2021届湖南省衡阳市高三下学期数学一模试卷及答案

这是一份2021届湖南省衡阳市高三下学期数学一模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期数学一模试卷
一、单项选择题
1.假设复数 满足 ，那么 〔    〕
A.                                            B.                                            C. 1                                           D. 5
2. 、 为 的子集，假设 ， ，那么满足题意的 的个数为〔    〕
A. 3                                           B. 4                                           C. 7                                           D. 8
3.衡阳创立“全国卫生文明城市〞活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾〞、“可回收垃圾〞、“其它垃圾〞三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，那么恰好有一袋垃圾投对的概率为〔    〕

A.                                           B.                                           C.                                           D. 
4.二项式 的展开式中常数项为-20，那么含 项的系数为〔    〕
A. -6                                         B. -15                                         C. 6                                         D. 15
5.设 ， ，那么 ， ， 的大小关系为〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 
6.非零向量 ， ， 满足 ， ， 的夹角为 ， ，那么 在 上的投影为〔    〕
A. 2                                          B.                                           C. 3                                          D. 4
7.设 、 是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，假设 上存在点 ，使得 ，且 ，那么此双曲线的离心率为〔
A.                                         B.                                         C. 2                                        D. 
8.函数 〔 〕，将 的图像向右平移 个单位得到函数 的图像，点 ， ， 是 与 图像的连续相邻三个交点，假设 是钝角三角形，那么 的取值范围为〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
二、多项选择题
9.5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的效劳范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某 商城统计了5个月的5G 销量，如下表所示：
月份
2021年6月
2021年7月
2021年8月
2021年9月
2021年10月
月份编号
1
2
3
4
5
销量 /部
52
95

185
227
假设 与 线性相关，由上表数据求得线性回归方程为 ，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 5G 的销量逐月增加，平均每个月增加约10台
B. 
C. 与 正相关
D. 预计12月份该 商城的5G 销量约为328部
10.设数列 的前 项和为 ，假设 为常数，那么称数列 为“桔祥数列〞.那么以下数列 为“桔祥数列〞的有〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
11.抛物线 ： 〔 〕，过其准线上的点 作 的两条切线，切点分别为 、 ，以下说法正确的选项是〔    〕
A.               B.               C. 直线 的斜率为               D. 线段 中点的横坐标为1
12.函数 ，以下结论正确的选项是〔    〕
A. 是偶函数                                                    B. 最小值为2
C. 在区间 上单调递减                  D. 的零点个数为5
三、填空题
13.使得“ 〞成立的一个充分条件是________.
14.定义在 上的函数 满足 ， 的导函数 ，那么 ________.
15.设圆锥的顶点为 ， 为圆锥底面圆 的直径，点 为圆 上的一点〔异于 、 〕，假设 ，三棱锥 的外接球外表积为 ，那么圆锥的体积为________.
16.阿波罗尼期〔约公元前262-190年〕证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.假设平面内两定点 、 间的距离为4，动点 满足 ，那么动点 的轨迹所围成的图形的面积为________； 最大值是________.
四、解答题
17.中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 成等差数列.
〔1〕假设 ，求 ；
〔2〕求 的取值范围.
18. 数列满足 ， .
〔1〕证明：数列 为等差数列.
〔2〕求数列 的前 项和.
19.槟榔芋又名香芋，衡阳市境内主要产于祁东县.槟榔芋富含淀粉、蛋白质、脂肪和多种维生素，可加工成芋兰片，芋丝等副食品，深受广阔消费者喜爱.衡阳市某超市购进一批祁东槟榔芋，并随机抽取了50个统计其质量，得到的结果如下表所示：
质量/克






数量/个
2
5
12
22
6
3
〔1〕假设购进这批槟榔芋100千克，同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这批槟榔芋的数量〔所得结果四舍五入保存整数〕；
〔2〕以频率估计概率，假设在购进的这批槟榔芋中，随机挑选3个，记3个槟榔芋中质量在 间的槟榔芋数量为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 .
20.如图，直四棱柱 ，底面 是边长为2的菱形， ， ，点 在平面 上，且 平面 .

〔1〕求 的长；
〔2〕假设 为 的中点，求 与平面 所成角的正弦值.
21.圆 ： 与圆 ： 的公共点的轨迹为曲线 .
〔1〕求 的方程；
〔2〕设点 为圆 ： 上任意点，且圆 在点 处的切线与 交于 ， 两点.试问： 是否为定值？假设是，求出该定值；假设不是，请说明理由.
22.函数 ， ，其中 ， .
〔1〕当 时，求函数 的最大值；
〔2〕是否存在实数 ，使得只有唯一的 ，当 时， 恒成立，假设存在，试求出 ， 的值；假设不存在，请说明理由.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】方法一：两边取模可得： .
方法二：由题知 ， .
故答案为：C

【分析】先表示出复数 ， 然后利用 复数的运算性质求解即可。
2.【解析】【解答】因为 、 为 的子集，且 ，
画出韦恩图如图，

可知， ，
因为 ，
故 的子集有 个.
故答案为：D

【分析】根据题意可得出， 然后可求出集合N的子集个数为8，从而可得出满足题意的M的个数。
3.【解析】【解答】3袋垃圾中恰有1袋投放正确的情况有 种情形，由古典概型计算公式得三袋恰投对一袋垃圾的概率为 ，
故答案为：D.

【分析】第一步选投对的一袋，剩下两袋投错只有一种方法，得方法数，再求出任意投放的方法数相除可得概率。
4.【解析】【解答】二项式 的展开式生的通项公式为
当 时，为常数项.那么 ，
令 ，得 ，所以含 项的系数 .
故答案为：A

【分析】求出展开式的通项公式，令次数为0，先求出a的值，然后令次数为4，求出k的值即可。
5.【解析】【解答】易知： , ， ， ，显然成立.
所以 ．
故答案为：C．

【分析】由得a>1,b>0且a+b=2，然后结合根本不等式与中间1比较，用不等式的性质比较大小可得。
6.【解析】【解答】由 ，可得
所以
所以 在 上的投影为
故答案为：B

【分析】根据条件， 结合数量积的定义可得， 从 而在 上的投影为 ， 得出答案。
7.【解析】【解答】设 ， ，
在 中，由 ，
得 ，那么 ，
由于 ，
可得 ，所以 ，
即 ，可得 ，
所以，该双曲线的离心率为 .
故答案为：A.

【分析】设 ， ，利用余弦定理结合双曲线的定义得出，推导出，利用平面向量数量积的计算可得出a2与b2的等量关系，利用双曲线的离线率公式可求得结果。
8.【解析】【解答】由题意得， ，作出两个函数图像，如图：
 
， ， 为连续三交点，〔不妨设 在 轴下方〕， 为 的中点，
由对称性，那么 是以 为顶角的等腰三角形， ，
由 ，整理得 ，
解得 ，那么 ，
即 ，
所以 ，
因为 为钝角三角形，
那么 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为：B.

【分析】由题意可得,作出两个函数图像，设为 的中点，由对称性，那么  ，由 ，可得，可得，要使为钝角三角形，只需即可，由即可得解 的取值范围。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】由表中数据可知 ，
又因为回归方程为 ，
代入回归方程，解得 ，
所以 ，
解得 ，
由此知5G 的销量逐月增加，平均每个月增加约40台左右，
将 代入回归方程得 ，
因为 ，所以 与 正相关，
故答案为：BCD.

【分析】利用回归直线方程的性质判断A；通过求得，得到 ，即可求得a值判断B；再有x的系数判断C；取求得值判断D。
10.【解析】【解答】对于A， ， ， ，
所以 不为常数，A不正确；
对于B，由并项求和法知： ， ， ，B符合题意；
对于C， ， ， ，
所以 ，C符合题意；
对于D， ， ， ，
所以 不为常数，D不符合题意；
故答案为：BC.

【分析】利用题中的新定义，对选项进行逐一判断，即可得出答案。
11.【解析】【解答】易知准线方程为 ，∴ ， ： ，故答案为：项A不正确.
设直线 ，代入 ，
得 ，当直线与 相切时，有 ，即 ，
设 ， 斜率分别为 ， ，易知 ， 是上述方程两根，故 ，
故 .故答案为：项B符合题意.
设 ， ，其中 ， .那么 ： ，即 .
代入点 ，得 ，同理可得 ，
故 ： ，故 .  故答案为：项C符合题意.
由 ，得 ，即 中点横坐标为1. 故答案为：项D符合题意.
故答案为：BCD

【分析】由抛物线准线上的点的坐标可得参数p的值，可判断A不正确；
设过T得切线的方程与抛物线联立，由判别式为0可得切线斜率的二次方程，可得斜率之积为-1，可判断B正确；
设 ， ，其中 ， .那么 ： ，即  ，代入点 可得切线TA方程，同理可得切线TB的方程，进而可得直线AB的斜率，可判断C正确；
将A，B的坐标代入抛物线的方程，做差可得直线AB的斜率，由C可得线段AB的中点，横坐标的值，可判断D正确。
12.【解析】【解答】∵ ， ，∴ 是偶函数，A符合题意；
因为 ，由函数的奇偶性与周期性，只须研究 在 上图像变化情况. ，
当 ， ，那么 在 上单调递增，在 上单调递减，此时 ；
当 时， ，那么 在 上单调递增，在 上单调递减，此时 ，故当 时， ，B符合题意.
因 在 上单调递减，又 是偶函数，故 在 上单调递增，C不符合题意.
对于D，转化为 根的个数问题.因 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减.当 时， ， ， 无实根. 时， ， 无实根， ，显然 为方程之根. ， ， ，单独就这段图象， ， 在 上变化趋势为先快扣慢，故 在 内有1个零点，由图像知 在 内有3个零点，又 ，结合图象，知D符合题意.

故答案为：ABD.

【分析】通过分析函数的根本性质得出结论，以及通过数形结合分析零点个数。
三、填空题
13.【解析】【解答】由于 ，故 等价于 ，解得： ，
使得“ 〞成立的一个充分条件只需为集合 的子集即可，
故答案可以为：
故答案为：

【分析】根据不等式的解法，先求出不等式的等价条件，利用充分条件的定义转化为集合关系即可。
14.【解析】【解答】因为 ，
两边同时求导可得： ，
故 .
故答案为：0

【分析】将所给的等式两边同时求导，再令x=-2021即可得到答案。
15.【解析】【解答】设圆锥 的外接球球心为 ，那么 在直线 上，

设球 的半径为 ，那么 ，解得 .
由勾股定理得 ，即 ，可得 ，
即 ，解得 或 .
当 时，圆锥 的体积为 ；
当 时，圆锥 的体积为 .
故答案为：24π或8π.

【分析】画出圆锥的直观图，判断三棱锥的外接球与圆锥的外接球相同，求解外接球的半径，然后求解圆锥的高，即可得到圆锥的体积。
16.【解析】【解答】以经过 ， 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系，如图，

那么 ， ，设 ， ，∴ ，
得： ，点 的轨迹为圆〔如图〕，
其面积为12π.
，如图当 位于点 时， 最大， 最大值为 ，故 最大值是 .
故答案为：12π； .

【分析】以经过 ， 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系，求出阿氏圆方程，可得半径，从而得面积，由利用向量数量积的坐标表示求出，结合P在圆上可得最大值。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕由等差数列得  ，由正弦定理化边为角，利用 得 ，可求得角B；
〔2〕由余弦定理 及  表示出 ， 用根本不等式得的范围，从而得B角范围。
18.【解析】【分析】〔1〕将   两边同时除以   ， 即可证数列  为等差数列；
〔2〕利用〔1〕的结论可求出数列  的通项公式，再利用乘公比错位相减求和。
19.【解析】【分析】〔1〕由频率分布表可求得每个槟榔芋的平均质量，从而可估计这批评槟榔芋的数量；
〔2〕  所有可能取值为0，1，2，3 ，分别求出对应的概率，即可得分布列和数学期望。
20.【解析】【分析】〔1〕建立适宜的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面  的法向量，然后利用点到直线的计算公式求解即可；
〔2〕利用待定系数法求出平面 的法向量，然后将  与平面  所成角转化为两个法向量的夹角进行求解即可。
21.【解析】【分析】〔1〕 设公共点为   ， 那么   ，  ，利用椭圆的定义即可得到点p的轨迹为椭圆，然后再求椭圆的标准方程即可；
〔2〕 当直线  斜率不存在时 ，可得   ， 当直线  斜率存在，设  ：   ， 把直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后利用直线与圆相切得到m与k的关系，利用向量的坐标表示证明   ， 从而可求得   。
22.【解析】【分析】〔1〕由   得到 ， 再利用导数法求解；
〔2〕将  时，  恒成立， 转化为  恒成立， 求导   ，  分 ， ， ，   四种情况讨论求解。