2021届辽宁省重点中学协作体高三数学模拟试卷及答案

这是一份2021届辽宁省重点中学协作体高三数学模拟试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三数学模拟试卷
一、单项选择题
1.设 ， ， ，那么图示中阴影局部表示的集合为〔  〕

A.                B.                C.                D. 
2.设 ， 为复数，“ 〞是“ 〞〔  〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
3.在中国共产党建党百年之际，我们将迎来全面建成小康社会，实现第一个百年目标的伟大胜利.在脱贫攻坚如期收官之后，为更好地解决相对贫困问题，某地着力加强教育脱贫工作.现安排5名优秀教师到4个贫困县进行支教工作，要求每个贫困县至少安排1名教师，那么不同的安排方案有〔  〕种
A. 60                                       B. 120                                       C. 240                                       D. 480
4.“天问一号〞是我国自主研发的第一个火星探测器，于2021年7月23日发射升空，2021年2月10日成功地进入火星轨道，并于2021年3月4日传来3幅高清火星影像图.火星的质量 约为 ，“天问一号〞的质量 约为 ，那么 〔  〕〔参考数据： ， ， 〕
A. 19.22                                  B. 19.92                                  C. 20.08                                  
5.假设 ，那么 〔  〕
A. 160                                      B. -160                                      C. 80                                      D. -80
6.函数 ，假设存在 ，使得 成立且 最小值为 ，设函数 在 处取得最大值，那么 在 有〔  〕个零点
A. 0                                         B. 1                                         C. 2                                         D. 无数个
7.“阿基米德多面体〞是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，其中“扭棱十二面体〞就是一种“阿基米德多面体〞.它是由80个正三角形和12个正五边形组成的，假设多面体的顶点数、棱数和面数满足：顶点数-棱数+面数=2，那么“扭棱十二面体〞的顶点数为〔  〕

A. 56                                         B. 58                                         C. 60                                         D. 62
8.设函数 ，假设 ，那么以下不等式正确的选项是〔  〕〔参考数据： …〕
A.                                           B. 
C.                                           D. 
二、多项选择题
9.设实数 满足 ，那么以下不等式一定成立的是〔  〕
A.                        B.                        C.                        D. 
10.直四棱柱 ，底面 为矩形， ， ，侧棱长为3，设 为侧面 所 在平面内且与 不重合的任意一点，那么直线 与直线 所成角的余弦值可能为〔  〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
11.假设双曲线 ， 分别为左、右焦点，设点 在双曲线上且在第一象限的动点，点 为 的内心，点 为 的重心，那么以下说法正确的选项是〔  〕
A. 双曲线 的离心率为                                                         B. 点 的运动轨迹为双曲线的一局部
C. 假设 ， ，那么 .     D. 存在点 ，使得
12.数列 满足， ， ，那么以下有关表达正确的选项是〔  〕
A. ，数列 为递减数列                           B. ，数列 为递增数列
C. ，数列 一定不为常数数列                D. 且 ，当 时，
三、填空题
13.随机变量 ，假设 ，那么 ________．
14.汽车前照灯主要由光源、反射镜及配光片三局部组成，其中经过光源和反射镜顶点的剖面轮廓为抛物线，而光源恰好位于抛物线的焦点处，这样光源发出的每一束光线经反射镜反射后均可沿与抛物线对称轴平行的方向射出.某汽车前照灯反射镜剖面轮廓可表示为抛物线 .在平面直角坐标系中，设抛物线 ，抛物线的准线记为 ，点 ，动点P在抛物线上运动，假设点P到准线 的距离等于 ，且满足此条件的点P有且只有一个，那么 ________
15.四面体 ，点 为其内部一点，满足 ， ，当四面体 体积最大时，四面体 外接球的外表积为________．
16.平面向量 ， ，设 ， ， ，那么 与 的夹角为________，当 时， ________
四、解答题
17.如图，四棱锥 的底面 为正方形， 平面 ， ，点 和点 分别在棱 ， 上， ， 为 的中点.

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕求二面角 的大小.
18.设数列 的各项均为非零实数，记其前 项和 ， .
〔1〕求 ， ；
〔2〕是否存在一个无穷数列 ，满足 ，假设存在，请给出符合条件的数列 的一个通项公式；假设不存在，请说明理由.
19.在中 ，内角 所对的边分别为 ， .
〔1〕求 ；
〔2〕设 为 内一点， ，求 .
20.第24届冬奥会将于2022年在北京市和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的效劳工作是成功举办的重要保障.在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩总分值100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩分五组，第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如下列图的频率分布直方图.图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同.

〔1〕求 的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕和中位数〔中位数精确到0.1〕；
〔2〕抽取的80名候选人中，男生和女生各40人，男生希望参加张家口赛区志愿效劳的人数有10人，女生希望参加张家口赛区志愿效劳的人数有20人，补全下面2×2列联表，问是否有95%的把握认为希望参加张家口赛区志愿者效劳的候选人与性别有关？

男生
女生
总计
希望去张家口赛区
10
20

不希望去张家口赛区



总计
40
40

〔3〕冰球工程的场地效劳需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通过该项志愿效劳的选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将5张写有“中签〞和2张写有“未中签〞字样的字条随机分配给每一位候选人，记男生中签的人数为X，求X的分布列及数学期望 .
参考数据及公式： ， .

 
 
 

 
 
 
21.在平面直角坐标系 中，点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率乘积为 .
〔1〕求动点 的轨迹方程 ；
〔2〕 ，在 上取一点 作 的两条切线 ，其中 为切点， 的斜率分别为 ，直线 与 轴的负半轴交于点 ，直线 与 轴的正半轴交于点 ，且 ，求 和 .
22.函数 ， .
〔1〕假设 ，证明： ；
〔2〕假设 ，求 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由不等式 ，可化为 ，解得 ，
即集合 ，
又由 ，可得阴影局部所表示的集合为 。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合韦恩图表示阴影局部的方法，再结合交集和补集的运算法那么，从而得出图示中阴影局部表示的集合。
2.【解析】【解答】由题意，例如复数 ，可得 ，但此时复数 为虚数，不能比较大小，所以充分性不成立；
反之：假设 ，可得复数 都为实数，此时 ，即必要性成立，
所以“ 〞是“ 〞 必要不充分条件。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ 〞是“ 〞 必要不充分条件。
3.【解析】【解答】根据题意，先将5名教师分成4组，有 种分法，
将分好的4组安排到4个贫困县，有 种安排方式，
由分步计数原理，可得共有 种安排方式。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分步乘法计数原理，从而求出不同的安排方案种数。
4.【解析】【解答】
。
故答案为：C．

【分析】利用实际问题的条件结合对数的运算法那么，从而求出的值。
5.【解析】【解答】因为 ，所以 。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出的值。
6.【解析】【解答】由题意，函数 ，
可得函数 ，
假设存在 ，使得 成立且 最小值为 ，
那么函数 的周期为 ，所以 ，即 ，
令 ，解得 ，
因为函数 在 处取得最大值，
不妨取 ，由 ，可得 ，
当 ，可得 ，此时 ，
那么 ，此时无零点，
当 ，可得 ，此时 ，
此时 ，此时有无数个零点。
故答案为：D.

【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图像求出正弦型函数的最值，假设存在 ，使得 成立且 最小值为 ，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而求出正弦型函数的解析式，利用正弦型函数图象求最值的方法结合函数 在 处取得最大值，不妨取 ，由 ，可得 ，当 ，可得 ，此时 ，那么 ，从而结合函数零点存在性定理得出此时函数无零点，当 ，可得 ，此时 ，此时 ，，从而结合函数零点存在性定理得出此时有无数个零点，进而选出正确的选项。
7.【解析】【解答】因为扭棱十二面体是由80个正三角形和12个正五边形组成的，
所以面数为 ，棱数为 ，
因为多面体的顶点数、棱数和面数满足：顶点数 棱数 面数 ，
所以扭棱十二面体的顶点数为： 。
故答案为：C

【分析】因为扭棱十二面体是由80个正三角形和12个正五边形组成的，从而求出多面体的面数和棱数，再利用多面体的顶点数、棱数和面数满足：顶点数 棱数 面数 ，从而求出“扭棱十二面体〞的顶点数。
8.【解析】【解答】因为函数 ，且 ，
所以
整理得： ，
即 ，解得： ，所以 .
所以
所以 在 上单增，在 上单减，在 上单增.
因为 ，所以 .
对于A：由①得： .
因为 ，所以 ，所以 .A不符合题意；
对于B：由①得： .
因为 ，所以 ，所以 .B不符合题意；
对于C： .
因为 ，所以 ，而 ，所以 ，所以 ，C不符合题意；
对于D： ，而 ，所以 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：D

【分析】因为函数 ，且 ，再结合代入法和对应相等，再解方程组求出a,b的值，从而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，因为 ，所以 ，由①得： ，因为 ，所以利用函数的单调性得出 ，所以 ；由①得： ，因为 ，再利用函数的单调性，所以 ，所以 ；利用函数的解析式结合代入法得出 ，因为 ，再利用函数的单调性，所以 ，再利用代入法结合函数的解析式得出的值 ，所以 ，所以 ；利用函数的解析式结合代入法得出 的值 ，因为 ，再利用函数的单调性，所以 ，所以 ，从而选出不等式正确的选项。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A选项：取a=-3，b=-1，满足条件，而a2>b2 ， A不正确；
对于B选项：因 ，那么 ，又函数 在 单调递增，即 ，B符合题意；
对于C选项：因 ，那么 ， ，即 ，C符合题意；
对于D选项：因 ，那么 ， ，D符合题意.
故答案为：BCD

【分析】利用特殊值法结合条件推出a2>b2 ， 再利用条件结合对数函数的单调性和绝对值的定义，从而推出 ，再利用条件结合均值不等式求最值的方法，从而得出 ，因为 ，再利用不等式的根本性质，那么 ， 从而结合平方数的性质，得出，从而选出不等式一定成立的选项。
10.【解析】【解答】以 为原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系如图，

那么 ， ，那么 ，设点 ，那么 .
设直线 与直线 所成的角为 ，那么
，
令 ， ，其中 ，
那么 ，
所以， ，显然， ， 。
故答案为：BC

【分析】以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，设直线 与直线 所成的角为 ，再利用数量积求向量夹角公式，得出，令 ， ，其中 ，再利用辅助角公式得出，再利用正弦型函数的图像结合绝对值的定义，得出 的取值范围，从而找出直线 与直线 所成角的余弦值的选项。
11.【解析】【解答】由题意，双曲线 ，可得 ，
那么离心率为 ，所以A符合题意；

设 ， 的内切圆与边 切于点 ，与边 切于点 ，
与边 切于点 ，可得 ，
由双曲线的定义可得 ，即 ，
又由 ，解得 ，那么 的横坐标为 ，
由 与 的横坐标相同，可得 的横坐标为 ，可得 在定直线 上运动，
所以B不正确；
由 且 ，解得 ，
那么 ，可得 ，
所以 ，同理可得 ，
设直线 ，直线 ，
联立方程组，求得 ，
设 的内切圆的半径为 ，那么 ，
解得 ，即有 ，
可得 ，
由 ，可得 ，解得 ，
可得 ，所以C符合题意；
设 ，那么 ，
设 的内切圆的半径为 ，那么 ，
于是 ，可得 ，
假设 ，可得 ，即 ，
又由 ，联立可得 ，
因此 ，解得 ，
即存在点 ，使得 ，所以D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】由题意，结合双曲线标准方程确定焦点的位置，进而求出a,b的值，再结合双曲线中三者的关系式，从而求出c的值，再利用双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率；设 ， 的内切圆与边 切于点 ，与边 切于点 ，与边 切于点 ，可得 ，由双曲线的定义可得，又由 ，解得点 的横坐标为 ，由 与 的横坐标相同，可得 的横坐标为 ，可得 在定直线 上运动；
由 且 ，解得 ，再利用余弦定理求出的值 ，再利用同角三角函数根本关系式，可得 的值 ，进而求出 的值 ，同理可得 的值 ，设直线 ，直线 ，联立方程组，从而求出交点的坐标 ，设三角形 的内切圆的半径为 ，再利用三角形面积公式结合条件，从而求出三角形 的内切圆的半径，从而求出点I的坐标， 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合平面向量根本定理解得x,y的值，可得 的值 ；设 ，再利用重心的性质，得出 ，设 的内切圆的半径为 ，再利用三角形面积公式结合条件，可得三角形 的内切圆的半径 ，假设 ，再利用两直线平行对应边成比例，可得，又由 ，联立可得 的值 ，因此 ，从而得出 的值 ，即存在点 ，使得 ，从而选出说法正确的选项。
12.【解析】【解答】A ，B：当 时， ，因为 ，所以有 ，
由 ，可得 ，设 ，
，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，因为 ，
所以当 时，有 ，即有 ，所以数列 为递增数列，故答案为：项B符合题意；
当 时， ，即有 ，所以数列 为递减数列，故答案为：项A符合题意；
C：当 时， ，因为 ，所以有 ，
当数列 为常数数列时，设 ，方程 一定有解，
设 ，所以 ，当 时， ，
所以此时函数 单调递增， ， ，
因为 ，所以函数 有唯一零点，设为 ，
所以有 ，因此方程 有唯一负实根，因此 ，数列 一定不为常数数列是不正确的，故本选项说法不正确；
D：当 且 时，当 时， ，因为 ，所以有 ，
因为 ，即 ，所以 ，
  ，设 ， 且 ，
，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，因此本选项正确，
故答案为：ABD

【分析】当 时， ，因为 ，所以有 ，由 ，可得 ，设 ， 再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，因为 ，所以当 时，有 ，即有 ，所以数列 为递增数列，当 时， ，即有 ，所以数列 为递减数列，当 时， ，因为 ，所以有 ，当数列 为常数数列时，设 ，方程 一定有解，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理得出函数 有唯一零点，设为 ，所以有 ，因此方程 有唯一负实根，因此 ，数列 一定不为常数数列是不正确的，当 且 时，当 时， ，因为 ，所以有 ，因为 ，即 ，所以 ，  ，设 ， 且 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，因为 ，所以 ，即 ，从而选出表达正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】由题意，随机变量 ，且 ，
根据正态分布曲线的对称性，可得 。
故答案为：3。

【分析】利用条件结合正态分布对应的函数的对称性，从而求出的值。
14.【解析】【解答】抛物线 ，那么准线 的方程为 ,焦点 ，设 ，
由点 到准线 的距离等于 ，那么 ，
所以 ，
化简可得： ，
由满足此条件的点P有且只有一个，所以 ，
即 ，那么 ,
由 ，所以 。
故答案为：-1。

【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点的坐标和准线方程，再利用点P在抛物线上结合代入法设出点P的坐标，再利用点到直线的距离结合抛物线的定义，得出点 到准线 的距离等于 ，再利用两点距离公式得出， 由满足此条件的点P有且只有一个，再利用判别式法结合二次函数图象求值域的方法，从而求出m的值。
15.【解析】【解答】由 得，点 位于过 的外心且垂直于面 的直线上，假设要四面体的体积最大，那么 在平面 的同侧，且点 满足 平面 ，如下列图，

设外接球的球心 ，在平面 上的射影为 ，外接球的半径 ，设 ，因为 为圆 上的三点，
所以 ，
所以 ，
设 ，那么 ，
易得 在 处取得最大值，所以 ，
又 ，所以 ，
解得 ，所以球的外表积 。
故答案为： 。

【分析】由 得，点 位于过 的外心且垂直于面 的直线上，假设要四面体的体积最大，那么 在平面 的同侧，且点 满足 平面 ，设外接球的球心 ，在平面 上的射影为 ，外接球的半径 ，设 ，因为 为圆 上的三点，再利用三角形面积公式，所以 ，再利用三棱锥体积公式，所以 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值 ，进而求出对应的x的值，再利用勾股定理求出外接球的半径，再利用球的外表积公式，从而求出四面体外接球的外表积。
16.【解析】【解答】由 ， ， ，可得 ，
因为 ，所以 ，
所以向量 与 共线且反向，可得 ，
又由 ， ，可得 ，
所以 。
故答案为： ；-3。

【分析】利用条件结合数量积求向量夹角公式和向量夹角的取值范围，从而求出两向量的夹角，所以向量 与 共线且反向，可得 ，再利用条件可得 ，从而求出的值。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 连接 交 于 ，连接 ，因为 是正方形，且 为 中点，所以 ，又因为 ，所以 ，再利用对应边成比例两直线平行，所以 ，再利用线线平行证出线面平行。
〔2〕 以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系， 由于 ，不妨设 ， 从而求出点的坐标，连接 ，那么 ，因为 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直， 所以 ， 再利用线线垂直推出线面垂直， 所以 平面 ， 再利用数量积为0两向量垂直的等价关系可得平面 的一个法向量和平面 的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而结合二面角 的大小为锐角，从而求出二面角 的大小。
18.【解析】【分析】〔1〕 由题意，数列 满足 ，再利用特殊值代入法结合数列求和定义，从而求出 ， 的值。
〔2〕 利用条件结合 的关系式 ，再结合分类讨论的方法求出数列的一个通项公式。
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合二倍角的正弦公式，再结合正弦定理结合余弦定理，从而解一元二次方程和a的取值范围，进而求出a的值。
〔2〕 由〔1〕可知 ， ， 再利用勾股定理证出线线垂直，再利用等腰直角三角形的定义，所以判断出三角形为等腰直角三角形且 ，设 ， ，因为 ，所以 ，由三角形内角和定理得出 ，设 中点 ，那么 ，再利用余弦函数的定义，所以 ，又因为 ，在 中，由正弦定理可得，因为 ，从而求出的值 ，进而求出 的值 。
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等腰各小组的频率，再利用频率之和为1，从而求出a,b的值，再利用频率分布直方图求平均数和中位数公式，从而估计出这80名候选者面试成绩平均值和中位数。
〔2〕利用条件补全2×2列联表，再利用独立性检验的方法判断出有95%的把握认为希望参加张家口赛区志愿者效劳的候选人与性别有关。
〔3〕利用条件求出随机变量X可能的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
21.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合两点求斜率公式，从而求出动点 的轨迹方程 。
〔2〕 设点 的坐标为 ，再利用代入法结合椭圆的标准方程，可知 ，①  ，                               
因为 ，所以过点 作 切线的斜率显然存在，设直线的斜率为为 ，再利用斜截式设出直线方程为 ，将该直线方程与 联立结合判别式法得出 ，②  ，由题意知 ， 是方程②的两根，因为，再由韦达定理知 ，③，将①代入③即得 ，④，
由 ，结合题意和直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，可知： ， ，再利用二倍角的正切公式，所以 ， ⑤，由④⑤并结合点 的位置求出 和 的值。
22.【解析】【分析】〔1〕 利用a的值求出函数的解析式，再利用分析法证明方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而证出不等式 成立。
〔2〕令 ，对于 ， 恒成立，那么 ，解得 ，又因为 在 恒成立，因为 显然成立，所以 在 恒成立，即 ，从而求出a的取值范围，令 ， ， 再利用减函数的定义判断出函数 在 上单调递减，再利用函数的单调性，那么 ，由〔1〕可知， ，所以 ， 当且仅当 时取等号，从而推出 在 恒成立，进而求出实数a的取值范围。