2021届高中数学全国高等学校招生统一考试模拟试卷及答案

这是一份2021届高中数学全国高等学校招生统一考试模拟试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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高中数学全国高等学校招生统一考试模拟试卷
数学考试
考试时间：120分钟 总分值：150分
第一卷 客观题
第一卷的注释
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
2. ， ，那么〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 
3.函数 的局部图象大致为〔    〕
A.                  B. 
C.                D. 
4.当复数 时，实数 的值可以为〔    〕
A. 0                                          B. 1                                          C. -1                                          D. ±1
5.如图，在半径为2的扇形 中， ， 是弧 上的一个三等分点， 分别是线段 ， 上的动点，那么 的最大值为〔    〕

A.                                          B. 2                                         C. 4                                         D. 
6.在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点P在CD边上运动(如图甲)，现以AP为折痕将 折起，使得点D在平面ABCP内的射影 恰好落在AB边上(如图乙)．设 二面角D-AP-B的余弦值为 ，那么函数 的图象大致是〔    〕

A.                                       B. 
C.                                     D. 
7.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一局部,光源在抛物线的焦点处,假设灯口直径是 ,灯深 ,那么光源到反光镜顶点的距离是(    )

A.                                 B.                                 C.                                 D. 
8.自2021年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将 房产中介公司2021-2021年4月份的售房情况统计如下列图，根据2021-2021年，2021-2021年，2021-2021年的数据分别建立回归直线方程 、 、 ，那么〔    〕

A. ，                                 B. ，
C. ，                                 D. ，
二、多项选择题
9.太极图被称为“中华第一图〞，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个局部的函数称为圆O的一个“太极函数〞，设圆O： ，那么以下说法中正确的选项是(    )

A. 函数 是圆O的一个太极函数
B. 圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
C. 函数 是圆O的一个太极函数
D. 函数 的图象关于原点对称是 为圆O的太极函数的充要条件
10.设 是无穷数列，假设存在正整数k，使得对任意 ，均有 ，那么称 是间隔递增数列，k是 的间隔数，以下说法正确的选项是〔    〕
A. 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B.  ，那么 是间隔递增数列
C.  ，那么 是间隔递增数列且最小间隔数是2
D.  ，假设 是间隔递增数列且最小间隔数是3，那么
11.如图，在直三棱柱 中， ， ，D，E，F分别为AC， ，AB的中点．那么以下结论正确的选项是〔    〕

A. 与EF相交                                                    B. 平面DEF
C. EF与 所成的角为                                 D. 点 到平面DEF的距离为
12. ， ， ，假设 存在唯一零点，以下说法正确的有〔    〕
A. 在 上递增
B. 图象关于点 中心对称
C. 任取不相等的实数 ，均有
D. 
三、填空题
13.雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天.完工后，新华社记者要对局部参与人员采访.决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人，那么从工人中抽取的人数为________；
14. 的展开式中的常数项为60，那么 ________.
15.函数 的局部图像，如下列图，假设 ，那么 的值为________.

16.圆 ： ，从点 发出的光线，经直线 反射后，恰好经过圆心 ，那么入射光线的斜率为________.
第二卷 主观题
第二卷的注释
四、解答题
17.设 的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且 ， .
〔1〕求 ；
〔2〕当 取最小值时，求 的面积.
18.数列 的前n项和为 ，各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，  ▲  ， 且 .
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.
〔1〕求数列 和 的通项公式；
〔2〕设数列 的前n项和为 ，求证： .
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
19.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是等腰梯形 分别是 的中点.

〔1〕证明：平面 平面 ；
〔2〕假设二面角 的大小为60°，求四棱锥 的体积.
20.某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加时机，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分〔总分值：100分〕数据，统计结果如下表所示．
组别







频数
25
150
200
250
225
100
50
〔1〕此次问卷调查的得分 服从正态分布 ， 近似为这1000人得分的平均值〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕，请利用正态分布的知识求 ；
〔2〕在〔1〕的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
〔ⅰ〕得分不低于 的可以获赠 次随机话费，得分低于 的可以获赠 次随机话费；
〔ⅱ〕每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
赠送的随机话费/元
20
40
概率


现市民甲要参加此次问卷调查，记 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 的分布列及数学期望．
附： ，假设 ，那么 ， ， .
21.椭圆 的离心率 ， 为椭圆上一点.
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕 为椭圆 的右焦点，过点 的直线 交椭圆(异于椭圆顶点)于 、 两点，试判断 是否为定值？假设是，求出该定值；假设不是，说明理由.
22.函数 ， ． 、 ，
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕函数 的极大值为1，
①假设 ，设 ，证明： ；
②设 ，判断函数 零点个数，并说明理由.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为集合 ，
所以 ，
所以
故答案为：B

【分析】先求出集合B，然后进行交集的运算即可。
2.【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
又因为 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 且 ，所以 ，所以 ，
故答案为：B.

【分析】利用对数函数的单调性可得， 再利用对数运算性质化简， 即可得出结论。
3.【解析】【解答】由题意，函数 满足 且 ，解得 且 ，排除B；
又由 ，所以函数 为奇函数，排除D；
当 时， ，排除A.
故答案为：C.

【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=f(x)即可判断出该函数为奇函数，由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除D，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项B和选项A，由此得到答案。
4.【解析】【解答】当 时， ，所以 不满足，A不正确.
当 时， ,所以 ，B不正确.
当 时， , ，满足，C符合题意.
由上可知，D不正确.
故答案为：C

【分析】对各个选项逐一进行分析判断，即可得到答案。
5.【解析】【解答】解析： ， 是弧 上的一个三等分点，故 ， ，

故当 时， 取最大值4，
故答案为：C。

【分析】利用 ， 是弧 上的一个三等分点，故 ， ，再利用三角形法那么结合数量积的运算法那么，从而利用数量积的定义结合几何法，求出的最大值。
6.【解析】【解答】当 时，

作 于 ，连结 ，
因为 平面 ，
所以 是二面角D-AP-B的平面角，
可以求得 ， ，所以 ，
所以排除A、B；
当 时，

作 于 ，连结 ，
因为 平面 ，
所以 是二面角D-AP-B的平面角，
可以求得 ， ，
，排除C,
故答案为：D.
【分析】分别取 和 ，计算出二面角D-AP-B的余弦值为 和 ，比照图象得到结果.
7.【解析】【解答】设抛物线方程为 ,
灯口直径是 ,灯深
点 在抛物线 上



光源到反射镜顶点的距离为 .
故答案为： A.
【分析】先设出抛物线的标准方程,把点 代入抛物线方程求得 ,即光源到反射镜顶点的距离,即可求得答案.
8.【解析】【解答】回归直线分布在散点图的附近， 表示回归直线的斜率， 表示回归直线在y轴上的截距，由图可知，2021-2021年，y随x的增加，迅速增加；2021-2021年，y随x的增加，平缓增加，故 ；2021-2021年，y随x的增加而减少，故 ；所以 ，由图可知 .
故答案为：A．

【分析】回归直线分布在散点图的附近，由 ， 的几何意义结合图像即可判断。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】A：因为 ，所以函数 是奇函数，它的图象关于原点对称，如以下列图所示：

所以函数 是圆O的一个太极函数，故本说法正确；
B：如以下列图所示：函数 是偶函数， 也是圆O的一个太极函数，故本说法不正确；

C：因为 是奇函数，所以它的图象关于原点对称，而圆 也关于原
点对称，如以下列图所示：因此函数 是圆O的一个太极函数，故本说法是正确的；

D：根据B的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确.
故答案为：AC

【分析】根据题意，结合“太极函数〞的定义，依次分析选项即可得到答案。
10.【解析】【解答】A. ，因为 ，所以当 时， ，故错误；
B. ，令 ，t在 单调递增，那么 ，解得 ，故正确；
C. ，当 为奇数时， ，存在 成立，当 为偶数时， ，存在 成立，综上： 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；
D. 假设 是间隔递增数列且最小间隔数是3，
那么 ， 成立，
那么 ，对于 成立，且 ，对于 成立，
即 ，对于 成立，且 ，对于 成立，
所以 ，且 ，
解得 ，故正确，.
故答案为：BCD。

【分析】利用数列 是无穷数列，假设存在正整数k，使得对任意 ，均有 ，那么称 是间隔递增数列，k是 的间隔数，从而利用等比数列的定义、数列的单调性、递推关系、分类讨论的方法，从而找出说法正确的选项。
11.【解析】【解答】对A，由图知 平面 ， 平面 ，且 由异面直线的定义可知 与EF异面，A不符合题意；
对于B，在直三棱柱 中，   ．
，F分别是AC，AB的中点，
，   ．
又 平面DEF， 平面DEF，
  平面 B符合题意；
对于C，由题意，建立如下列图的空间直角坐标系，

那么 0， ， 0， ， 2， ， 0， ， 2， ， 0， ， 0， ， 0， ， 1， ．
1， ， 0， ．
， ， ．
与 所成的角为 ，C符合题意；
对于D，设向量 y， 是平面DEF的一个法向量．
0， ， 1， ，
由 ，即 ，得
取 ，那么 ， 0， ，
设点 到平面DEF的距离为d．
又 2， ，
，
点 到平面DEF的距离为 ，D符合题意．
故答案为：BCD

【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断，即可得到答案。
12.【解析】【解答】由 知 在 上递增，A选项正确；
，故 图象关于点 中心对称，B选项正确；
由 ，当 时， ， 递增， 图象下凸，此时 ，C选项错误﹔
对于D选项：
，注意到 ，故 的图象关于点 中心对称，而 ，那么 在 上有唯一零点等价于 在 无零点，
，
当 时，因为 ，那么 ，
于是 在 递增，于是当 时， ，满足题意﹔
当 时， ，由连续函数的性质可知，一定存在 ，使得 时 ，那么 在 单调递减，于是 时 ，
而 时， ， ， ，

，
由零点存在性定理，在区间 上 一定还存在零点，与矛盾.
故 ，
故答案为：ABD。

【分析】利用求导的方法判断出函数 的单调性；因为，故 图象关于点 中心对称；利用求导的方法判断出函数的单调性，再利用函数的单调性推出；利用，注意到 ，故 的图象关于点 中心对称，而 ，那么 在 上有唯一零点等价于 在 无零点，再利用求导的方法判断出函数f(x)的单调性，再由零点存在性定理，在区间 上 一定还存在零点，与矛盾，故 ，从而找出说法正确的选项。
 
三、填空题
13.【解析】【解答】因为机械车操控人员，管理人员和工人的数量比为： ，
所以按照分层抽样的方法抽取35人，从工人中抽取的人数为： ，
故答案为：12
【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.
14.【解析】【解答】 的展开式通项公式为： ，
当 时，即当 时该项为常数项，
因为 的展开式中的常数项为60，
所以 ，
故答案为：

【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出。
15.【解析】【解答】由函数图像可得： ，所以 .
故答案为： .
【分析】根据三角函数图像，以及周期公式，得到 ，即可求出结果.
16.【解析】【解答】解：圆 的圆心 ，
如图过 作直线 的对称点 ，设 ，

由 ， ，解得 ， ，
即 ，
连接 ，与 相交于点 ，可得光线的入射光线 ，
那么入射光线的斜率为 ，
故答案为：-2．

【分析】求得圆心C的坐标，过C作直线的对称点 ，设 ，由两直线垂直的条件和中点坐标公式，解方程可得的坐标，再由两点的斜率公式计算的斜率可得所求。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕根据正弦定理可得  ， ，进而得出 ，从而可求出  ， ， 然后即可求出 的值；
〔2〕根据余弦定理即可得出 ， 从而得出 ， 从而可得出   时，  取最小值，进而可求出对应的 的面积 。
18.【解析】【分析】〔1〕先利用 求得 ， 再利用所选条件及题设求得等比数列的首项与公比， 即可求得 ；
〔2〕先由〔1〕求得， 再利用错位相减法求得  ，进而证明结论。
19.【解析】【分析】〔1〕 连接 ， 可得四边形  为平行四边形，那么 ， 再由得到 ， 由 平面 ， 得  , 进一步得到 平面  ，从而得到平面  平面 ；
〔2〕 连接 ， 可得  ，建立空间直角坐标系， 设 ， 分别求出平面 与 平面 的法向量 ，由二面角  的大小 列式求得的值，那么四棱锥 的体积可求。
20.【解析】【分析】〔1〕以每组数据的中间值为代表值，以每组数据频率为权加权平均得到原那么处理即可；
〔2〕 随机变量  的可能取值有20、40、60、80， 分别求出对应概率，列出分布列求期望即可。
21.【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的离心率和点在椭圆上以及椭圆里a、b、c的关系即可得到关于a、b、c的方程组求解出a、b、c的值，由此求出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程消去x得到关于y的一元二次方程，结合韦达定理即可求出关于m的两根之和与两根之积的代数式，再把数值代入到弦长公式求出同理也可求出,结合代入到得到关于m的代数式整理化简即可得出结果。

 
22.【解析】【分析】(1)首先求出函数的定义域在对其求导，结合导函数的正负情况即可得出原函数的单调性以及单调区间。
(2)由(1)的结论可知函数f(x)的极大值令其等于1即可求出a的取值， ① 首先对函数f(x)求导结合导函数的性质等差原函数的单调性，由函数的单调性即可得出；令b=2求出函数g(x)，作差求出， 构造函数对其求导结合导函数的性质得到原函数的单调性进而得到， 由不等式的性质即可得证结论。
② 由函数零点与方程的关系得到在 上解的个数 ，构造函数对其求导，结合导函数的性质即可得到导函数的正负情况，由此得到函数的单调性以及零点存在的情况，由此得出存在唯一的零点。