2021届广东省佛山市五校联盟高三模拟5月数学考试试卷及答案

这是一份2021届广东省佛山市五校联盟高三模拟5月数学考试试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三模拟5月数学考试试卷
一、单项选择题
1.设 ， ，那么图中阴影局部表示的集合为〔    〕

A.                                  B.                                  C.                                  D. 
2.在复数范围内方程 的解为〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
3.在全球新冠肺炎疫情仍在流行的背景下，我国新冠病毒疫苗研发取得可喜进展，已有多款疫苗获批使用.目前我国正在按照“应接尽接、梯次推进、突出重点、保障平安〞的原那么，积极组织实施疫苗接种，稳步提高疫苗接种人群覆盖率.小王想从甲、乙、丙、丁四位好友中，随机邀请两位一起接种新冠病毒疫苗，那么甲和乙中至少有一人被邀请的概率是〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
4.2021年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS〔船舶自动识别系统〕基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成.风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔〔杆〕的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如以下列图所示，那么 的最小值为〔    〕

A. 40                                    B.                                     C.                                     D. 80
5.函数f (x)＝ ·sin x的图象的大致形状为〔    〕
A.   B. 
C.     D. 
6.〔    〕
A. 2                                         B. －2                                         C. 1                                         D. －1
7.过双曲线 上一点 作双曲线 的切线 ，假设直线 与直线 的斜率均存在，且斜率之积为 ，那么双曲线 的离心率为〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
8.假设 ，那么 的大小关系是〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
二、多项选择题
9.在“世界杯〞足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高三年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：
观看场数
0
1
2
3
4
5
6
7
观看人数占调查人数的百分比
8%
10%
20%
26%
m%
12%
6%
2%
从表中可以得出正确的结论为〔    〕
A. 表中m的数值为16                                              B. 估计全年级观看比赛低于4场的学生约为32人
C. 估计全年級观看比赛不低于4场的学生约为360   D. 估计全年级观看比赛场数的众数为2
10.函数 ，以下说法正确的选项是〔    〕
A. 的定义域为                                    B. 在定义域内单调递増
C. 不等式 的解集为   D. 函数 的图象关于直线 对称
11.圆 ，圆 ，且 不同时为0〕交于不同的两点 ，以下结论正确的选项是〔    〕
A. 
B. 
C. 
D. M，N为圆 上的两动点，且 ，那么 的最大值为
12.梯形 ， ， ， ， 是线段 上的动点；将 沿着 所在的直线翻折成四面体 ，翻折的过程中以下选项中正确的选项是〔    〕

A. 不管何时， 与 都不可能垂直              B. 存在某个位置，使得 平面
C. 直线 与平面 所成角存在最大值        D. 四面体 的外接球的外表积的最小值为
三、填空题
13.命题 ，那么该命题是________〔填“真命题〞或“假命题〞〕.
14.函数 ，那么 所有的切线中斜率最小的切线方程为________.
15.?九章算术?是我国古代数学成就的杰出代表作，其中?方田?章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ 〔弦 矢＋ 〕，弧田〔如图〕由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦〞指圆弧所对弦长，“矢〞等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 ，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为________平方米〔精确到1平方米，参考数据

16.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为 的圆锥中， 、 是底面圆 的两条互相垂直的直径， 是母线 的中点， 是线段 的中点，过 与 的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一局部，那么该曲线为________， 是该曲线上的两点且 ，假设 经过点 ，那么 ________.

四、解答题
17.数列 是等差数列，前n项和为 ；数列 是各项均为正数的等比数列，前n项和为 ；且 .
〔1〕分别求数列 的通项公式和前n项和 ；
〔2〕假设将数列 中出现的数列 的项剔除后，剩余的项从小到大排列得到数列 ，记数列 的前n项和为 ，求 .
18.在 中，角A，B，C的对边分别为 ，且a＜b＜c，现有三个条件：①a、b、c为连续偶数；② ；③ .
〔1〕从上述三个条件中选出    ▲     两个，使得 不存在，并说明理由；
〔2〕从上述三个条件中选出   ▲     两个，使得 存在；假设△ABC存在且唯一，请求出a的值；假设 存在且不唯一，请说明理由.
19.如图①，在菱形 中， 且 ， 为 的中点，将 沿 折起使 ，得到如图②所示的四棱锥 .

〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕假设 为 的中点，求二面角 的余弦值.
20.某科技公司组织技术人员进行某新工程研发，技术人员将独立地进行项日中不同类型的实验甲、乙、丙，实验甲、乙、丙成功的概率分别为 、 、 .
〔1〕对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率；
〔2〕该工程研发流程如下：实验甲做一次，假设成功，那么奖励技术人员1万元并进行实验乙，否那么技术人员不获得奖励且该工程终止；实验乙做两次，假设两次都成功，那么追加技术人员3万元奖励并进行实验丙，否那么技术人员不追加奖励且该工程终止；实验丙做三次，假设至少两次成功，那么工程研发成功，再追加技术员4万元奖励，否那么不追加奖励且该工程终止.每次实验相互独立，用X〔单位：万元〕表示技术人员所获得奖励的数值，写出X的分布列及数学期望.
21.椭圆 ，点 为焦点，过 且垂直于 轴的直线交椭圆于S，T两点，且 ，点 为x轴上一点，直线 与椭圆C交于不同的两点A，B.
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕直线PA、PB分别交y轴于M、N两点，O为坐标系原点，问：x轴上是否存在点Q，使得 ？假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由.
22.函数 .
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕假设 恒成立，求 的最大值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由图可知阴影局部既属于集合 ，也属于集合 ，即阴影局部表示为 .
因为 ， ，
所以 .
故答案为：B.

【分析】 由图知，阴影局部表示的集合为A∩B,解出A，B,再求交集即可.
2.【解析】【解答】解：方程 ，即 ，开方得 ，
故答案为：C．
【分析】由方程 ， 开方得 ， 可得答案。
3.【解析】【解答】解：根本领件总数 ，其中甲和乙中至少有一人被邀请包含的根本领件个数 ，
那么甲和乙中至少有一人被邀请的概率是 ．
故答案为：A.

【分析】 根本领件总数，甲和乙中至少有一人被邀请包含的根本领件个数，由此能求出甲和乙中至少有一人被邀请的概率.
4.【解析】【解答】由题知， ，即 ，
那么 ，
那么当风叶旋转到最低点时， 最小，且值为 .
故答案为：A

【分析】 由题意可知， 从而有，那么当风叶旋转到最低点时，最小，从而计算出模长的最小值。
5.【解析】【解答】f (x)＝ ·sin x＝ ·sin x
f (-x)＝ ·sin x＝ ·sin 〔-x〕= ·sin x
所以 ，
所以 是偶函数，故排除CD，
又 时， ，故排除B，
故答案为：A

【分析】 根据条件判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可.
6.【解析】【解答】









故答案为：D

【分析】 利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公等对函数式化简即可求解.
7.【解析】【解答】设 ，由于双曲线 在点 处的切线方程为 ，故切线 的斜率 ；因为 ，那么 ，那么 ，即双曲线 的离心率 ，
故答案为：C．
【分析】 设点P的坐标为，结合双曲线的切线方程为， 可推出，再由得解.
8.【解析】【解答】因为 ，所以取 ，
那么 ， ，显然 ，故可排除A和B；
又 ，故可排除C.
故答案为：D.

【分析】利用特殊值法排除错误选项，即可得出答案。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】解：由频率分布表的性质，得：
，故A正确；
∵观看比赛低于4场的学生所占比率为： ，
∴估计观看比赛低于4场的学生约为： 人，故B错误，
∵观看比赛不低于4场的学生所占比率为： ，
∴估计观看比赛不低于4场的学生约为： 人，故C正确，
出现频率最高的为3．故估计全年级观看比赛场数的众数为3，故D错误；
故答案为：AC．

【分析】 利用题中给出的统计表中的数据信息，对四个选项逐一分析判断即可.
10.【解析】【解答】要使函数有意义，那么 ，A符合题意；
，令 ，易知其在 上单调递减，所以 在 上单调递减，B不正确；
由于 在 上单调递减，所以对于 ，有 ，C不正确；
令 ，解得 ，所以 关于直线 对称，D符合题意.
故答案为：AD

【分析】分别考虑函数的定义域，单调性及对称性，对每个选项逐一进行分析，即可得出答案。
11.【解析】【解答】由 ，得 ，
两圆的方程相减得到直线AB的方程为 ，
因为点 在直线AB上，所以代入直线AB的方程，得 ，——①
因此A符合题意；又因为 也在直线AB上，所以代入直线AB的方程，得 ——②，
①-②，得 ，因此B符合题意；
因为两圆半径相等，所以AB的中点恰为 的中点，所以 成立，因此C符合题意；
设 的中点为 ，那么 ，当 三点共线时 最大，最大为 ,因此D不符合题意.
故答案为：ABC.

【分析】 求出圆的公共弦方程，根据A、B在公共弦上可判断A，B ;根据公共弦与圆心连线互相平分及中点坐标公式可判断C ;求出动点MN的中点的轨迹方程，利用向量的线性运算及两点的距离公式求出  的最大值，从而判定选项D.
12.【解析】【解答】对于A选项，在梯形 中， ， ， ，
，且 ，那么 ，
因为 ，由余弦定理可得 ，
， ，
假设 ，且 ， 平面 ，
平面 ， ，事实上 ，矛盾，
故不管何时， 与 都不可能垂直，A选项正确；
对于B选项，假设 平面 ， 平面 ，那么 ，
所以， ，而 ， ，即 ，
那么 、 、 无法构成三角形，不符合题意，B选项错误；
对于C选项，分别取 、 的中点 、 ，连接 、 ，那么 ，
， ，那么 ，
， 为 的中点，那么 ，
，故 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如以下列图所示的空间直角坐标系，

设 ，那么 、 、 、 ， ，
设三棱锥 的球心为 ，
由 可得 ，解得 ，
设三棱锥 的外接球半径为 ，那么 ，当且仅当 时，等号成立，
因此，四面体 的外接球的外表积的最小值为 ，D选项正确.
对于C选项，设 ，

，
易知平面 的一个法向量为 ，

，
而 ，
即当 时， 无最大值，进而可知直线 与平面 所成角无最大值，C选项错误.
故答案为：AD.

【分析】画出图像，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，逐项进行判断，即可得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】当 时， ，所以命题 为假命题.
故答案为：假命题.

【分析】利用特例，判断命题的真假即可。
14.【解析】【解答】由 ， ，
那么 ， 时等号成立，
那么函数 所有切线中斜率最小为3，且过点 ，
那么切线方程为
故答案为：

【分析】 求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由根本不等式可得斜率的最小值，求得切点，可得所求切线的方程.
15.【解析】【解答】根据题意 , ，

那么 ， ，
那么弦为 ，矢为  ,
所以弧田面积约为 .
故答案为：9

【分析】 在Rt△AOD中，由题意，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解.
16.【解析】【解答】由底面半径和高均为 ，得 ，
又 为 中点， ，且 ，
所以 平面 ，
根据圆锥曲线的定义可知截面与圆锥母线平行时，曲线为抛物线，
又 为 中点，故 ， ，
又 底面，故 ，
由 ， ，
故 平面 ， ，
又 ，故 为抛物线的通径，
.

【分析】 利用平面切割圆锥的方法，结合截面倾斜到“和且仅和〞圆锥的一条母线平行时，得到的是抛物线，即可得到答案;建立适宜的平面直角坐标，求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的标准方程，由题意可知，MN为抛物线的通径，从而求解得到答案.
四、解答题
17.【解析】【分析】 (1)假设 等差数列  的首项为   ， 公差为d，等比数列  的首项为   ， 公比为q ， 由列方程组求解a1, d, b1, q，那么 数列  的通项公式和前n项和  ；
(2)分析可得数列 的K2021中需要剔除{bn }的前11项，那么K2021 = S2032 - T11.
18.【解析】【分析】 (1)选①②时，由题意及正弦定理可得b=a+2, b= 2a,可得2a=a+ 2，解得a，b, c的值，即可得解;
(2)选①③时，由题意可得b=a+ 2,c=a+ 4,利用同角三角函数根本关系式，正弦定理可得 ,可得  ，解得a, b, c的值，即可得解；选②③时，由②sinB = 2sin A及正弦定理可得b= 2a,由③利用同角三角函数根本关系式，正弦定理可得， 可得  可得 ， ， 即可判断得解.
19.【解析】【分析】〔1〕利用题中所给的条件证明 ， ，因为 ，所以 ， ，即可证明 平面 ，进一步可得面面垂直；〔2〕先证明 平面 ，以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴，建立如下列图的空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，利用向量的夹角公式即可求解
20.【解析】【分析】 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式求解即可;
(2)先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可.
21.【解析】【分析】 (1)由題意可得 ， 推出 ， 解得a，b，迸而可得橢圜C的方程；
(2)假没存在点Q (m,0)，使得 ， 得 ，推出 ， 即 ， 化筒可得   ， 把点   坐标代入椭圆 C方程，解得m,即可得出答案。
 
 
22.【解析】【分析】 (1)求出f'(x)，分 ， ， 三种情况，分别研究导数f' (x)的正负，从而得到函数f (x)的单调性；
(2)将不等式恒成立转化为 在 上恒成立，构造函数 ， 转化为求解g (x)的最小值，利用导数研究函数g (x)的单调性，从而确定g (x)的最小值,即可得到答案.