圆心为(0,0),半径为5的圆,即点C在圆x2+y2=25上运动,故B正确;
对于C,当m<-1时,点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,其中a2=-25m,b2=25,c2=-25m-25
那么离心率为随着m的增大而减小,故C错误;
对于D,当-1<m<0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,综上可知,无论n如何变化,点C的运动轨迹都是轴对称图形,故D正确.
故答案为:ABD
【分析】根据双曲线定义可判断A,根据圆的定义可判断B,根据椭圆的定义可判断C,根据圆锥曲线的对称性可判断D
三、填空题〔共4题,每题5分,共20分〕
13.【解析】【解答】解:由题意得,不同的轮映次序是
故答案为:24
【分析】根据排列及排列数的解法求解即可.
14.【解析】【解答】解:根据互斥事件的概率得,所求概率为
【分析】根据互斥事件的概率公式直接求解即可.
15.【解析】【解答】解:∵ ,
∴共线,
又
∴
∴
故答案为:
【分析】根据共线向量的判定定理,结合向量的求模公式求解即可.
16.【解析】【解答】解:如图,连AO,并延长交BC于D,顶点P在底面的射影O为ABC的垂心,
∴AD⊥BC,又PO⊥平面ABC,
∴PO⊥BC,
∵AD∩PO=O,
∴BC⊥平面ADP,可得BC⊥PA,BC⊥PD
同理AC⊥PB,AB⊥PC
由S△AEC·S△OBC=S2△PEC , 可得AD·OD=PD2 ,
且∠PDO=∠PDA.
∴△POD∽AAPD ,∴∠APD=∠POD = 90°,
∴PA⊥PD,又PA⊥BC,BC∩PD=D,
∴AP⊥面PBC,得PA⊥PB,又PB⊥AC,且AP∩AC=A,
∴PB⊥面APC,即可得PB⊥PC,故PA,PB,PC两两互相垂直
∴三棱锥P-ABC的外接球为以PA,PB,PC为棱的长方体的外接球,
又三棱锥P-ABC的外接球半径为4,PA2+PB2+PC2=64
S△PAB+S△PEC+S△PAC的最大值为32,当且仅当 时,等号成立.
【分析】先根据直线与平面垂直的判定定理可判断得PA,PB,PC两两互相垂直,从而易知三棱锥P-ABC的外接球为以PA,PB,PC为棱的长方体的外接球,再根据三角形面积公式,结合根本不等式求解即可
四、解答题〔共6题,17题10分,18-22题每题12分,共70分。〕
17.【解析】【分析】〔1〕根据等差中项法可判断 是等差数列,再根据等差数列的通项公式直接求解即可;
〔2〕根据等差数列的通项公式,结合裂项相消法直接求解即可.
18.【解析】【分析】〔1〕根据三角形面积公式,结合根本不等式的性质求解即可
〔2〕根据余弦定理,运用整体思想与方程思想求得bc,再根据三角形面积公式求解即可.
19.【解析】【分析】〔1〕根据直线与平面平行的判定定理与性质定理求解即可;
〔2〕根据共线向量的性质,结合三角形面积公式与棱锥的体积公式求解即可.
20.【解析】【分析】〔1〕根据互斥事件与独立事件的概率公式求解即可;
〔2〕根据互斥事件与独立事件的概率公式,结合随机变量的分布列与期望求解即可.
21.【解析】【分析】〔1〕根据直线与抛物线的位置关系,结合韦达定理以及向量的数量积公式求解即可;
〔2〕根据韦达定理,利用共线向量的性质,结合单调函数的性质求得4m2的取值范围,从而求得纵截距的取值范围.
22.【解析】【分析】〔1〕利用导数研究函数的单调性直接求解即可;
〔2〕根据化归思想,将不等式恒成立问题等价转化为求函数g(x)的值域问题.
解法一,根据函数g(x)的值域易得g(1)=0,从而求得k≤-1,再利用导数g'(x)研究函数g(x)的单调性,易知g'(x)≤0,从而可判断g(x)在〔0,+∞〕单调递减,进而求解即可;
解法二,利用导数g'(x)研究函数g(x)的单调性,针对k的取值范围结合分类讨论思想求解即可.
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