2021届江苏省南通市高三下学期数学5月四模试卷及答案

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这是一份2021届江苏省南通市高三下学期数学5月四模试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三下学期数学5月四模试卷
一、单项选择题
1.集合，，假设且，那么的个数为〔    〕
A. 1                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 6
2.向量，，且，那么〔    〕
A. 0                                         B.                                          C.                                          D. -1
3.等比数列的公比为，那么“ 〞是“ 〞的〔   〕
A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件
4.4位优秀党务工作者到3个基层单位进行百年党史宣讲，每人宣讲1场，每个基层单位至少安排1人宣讲，那么不同的安排方法数为〔    〕
A. 81                                         B. 72                                         C. 36                                         D. 6
5.我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号〞，操控的超导量子比特为62个.1个超导量子比特共有“ ，〞2种叠加态，2个超导量子比特共有“ ，，，〞4种叠加态，3个超导量子比特共有“ ，，，，，，，〞8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有种叠加态，那么是一个〔    〕位的数.(参考数据： )
A. 18                                         B. 19                                         C. 62                                         D. 63
6.在的展开式中，常数项为〔    〕
A. 210                                      B. 252                                      C. 462                                      D. 672
7.双曲线 ( ， )的左､右焦点分别为，，假设上存在点满足，那么该双曲线的离心率为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D.
8.在棱长为2的正方体中，为的中点.当点在平面内运动时，有平面，那么线段的最小值为〔    〕
A. 1                                        B.                                         C.                                         D.
二、多项选择题
9.新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如下：

根据该图数据，这7次人口普查中〔    〕
A. 城镇人口数均少于乡村人口数                                   B. 乡村人口数到达最顶峰是第4次
C. 和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次     D. 城镇人口总数逐次增加
10.以下结论正确的选项是〔    〕
A. 假设复数满足，那么为纯虚数          B. 假设复数满足，那么
C. 假设复数满足，那么                        D. 假设复数，满足，那么
11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，将分别绕边，，所在的直线旋转一周，形成的几何体的体积分别记为，，，侧面积分别记为，，，那么〔    〕
A.                 B.                 C.                 D.
12.定义在上的函数，那么〔    〕
A.                     B.
C. 的最大值为2               D. 不等式的解集为
三、填空题
13.角的终边经过点，那么的值是________.
14.设曲线在处的切线斜率为1，试写出满足题设的一个 ________.
15.舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动.当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动.记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为 .假设，，过上的点向作切线，那么切线长的最大值为________.

16.甲､乙､丙三支足球队进行双循环赛(任意两支球队都要在自己的主场和对方的主场各赛一场).根据比赛规那么，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.比赛进行中的统计数据如下表：

已赛场数
胜的场数
平的场数
负的场数
积分
甲
4
2
1
1
7
乙
3
0
2
1
2
丙
3
1
1
1
4
根据表格中的信息可知：
〔1〕还需进行________场比赛，整个双循环赛全部结束；
〔2〕在与乙队的比赛中，甲队共得了________分.
四、解答题
17.等比数列的各项均为正数，且， .
〔1〕求数列的通项公式；
〔2〕设，，求数列的最大项.
18.如图，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处观测三点的俯角分别为，， .现测得，，，，， .方案沿直线开通一条穿山隧道，试求出隧道的长度.

19.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，， .直线与平面所成的角为 .

〔1〕求证：；
〔2〕求二面角的正弦值.
20. 为抛物线上位于第一象限的点，为的焦点，与交于点 (异于点 ).直线与相切于点，与轴交于点 .过点作的垂线交于另一点 .
〔1〕证明：线段的中点在定直线上；
〔2〕假设点的坐标为，试判断，，三点是否共线.
21.在医学上，为了加快对流行性病毒的检测速度，常采用“混检〞的方法：随机的将假设干人的核酸样本混在一起进行检测，假设检测结果呈阴性，那么认定该组每份样本均为阴性，无需再检测；假设检测结果呈阳性，那么还需对该组的每份样本逐个重新检测，以确定每份样本是否为阳性.设某流行性病毒的感染率为 .
〔1〕假设，混检时每组10人，求每组检测次数的期望值；
〔2〕混检分组的方法有两种：每组10人或30人.试问这两种分组方法的优越性与的值是否有关？
(参考数据：， )
22.函数， .
〔1〕讨论函数的单调性；
〔2〕假设不等式恒成立，求实数的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：集合，，
，
又且，
，即，
的个数为个。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合交集的运算法那么，从而求出集合A和集合B的交集，再利用且结合集合间的包含关系，得出，即，再利用子集的定义结合子集个数求解公式，从而求出集合M的个数。
2.【解析】【解答】由有，化简有。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，从而得出，再利用二倍角的余弦公式，从而求出的值。
3.【解析】【解答】等比数列的公比为，由，
那么，即，
所以“ 〞推不出“ 〞，反之那么成立，
所以“ 〞是“ 〞的必要不充分条件。
故答案为：B

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ 〞是“ 〞的必要不充分条件。
4.【解析】【解答】根据题意，必有两人去同一个基层单位进行宣讲，
故先从4位优秀党务工作者中选两人，有种，
再将其看成整体，和另外两人分配到三个基层单位，有种分配方案,
所以共有种不同的安排方案。
故答案为：C

【分析】利用条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分步乘法计数原理，从而求出不同的安排方法数。
5.【解析】【解答】根据题意，设个超导量子比特共有种叠加态，
所以当有62个超导量子比特共有种叠加态。
两边取以10为底的对数得，
所以，由于，
故是一个19位的数。
故答案为：B

【分析】利用条件结合叠加态的定义，再利用对数的运算法那么结合指数与对数的互化公式，再结合指数幂的运算法那么，从而利用指数函数的单调性，进而得出是一个19位的数。
6.【解析】【解答】由题意得：展开式的通项公式为：，
令，解得k=5，所以一个常数项为，
令，解得k=6，所以一个常数项为，
综上所述，常数项为。
故答案为：D

【分析】利用条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式结合求和法，从而求出常数项的值。
7.【解析】【解答】由，可知，又因为为的中点，
所以可得 .
根据题意设，那么，
所以，
所以，
那么。
故答案为：A.

【分析】由，可知，又因为为的中点，
所以可得，再利用题意设，再结合勾股定理，那么，再结合双曲线的定义推出，从而结合双曲线的离心率公式变形，进而求出双曲线的离心率。
8.【解析】【解答】取CD中点P ，中点Q ，连接PQ、PN、QN ，如下列图：

因为P、N分别为CD、BC中点，
所以，
同理，P、Q分别为CD、中点，
所以，
又，平面PQN ，，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面，又点在平面内运动，
所以点M在平面和平面的交线上，即，
在中，，，，
所以，
所以，

所以N点到PQ的最小距离，
所以线段的最小值为。
故答案为：B

【分析】取CD中点P ，中点Q ，连接PQ、PN、QN ，因为P、N分别为CD、BC中点，再利用中点作中位线的方法，再结合中位线的性质推出线线平行，所以，同理，P、Q分别为CD、中点，再利用中点作中位线的方法，再结合中位线的性质推出线线平行，再结合平行的传递性，所以，再利用线线平行推出线面平行，再结合线面平行推出面面平行，所以平面平面，因为平面，所以平面，又点在平面内运动，所以点M在平面和平面的交线上，即，在中，，，再结合勾股定理求出QN的长，再利用余弦定理结合条件，从而求出角的值，再利用几何法结合正弦函数的定义求出点N到PQ的最小距离，进而求出线段的最小值。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A：2021年，城镇人口比重为，即城镇人口数高于乡村人口数，A不符合题意；
对于B：由图可得，乡村人口数到达最顶峰是第4次，B符合题意；
对于C：第二次与第一次相比，城镇人口比重增量为，
第三次与第二次相比，城镇人口比重增量为，
第四次与第三次相比，城镇人口比重增量为，
第五次与第四次相比，城镇人口比重增量为，
第六次与第五次相比，城镇人口比重增量为，
第七次与第六次相比，城镇人口比重增量为，
所以和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次，C符合题意；
对于D：由图象可得：城镇人口总数逐次增加，D符合题意.
故答案为：BCD

【分析】利用条件结合条形图中的数据，再利用统计的方法，从而选出正确选项。
10.【解析】【解答】对于A选项，设复数，满足，不为纯虚数，A选项错误；
对于B选项，设复数，那么，所以，即，B选项正确；
对于C选项，设复数，那么，所以且，所以，即，C选项正确；
对于D选项，设复数，，所以，但不成立，D选项错误.
故答案为：BC

【分析】利用条件结合复数与共轭复数的关系，再结合复数的加法运算法那么结合复数相等的等价关系，再利用复数为纯虚数的判断方法，从而推出复数z不是纯虚数；利用条件结合复数乘除法运算法那么结合复数为实数的判断方法，从而推出复数z为复数；利用条件结合复数乘除法运算法那么结合复数为实数比较大小的方法，再结合复数为实数的判断方法，从而推出复数z为复数；利用条件结合复数乘除法运算法那么结合复数相等的等价关系，从而推出不成立，从而选出结论正确的选项。
11.【解析】【解答】将绕边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，其底面半径是，母线长为，高为 . 所以其体积，其侧面积；

将绕边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，其底面半径是，母线长为，高为 . 所以其体积，其侧面积；

将绕边所在的直线旋转一周形成的几何体是两个底面重合的圆锥，其底面半径是，母线长分别为和，高之和为 . 所以其体积，其侧面积 .

对于A，

A符合题意；
对于B，
，
B符合题意；
对于C：
，C符合题意；
对于D：
，而，
所以，D不符合题意.
故答案为：ABC.

【分析】将绕边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，其底面半径是，母线长为，高为 ,再利用圆锥的体积公式求出，再利用圆锥的侧面积公式求出其侧面积；将绕边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，其底面半径是，母线长为，高为，再利用圆锥的体积公式求出，再利用圆锥的侧面积公式求出其侧面积；将绕边所在的直线旋转一周形成的几何体是两个底面重合的圆锥，其底面半径是，母线长分别为和，高之和为，再利用圆锥的体积公式求出，再利用圆锥的侧面积公式求出其侧面积；所以；再利用均值不等式求最值的方法得出
；所以；因为
，而，所以，从而选出正确选项。
12.【解析】【解答】显然函数的定义为 .
对于A，，A符合题意；
对于B，
，B符合题意；
对于C，由B可知函数的周期为 .不妨设，那么

，可知，可知C不符合题意；
对于D，当时，，即时，不等式成立，D不符合题意.
故答案为：AB.

【分析】利用函数的解析式结合代入法，再结合诱导公式得出，所以A正确；再利用诱导公式得出，所以B正确；由可知函数的周期为，不妨设，再利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的图像求出分段函数的值域，从而求出分段函数的最大值，所以C错误；再利用特殊值排除法得出选项D错误，进而选出正确选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】因为角的终边经过点，
所以，
根据诱导公式可得：。
故答案为：。

【分析】利用条件结合正弦函数的定义，从而求出角的正弦值，再利用诱导公式求出的值。
14.【解析】【解答】根据题意，构造指数型函数，设，
所以，显然满足。
故答案为：，C为任意常数〔答案不唯一〕。

【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合条件曲线在处的切线斜率为1，从而求出满足要求的一个函数。
15.【解析】【解答】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如下列图.

因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，半径为1的圆，其方程为，
设点的坐标为，由于，易得，
由可得，设，
那么，解得，
所以点的运动轨迹是椭圆，其方程为，
设上的点，那么，
那么切线长为，即切线长的最大值为。
故答案为：。

【分析】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，因为，再利用两点距离公式结合圆的定义，所以点的运动轨迹是以为圆心，半径为1的圆，其方程为，设点的坐标为，由于，再利用两点距离公式，易得，由可得，设，再利用向量共线坐标表示得出，再结合椭圆的定义，所以点的运动轨迹是椭圆，其方程为，设上的点，再利用两点距离公式结合同角三角函数根本关系式，再结合余弦函数的值域结合二次函数图象求最值的方法，那么，再利用勾股定理求出切线长为，从而求出切线长的最大值。
16.【解析】【解答】〔1〕由题意可知每队需要和除去自己外的另外两队各进行两场比赛，故每队需进行的比赛数为场比赛，而甲队已完成4场比赛，故乙､丙两队再互相进行一场比赛，即可完成整个双循环赛。
〔2〕从表中可以得到，由于乙队未能胜利一场，故在乙､丙进行的唯一一场比赛中，乙､丙两队只能平局，故由此可以推断出甲､乙两队比赛，甲队胜利一局，平局一局，甲丙之间的比赛，丙队胜利一局，失败一局，故与乙队比赛中甲队获得了分。
故答案为：1，4。
【分析】利用组合数公式结合条件，从而得出还需进行1场比赛，整个双循环赛全部结束；再利用条件结合分类加法计数原理，从而求出在与乙队的比赛中，甲队共得的分数。

四、解答题
17.【解析】【分析】〔1)利用条件结合等比数列的通项公式，从而求出等比数列的公比，再利用等比数列的性质求出等比数列的通项公式。
〔2〕利用两种方法解题。法一：由〔1〕求出的等比数列的通项公式结合，，再利用指数幂的运算法那么和等差数列前n项和公式，从而求出数列的通项公式，进而求出数列的最大项；法二：利用〔1〕求出的数列的通项公式，得出，再由，从而结合指数函数的单调性，进而解出n的取值范围，从而求出数列的最大项。

18.【解析】【分析】〔1〕在中，利用条件结合正弦定理求出PB的长，在中，利用条件结合三角形内角和为180度的性质得出的值，再利用正弦定理求出AB的长，从而结合作差法求出隧道的长度。
19.【解析】【分析】取的中点，连结，，，在中，因为，为的中点，所以利用等腰三角形三线合一推出线线垂直，所以，因为平面平面，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以，在四边形中，，，且，，，所以，，，在中，再利用勾股定理得出，即，再利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，即证出。
〔2〕由〔1〕知，平面，所以为在平面内的射影，即为直线与平面所成的角，所以，所以在中，，分别以，所在直线为轴和轴，以平面内过点且与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角的余弦值，再结合同角三角函数根本关系式求出二面角的正弦值。

20.【解析】【分析】〔1〕设切点，再利用点P在抛物线上结合代入法得出，因为点在第一象限，所以，再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程为，令，那么，从而求出点M的坐标，再利用中点坐标公式求出线段的中点坐标，再结合代入法证出线段的中点在定直线上。
〔2〕假设，再利用直线与相切于点，与轴交于点，从而求出点M的坐标，再利用两点求斜率公式求出直线MP和直线PF的斜率，因为，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线PN的斜率，再利用点斜式求出直线PF和直线PN的方程，再利用直线PF与抛物线相交，联立二者方程求出交点Q的坐标，再利用直线PN与抛物线相交，联立二者方程求出交点N的坐标，因为，，，再利用两点求斜率公式结合三点共线的判断方法，从而推出，从而判断出点，，三点共线。

21.【解析】【分析】〔1〕设每组检测的次数为，再利用条件求出随机变量的可能取值，再利用两点分布求概率公式结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
〔2〕当每组的人数为10人时，设每组检测的次数为，再利用条件求出随机变量的可能取值，再利用两点分布求概率公式结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望，当每组的人数为30人时，设每组检测的次数为Y，再利用条件求出随机变量Y的可能取值，再利用两点分布求概率公式结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出随机变量Y的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量Y的数学期望,所以。再利用两种解法解出这两种分组方法的优越性与的值是否有关。
解法一：设，那么，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出当时，有最小值为，当或t=1时，有最大值为，再利用零点存在性定理，所以存在，，满足，，且，，使得，当时，，此时，每组30人更优越；当时，此时，每组10人更优越，所以，分组方法的优越性与的值有关。
解法二：当时，
，即；当时，，即，所以，分组方法的优越性与的值有关。

22.【解析】【分析】(1)利用条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性。
〔2〕用两种方法求解。解法一，不等式，令，得出。
①当时，；
②当时，当时，，
当时，得出。
设，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，所以，解得；
③当时，，所以；
④当时，在和上单调递增，在上单调递减，当时，， .
当时，，解得，所以，综上所述，从而求出实数的取值范围。
解法二，不等式恒成立，
①当时，恒成立，所以；
②当时，恒成立，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出；
③当时，，令，，再利用导数的运算法那么求出函数的导函数，那么，因为，所以，令，，再利用求导的方法求出函数h(x)的单调性，从而求出函数h(x)的最大值，所以当时，，，当时，，，进而利用求导的方法判断出函数F(x)的单调性，从而求出函数F(x)的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出，综上所述，，进而求出实数m的取值范围。