2021届河南省郑州市高三上学期理数第一次质量检测试卷及答案

这是一份2021届河南省郑州市高三上学期理数第一次质量检测试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三上学期理数第一次质量检测试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 
2.设复数 满足 ，那么 〔   〕
A.                                          B.                                          C. 1                                         D. 
3. 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距离为9，到 轴的距离为6，那么 〔    〕
A. 3                                           B. 6                                           C. 9                                           D. 12
4.设 为单位向量，且 ，那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C. 3                                         D. 7
5.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，那么以下所有正确结论的编号是〔    〕
注:90后指1990年及以后出生，80后指 年之间出生，80前指1979年及以前出生.

①互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上②互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%③互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多④互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
A. ①②③                                B. ①②④                                C. ①③④                                D. ②③④
6.?周髀算经?中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分.清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，假设冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，那么谷雨日影长为〔    〕

7.函数 的图象大致为〔    〕
A.                                     B. 
C.                                        D. 
8.式子 的展开式中， 的系数为〔    〕
A. 3                                          B. 5                                          C. 15                                          D. 20
9.假设直线 与曲线 和圆 都相切，那么 的方程为〔    〕
A.           B.           C.           D. 
10.a>0，b>0，且a+b=1，那么错误的选项是〔    〕
A.                  B.                  C.                  D. 
11.对于函数 与 ，假设存在 ，使 ，那么称 ， 是函数 与 图象的一对“隐对称点〞.函数 ， ，函数 与 的图象恰好存在两对“隐对称点〞，那么实数 的取值范围为〔    〕
A.                  B.                  C.                  D. 
12.设点 分别为双曲线 的左右焦点，点 分别在双曲线 的左、右支上，假设 ，且 那么双曲线 的离心率为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
二、填空题
13.设变量 满足约束条件 ，那么目标函数 的最小值为________．
14. ，假设 存在极小值，那么 的取值范围是________．
15.数列 中， ，假设 ，那么 ________．
16. 是球 的内接三棱锥， 那么球 的外表积为________．
三、解答题
17.在 中，角 的对边分别为 ， .

〔1〕求边BC的长﹔
〔2〕在边 上取一点 ，使得 ，求 的值.
18.如图，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形， ， .

〔1〕证明:平面 平面 ；
〔2〕假设 ，求二面角 的余弦值.
19.椭圆 的离心率为 ，且过点 .
〔1〕求 的方程；
〔2〕点 在 上，且 ，证明:直线 过定点.
20.函数 .
〔1〕假设 ，讨论 的单调性﹔
〔2〕假设对任意 恒有不等式 成立，求实数 的值.
21.教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育开展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共3分批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选.这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验.
〔1〕求5名优秀教师中的“甲〞，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔
〔2〕求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由；
〔3〕现在需要2名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，那么再派另一位教师.假设有 两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为 ，假设 ，且假定各人能否完成任务
的事件相互独立.假设按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为 ，其中 是 的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望到达最小.
22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 〔 为参数〕，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
〔1〕求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
〔2〕射线 的极坐标方程为 ，假设射线 与曲线 的交点为 (异于点 )，与直线 的交点为 求线段 的长.
23. ，函数
〔1〕假设 ， ，求不等式 的解集﹔
〔2〕求证： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
故答案为：C

【分析】先求出集合A，然后进行交集的运算即可。
2.【解析】【解答】 ， ， ， ，
，
故 ， ，
故答案为：C.

【分析】利用复数的运算法那么，共轭复数及模的计算公式即可得出答案。
3.【解析】【解答】由题意 ， ．
故答案为：B．

【分析】直接利用抛物线的性质解题即可。
4.【解析】【解答】因为 为单位向量，且 ，所以 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为：B.

【分析】利用条件求出向量的数量积，然后通过向量的模的运算法那么，求解即可。
5.【解析】【解答】对于①：互联网行业从业人员中仅90后从事技术和运营岗位的人数占总数的
，所以占三层以上，故①正确；
对于②：互联网行业中仅 后从事技术岗位的人数占总人数的
，所以超过总人数的20%，故②正确；
对于③：互联网行业中90后从事运营岗位的人数占总人数的 ，而80前从事互联网行业的人数占总人数的3%，故互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故③正确；
对于④：由于80后中从事技术岗位的人数所占比例不确定，所以互联网行业中从业人员中90后与80后，从事技术岗位的人数无法比较，故④不正确；
所以①②③正确，
故答案为：A

【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图，直接求解即可。
6.【解析】【解答】设十二个节气其日影长依次成等差数列 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，解得
所以 的公差 ，
所以 ，
所以谷雨日影长为 ，
故答案为：D

【分析】利用等差数列通项公式和前项和公式，求出首项和公差，由此能求出结果。
7.【解析】【解答】解：函数 ，函数定义域为 ，
由于 ，所以函数为奇函数，
故排除 ，由于 时， ，故排除D.
再根据 选项，考虑特殊值 ，故排除 ，
故答案为：B

【分析】根据题意首先求出函数的定义域进而得出函数的奇偶性进而判断出选项C错误，再由特殊值法判断出选项A错误以及选项D错误，由此得到答案。
8.【解析】【解答】 ，
的展开式通项为 ，
的展开式通项为 ，
由 ，可得 ，
因此，式子 的展开式中， 的系数为 .
故答案为：B.

【分析】由， 写出和的展开式通项，分别令的指数为3，求出相应的参数，再将参数的值代入通项可求得结果。
9.【解析】【解答】解：法一：设曲线 的切点 ，
根据导数几何意义可得点 处的切线斜率 ，
所以切线方程 ，
即 ，
因为切线也与圆 相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，
解得： 或 〔舍去〕.
所以切线方程为：
故答案为：A.

法二：画出曲线 和圆 的图形如下：

结合图形可得要使直线 与曲线 和圆 都相切，
那么直线 ，横截距 ，纵截距 ，B, C, D均不符合，
故答案为：A.

【分析】画出曲线 和圆 的图形，结合图形可得要使直线 与曲线 和圆 都相切，即可排除B, C, D均不符合, 进而得出答案。
10.【解析】【解答】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，A符合题意；
对于B， ，所以 ，B符合题意；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，D符合题意.
故答案为：C.

【分析】根据, 由结合二次函数可判断A；由可判断B；由和结合根本不等式可判断CD。
11.【解析】【解答】由题意函数 与 的图象有两个交点，
令 ，那么 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
又 恒过点 ，当 时， ，
在同一坐标系中作出函数 、 的图象，如图，

由图象可知，假设函数 与 的图象有两个交点，那么 ，
当直线 为函数 图象的切线时，由 可得 ,
即 .
故答案为：A.

【分析】由题意函数 与 的图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性，画出图像，数形结合即可得到答案。
12.【解析】【解答】∵ ，∴ 共线，设 ，那么 ，
，∴ ，∴ ，
结合双曲线定义得 ，
∴ ，整理得 ． 或 ，
假设 ，那么 ， ，不满足 ，舍去，
假设 ，那么 ， ，满足 ， ， ，
∴在 中 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，整理得 ，∴ ．
故答案为：B．


【分析】由及数量积的运算律可得即， 设 ，那么 ，利用双曲线的定义及直角三角形可求得〔不合题意舍去〕，然后求出， 再利用余弦定理得出关系求得离心率。
二、填空题
13.【解析】【解答】作出可行域如下列图：

由 可得 ，作 将其沿可行域的方向平移可知过点 时 最小，也即 最小，所以 ，
故答案为：4

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可得出。
14.【解析】【解答】 ，
假设 存在极小值，那么 存在极小值，
所以方程 有两个不等的实根，
所以 ，解得： ，
所以 的取值范围是〔-∞，2〕，
故答案为：〔-∞，2〕

【分析】求出函数的导数，根据题意可得有极小值点，即二次方程有两个不等的实数根，由即可求得的取值范围。
15.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ， 是等比数列，公比为2．
所以 ．
因为 ，所以 ．
故答案为：3．

【分析】先由题设推导出， 从而说明数列是首项公比均为2的等比数列，进而求得， 即可求得满足题意的即可。
16.【解析】【解答】取 ， 的中点 ，

因为 所以 ， ，所以 平面 ，
既是 ，又是 的垂直平分线，所以三棱锥 的外接球的球心在 上，
且平面 平面 ，
点 是 的中心， ， ，且 ，
， ，所以 ，
，所以 ，解得： ，
那么三棱锥外接球半径 ，
那么球O的外表积 .
故答案为：84π

【分析】取 ， 的中点 ，利用的长度关系得出， ， 且三角形ABC和三角形BCD都是正三角形，即可求出三角形BCD的外接圆半径，再利用面面垂直的性质找到球心的位置，利用圆心定理求出球心O到平面BCD的距离，从而利用勾股定理即可求出外接球的半径，进而可以求解。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 在  中 ，利用余玄定理即可求；
〔2〕在  中 ，由正弦定理可以求出  ，再利用 与 互补可以求出  ,得出 是钝角，从而可得 为锐角，即可求出 和 的值，利用 展开代入数值即可求解。
18.【解析】【分析】〔1〕取  的中点  ，连接  ，  ， ，从而 平面 由此能证明平面  平面 ；
〔2〕 点  是  的三等分点，建立如下列图的空间直角坐标系，利用向量法能求出 二面角  的余弦值。 
19.【解析】【分析】〔1〕由题意可得  ，解得 ， 进而可得椭圆方程；
〔2〕设点  ， ， 由推出 ，  …① ， 设 ， 联立直线MN与椭圆的方程，得关于的一元二次方程，结合韦达定理可得
  ，  ， ，  ，代入①式化简可得， 进而可得直线过定点。 
20.【解析】【分析】〔1〕求出 ， 利用导数的正负即可求得 的单调性；
〔2〕讨论的情况，求出 的值，令   ，得出 ， 最后得出 ， 即可求得的值。
21.【解析】【分析】〔1〕根据相互独立的概率乘法公式即可求解；
〔2〕先求出第一次抽取到的无支教经验的教师人数对应的概率，再求出第二次抽取到的无支教经验的教师人数，比较即可求解；
〔3〕分别求出先A后B以及先B后A对应的数学期望，比较即可求解。
22.【解析】【分析】〔1〕直接利用转换关系，把参数方程，极坐标方程和直角坐标方程进行转换；
〔2〕将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程，根据极径的几何意义可得。
23.【解析】【分析】〔1〕由题意可得  ，解不等式 即可求解；
〔2〕由题可得需证 利用绝对值三角不等式可得。