2021届湖南省永州市高三下学期数学三模试卷及答案

这是一份2021届湖南省永州市高三下学期数学三模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期数学三模试卷
一、单项选择题
1.集合M，N是实数集R的子集，假设 ，且 ，那么符合条件的集合M的个数为〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
2. 为虚数单位，复数 ， ，假设 ，那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C. 2                                         D. -2
3.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，答复者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军〞；对乙说：“你当然不会是最差的〞，那么该5人可能的排名情况种数为〔    〕
A. 18                                         B. 36                                         C. 54                                         D. 64
4.有一个装有水且底面直径为12cm的圆柱形容器，水面与容器口的距离为 cm．现往容器中放入一个半径为r〔单位：cm〕的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，假设使该容器内的水不溢出，那么小球半径r的最大值为〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
5.F是抛物线 的焦点，假设A，B是该抛物线上的两点，且 ，那么线段AB的中点到直线 的距离为〔    〕
A. 2                                           B.                                            C. 3                                           D. 
6.假设某物体作直线运动，路程 〔单位：m〕与时间t〔单位：s〕的关系由函数 表示．当 s时，该物体的瞬时速度 为 m/s，那么当 s时，该物体行驶的路程为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
7.点P是边长为 的正方形ABCD的对角线BD上的一点，那么 的最小值为〔    〕
A.                                        B.                                        C. -1                                       D. -2
8.设随机变量 的分布列如下：

1
2
3
···
2021
2021
P



···


那么以下说法错误的选项是〔    〕
A. 当 为等差数列时，
B. 数列 的通项公式可能为
C. 当数列 满足 〔 〕时，
D. 当数列 满足 〔 〕时，
二、多项选择题
9. ，那么以下各式一定成立的是〔    〕
A.                B.                C.                D. 〔 〕
10.假设函数 对任意的 ，都有 ，那么〔    〕
A. 的一个零点为
B. 在区间 上单调递减
C. 是偶函数
D. 的一条对称轴为
11.某校对“学生性别和喜欢锻炼是否有关〞作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢锻炼的人数占男生总人数的 ，女生喜欢锻炼的人数占女生总人数的 ．假设至少有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关〞，那么被调查学生中男生的人数可能为〔    〕
附：






A. 35                                         B. 40                                         C. 45                                         D. 50
12.定义在R上的奇函数 在 上单调递增，那么“对于任意的 ，不等式 恒成立〞的充分不必要条件可以是〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
三、填空题
13.写出一个渐近线方程为 的双曲线标准方程________．
14.的展开式中的常数项为－80，那么 ________．
15.以下列图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为30米，两堤岸的连接点A，B间的距离为 米，那么该月牙潭的面积为________平方米．

16.矩形ABCD中， 分别为 ， 的中点．将 沿直线 翻折至 的位置，假设 为 的中点，那么 ________； 为 的中点，在翻折过程中，当 为正三角形时，三棱锥 的外接球的外表积是________.
四、解答题
17.如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ．

〔1〕假设 ，求 的面积；
〔2〕假设 ， ，求角 的大小．
18.数列{ }的前n项和为 ，且 =2， ，其中 是不为0的常数．
〔1〕求 ， ；
〔2〕求出 的一个值，以使得{ }为等比数列，并证明之．
19.某工厂为A公司生产某种零件．现准备交付一批〔1000个〕刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺寸〔单位：mm〕，统计结果如下表：
零件的尺寸
〔2，2.03]
〔2.03，2.06]
〔2.06，2.09]

零件的个数
4
36
56
4
〔1〕将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06mm的零件数为随机变量X，求X的数学期望；
〔2〕假设该厂生产的该零件的尺寸 ．根据A公司长期的使用经验，该厂提供的每批该零件中， 的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品.请估计 的值〔结果保存三位小数〕．
附：假设 ，令 ，那么 ，且 ．
20.如图，在四棱锥P－ABCD中，CD//AB， ， ， ．

〔1〕证明：BD 平面PAD；
〔2〕设平面PAD 平面PBC l， 平面ABCD G， ．在线段 上是否存在点M，使得二面角 的余弦值为 ？假设存在，求出 的值；假设不存在，请说明理由．
21.在圆 上任取一点T，过点T作x轴的垂线段TD，D为垂足，点P为线段TD的中点．
〔1〕求动点P的轨迹C的方程；
〔2〕斜率为 且不过原点O的直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为 ，射线OE交曲线C于点M，交直线 于点N，且 ，求点 到直线l的距离d的最大值．
22.曲线的曲率定义如下：假设 是 的导函数，令 ，那么曲线 在点 处的曲率 ．函数 ， ，且 在点 处的曲率 ．
〔1〕求 的值，并证明：当 时， ；
〔2〕假设 ，且 ，求证： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ，
那么符合条件的集合M的个数为 个
故答案为：D

【分析】 由 ,得即可解决.
2.【解析】【解答】解： ，
因为 ，所以 ，解得： .
故答案为：B.

【分析】 先利用复数的乘法运算求出z，然后由实数的定义求解即可.
3.【解析】【解答】先看乙，在中间有一个名次中的一个，有 种可能，然后是甲除第一名外剩下的3个名次中的一个，有 ，最后三人名次任意，有 种可能，共的 种情况．
故答案为：C．

【分析】 甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．
4.【解析】【解答】解：小球放入水中后直接沉入容器底部，假设使该容器内的水不溢出，
那么球的最大体积与圆柱上部的体积相等，小球半径 ，
可得 ，
解得 ．
故答案为：C．

【分析】 求出圆柱上部的体积，利用球的体积公式转化求解即可.
5.【解析】【解答】解： 是抛物线 的焦点， ，准线方程 ，
设 ， ， ，
，即 ，
线段 的中点横坐标为 ，
线段 的中点到直线 的距离为 ．
故答案为：B．

【分析】 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义，列出方程求出 A，B 的中点横坐标，再求出线段的中点到直线 的距离.
6.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，因为当 s时，该物体的瞬时速度 为 m/s，所以 ，解得 ，所以 ，所以
故答案为：D

【分析】 对求导数得瞬时速度 ， 根据可求k值，然后可解决此题.
7.【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如下，

那么 ， ， ， ，
设 ， ， ， ， ，
那么 ， ，
， ， ，
当 时， 取得最小值为 ，
故答案为：A．

【分析】 建立平面直角坐标系，写出A、B、C、D的坐标，设通过平面向量的坐标运算得， ， ，从而得解.
8.【解析】【解答】对于A， 为等差数列， ，那么 ，A正确，符合题意；
对于B，假设数列 的通项公式为 ， ，B正确，符合题意；
对于C， ， ，那么 ，C错误，符合题意；
对于D，令 ，那么 ，即 ， ，即 ， ，解得 ，D正确，不符合题意；
故答案为：C

【分析】根据等差数列、等比数列前项和公式以及分布列的性质，逐项进行判断可得答案。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ， ， ，
所以 ， A 错误；
， 正确；
取 ， ， ， C 错误；
，
所以 ， D 正确．
故答案为：BD．

【分析】 由结合对数的运算性质及根本不等式，不等式的性质分别检验各选项即可判断.
10.【解析】【解答】解：函数 对任意的 ，都有 ，
那么当 时，函数取得最大值，故有 ，即 ， ，
取 ，那么 ．
令 ，求得 ，可得 的一个零点为 ，故A正确；
当 ， ， ， ， 单调递增，故B错误；
，是偶函数，故C正确；
令 ，求得 ，为最小值，故 的一条对称轴为 ，故D正确，
故答案为：ACD．

【分析】 由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论.
11.【解析】【解答】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为： ， ，由题意可列出 列联表：
 
男生
女生
合计
喜欢锻炼



不喜欢锻炼



合计



．
由于有 的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关〞，
所以 ；
解得： ，
那么 的可能取值为：9、10、11、12、13；
那么选项中被调查学生中男生的人数可能45或50．
故答案为：CD．

【分析】 利用独立性检验表达列联表并及观测值可解的答案.
12.【解析】【解答】奇函数 在 上单调递增，那么在 上也单调递增，即 是R上的单增函数；
，
那么 ， ，即 在 上恒成立；
令 ，
那么
，
记 ， 恒成立，即 单减，
又 ， ，
那么必有 ，使 ，
故 ， ， ， ，
因此 ， ， 单增， ， ， 单减，
因此 ，
由 代入得
，
故假设使 在 上恒成立，那么 ，
根据充分不必要条件的定义可以判断C、D符合题意，A、B不符合题意；
故答案为：CD.

【分析】 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为在 上恒成立，再利用导数求最值即可.
三、填空题
13.【解析】【解答】不妨设双曲线方程焦点在 轴上，渐近线方程为 ，那么
故答案为：

【分析】 利用双曲线的渐近线方程，不妨设a,b的值，即可写出一个双曲线的标准方程.
14.【解析】【解答】解：二项式 的展开式中的通项公式为 ，
二项式 的展开式中的常数项为 ，
当 时，得 ，
此时常数项为 ，
即 ， ，
解得 ，
故答案为：2．

【分析】 求出展开式的通项公式，利用常数项为-80，建立方程关系即可得到结论.
15.【解析】【解答】如图是内堤岸圆弧所在圆，由题意 ， ，所以 ，

弦 上方弓形面积为 ，
所以所求面积为 ．
故答案为：450．

【分析】结合图形分别计算半圆的面积和弓形的面积即可，即可求出月牙潭的面积。
16.【解析】【解答】解：取 中点P，连接PG，PE，

那么PG是 的中位线，所以 ，
又因为E为BC中点， ， ，所以 ， ，
那么四边形PECG为平行四边形，所以 ；
因为，F为AD的中点，H为AE的中点，所以HF为 中位线，所以 ，
由 为直角三角形，所以AD中点F为 的外接圆的圆心，且 ，
设三棱锥 的外接球的球心为O，
由 为正三角形，所以 ，
所以球心O在平面AED下方，且 ，
所以 ，设三棱锥 的外接球的半径为R，
那么 ．
连接 ，在 中，由 得 ，
在 中有余弦定理得 ，
即
由 解得
所以三棱锥 的外接球的外表积是 ．
故答案为： ； ．

【分析】 由题意画出图形，取 中点P，连接PG，PE，证明四边形PECG为平行四边形，所以 ， 由可得，为直角三角形，所以AD中点F为 的外接圆的圆心，且 ， 为正三角形，所以 ， 那么三棱锥 的外接球的球心为O，，求解三角形可得三棱锥外接球的半径，代入球的外表积公式求解.
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 由利用余弦定理可得  ， 进而根据三角形的面积公式可求  的面积 ；
〔2〕由题意利用诱导公式可求 ， 利用同角三角函数根本关系式可求 ， 利用两角和的正弦公式可求 ， 在 △BDC 中，由正弦定理BD，利用同角三角函数根本关系式可求 结合A为锐角，可得A的值.
18.【解析】【分析】 〔1〕直接利用赋值法的应用求出数列中  ，   的值；
〔2〕利用等比数列的性质求出的值，利用等比数列的定义证明数列为等比数列.
19.【解析】【分析】 〔1〕由可得 ，由此即可求解；
〔2〕设合格零件的最大尺寸为m，所以 ，令 ， 求出Y，然后根据以及概率的性质即可求解.
 
 
20.【解析】【分析】〔1〕 在底面 中，求出BD，AD由勾股定理可证明 ，又   ，由线面垂直的判定定理证明即可；
〔2〕建立适宜的空间直角坐标系，由 求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出关系式，求解即可.
21.【解析】【分析】 〔1〕 设点  的坐标为  ，点  的坐标为  ，代入圆的方程，化简整理即可得到所求方程；
〔2〕 设直线  ，  ， ，联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，韦达定理，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理解方程   取得最大值 ．
22.【解析】【分析】 〔1〕  ，  ，  ，  ， 根据 在点  ，  处的曲率  ，  ，解得 ， 当  时，  ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明 ；
〔2〕由〔1〕可得：  ， 可得  ，  ，令可得：  ， 可得 只要证明：  只要证明： 即可， 时，验证成立； 时，令 ，利用导数研究函数的单调性即可证明结论.