2021届福建省龙岩市高三数学三模试卷及答案

这是一份2021届福建省龙岩市高三数学三模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三数学三模试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么图中阴影局部表示的集合为〔    〕

A. {-1}                                  B.                                   C.                                   D. 
2.设 ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
3.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.如下列图的统计图，记这组数据的众数为 ，中位数为 ，平均数为 ，那么〔    〕

A.                      B.                      C.                      D. 
4.的展开式中， 的系数为〔    〕
A. -60                                        B. -20                                        C. 30                                        D. 60
5.如图，一个三棱柱的容器盛有水，水的体积是三棱柱体积的 ，现将其侧面 放置于水平地面，水面恰好经过底边 上的点 ，那么 的值为〔    〕

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
6.抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点 作 ，垂足为 ，假设 ，那么 〔    〕
A. 30°                                       B. 45°                                       C. 60°                                       D. 75°
7.在 中，角 的对边为 ，那么" 成立的必要不充分条件为〔    〕
A.      B.      C.      D. 
8.假设直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，那么 〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
二、多项选择题
9.以下命题中正确的选项是〔    〕
A. 
B. 复数 的虚部是-2
C. 假设复数 ，那么复数 在复平面内对应的点位于第一象限
D. 满足 的复数 在复平面上对应点的轨迹是双曲线
10.两个函数 和 ，以下说法正确的选项是〔    〕
A. 两个函数的定义域相同                                       B. 两个函数都是奇函数
C. 两个函数的周期相同                                           D. 两个函数的值域相同
11.数列 的前 项和是 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 假设数列 为等差数列，那么数列 为等差数列
B. 假设数列 为等差数列，那么数列 为等差数列
C. 假设数列 和 均为等差数列，那么
D. 假设数列 和 均为等差数列，那么数列 是常数数列
12.在意大利，有一座满是“斗笠〞的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello)，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫TrulloTrullo的屋顶，得到圆锥 其中 为顶点， 为底面圆心)，母线 长为6米， 是母线 的靠近点 的三等分点.从点 到点 绕屋顶侧面一周安装灯光带，假设灯光带的最小长度为 米.下面说法正确的选项是〔    〕

A. 圆锥 的侧面积为 平方米
B. 过点 的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米
C. 圆锥 的外接球外表积为 平方米
D. 棱长为 米的正四面体在圆锥 内可以任意转动
三、填空题
13. 是两个单位向量，且满足 ，那么向量 与 的夹角为________.
14.在平面直角坐标系 中，双曲线 的右焦点为 ，点 在 上且在第一象限内， ，那么 的离心率为________.
15.假设函数 有零点，那么 的取值范围是________.
16.有六个从左到右并排放置的盒子，现将假设干个只有颜色不同的黑球､白球随机放入这六个盒子(每个盒子只能放入一个球)，那么事件“从左往右数，不管数到哪个盒子，总有黑球个数不少于白球个数〞发生的概率为________.
四、解答题
17.数列 的前 项和为 ，满足 ，且 是 与 的等差中项.
〔1〕求数列 的通项公式 ；
〔2〕假设 ，求数列 的前 项和 .
18.的内角 的对边分别为 且 边上的中线
〔1〕求 的值；
〔2〕在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：假设  ▲  ， 那么 是否存在？假设存在，请求出 的面积；假设不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.如图，在三棱柱 中， 为棱 的中点， ，

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值.
20.甲､乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负.本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①假设有人先赢4场，那么先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②假设无人先赢4场且比赛意外终止，那么甲､乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.每场比赛甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 ，且每场比赛相互独立.
〔1〕设每场比赛甲赢的概率为 ，假设比赛进行了5场，主办方决定颁发奖金，求甲获得奖金的分布列；
〔2〕规定：假设随机事件发生的概率小于0.05，那么称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否那么认为该事件有可能发生.假设本次比赛 ，且在已进行的3场比赛中甲赢2场､乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由.
21. ，曲线 由曲线 和曲线 组成，其中曲线 的右焦点为 ，曲线 的左焦点 .
〔1〕求 的值；
〔2〕假设直线 过点 交曲线 于点 ，求 面积的最大值.
22.函数
〔1〕证明： 在区间 存在唯一极小值点；
〔2〕证明： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由图可得，图中阴影局部表示的集合为 ,
或 ，
.
故答案为：C.

【分析】图中阴影局部表示的集合为 ， 即可求解结论。
2.【解析】【解答】 ， ，
， ，
，
.
故答案为：B.

【分析】根据对数函数的单调性，进行判断即可得出答案。
3.【解析】【解答】由统计图可得，众数为 ；
共有 个数据，处在中间位置的两个数据为 ，所以中位数为 ；
平均数 ，
所以 .
故答案为：B.

【分析】根据众数、中位数、平均数的概念，由统计图可直接得出结论。
4.【解析】【解答】 ，要找到展开式中含有 的项，
需从 中找到含有 的项，即 ，
故 的系数为-60.
故答案为：A.

【分析】把y-2看作整体，那么， 从中找到含有的项即可。
5.【解析】【解答】因为水的体积是三棱柱体积的 ，又阴影局部为四棱柱，
所以四棱柱的底面积是三棱柱的底面积的 ，所以无水局部三棱柱的底面积是大三棱柱底面积的 ，
根据两个三角形相似可得 ，所以 ，所以 .
故答案为：D

【分析】因为水的体积是三棱柱体积的 ，又阴影局部为四棱柱，所以四棱柱的底面积是三棱柱的底面积的 ，所以无水局部三棱柱的底面积是大三棱柱底面积的 ,根据两个三角形相似，即可求得   的值 。
6.【解析】【解答】设 ，那么 ，
由抛物线的定义可得 ，即 ，那么 ，
又 ，那么 ，不妨令 位于第一象限，那么 ，即 ，因此 ，
所以 ，所以 ，因此 为等边三角形，所以 .
故答案为：C.

【分析】由抛物线的定义可得 ，即 ， 根据抛物线的性质可得、，可求出，因此 为等边三角形，即可得答案。
7.【解析】【解答】 时，ABC均成立，D不一定成立，
A. ，因为 是三角形内角，所以 ，A不符合题意；
B. ，那么 ， ， 或 ，即 或 ，B符合题意；
C. ，那么 ，所以 ， ，C不符合题意；
D. 时，由正弦定理得 ，即 ， ，D不符合题意．
故答案为：B．

【分析】根据正弦定理及诱导公式逐项进行验，证即可得到答案。
8.【解析】【解答】设曲线 上的点 ， ， ；
曲线 上的点 ， ， ；
，
， ，
．
故答案为：D．

【分析】设曲线 上的点 ， 曲线 上的点 ， 利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】解：对于A： ，A符合题意；
对于B： 故其虚部为 ，B符合题意；
对于C： ，
所以 在复平面内所对应的点的坐标为 位于第四象限，C不符合题意；
对于D：根据复数的几何意义可知，
表示在复平面内点 到 与 的距离之差为常数 ，
所以复数 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支，D不符合题意；
故答案为：AB.

【分析】根据复数代数形式的运算及复数的几何意义，逐一进行判断，即可得出答案。
10.【解析】【解答】解：对A： 的定义域为 ，而 的定义域为 ，所以A不正确；
对B：因 ，所以 为奇函数；
而 ，那么 为奇函数，所以B符合题意；
对C：因 ，所以 周期为 ；
又 ，那么 周期也为 ，所以C符合题意；
对D：因 ，而 ，所以两个函数值域不相同，所以D不正确.
故答案为：BC.

【分析】对各选项逐一利用函数的性质进行判断即可。
11.【解析】【解答】对于A中，假设数列 为等差数列，可得 ，
因为首项 不确定，所以数列 为不一定是等差数列，所以A不正确；
对于B中，假设数列 为等差数列，设公差为 ，
那么 ，可得 ，
当 时， ；
当 时， ，
那么 ，
由 ，那么 ，
所以 ，所以数列 为等差数列，所以B符合题意；
对于C中，由数列 为等差数列，可得 ，
那么 ，可得 ，
那么
常数，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，且 ，所以 ，所以C符合题意；
对于D中，由数列 为等差数列，可得 ，
那么 ，
可得 ，
因为 为等差数列，所以 为常数，所以 ，
所以 ，所以数列 是常数数列，所以D符合题意.
故答案为：BCD.

【分析】根据等差数列的通项公式和前   项和公式进行分析，并作出判断，即可得出答案。
12.【解析】【解答】设圆锥底面半径为
如图，

中， ，
∴ ，∴ ，
所以 米，
所以圆锥的侧面积为 平方米，A符合题意；
在 中， ， ，
所以过点 平面截此圆锥所得截面面积最大为 平方米，B不符合题意；
设圆锥 的外接球半径为 ，那么 ，又 ，
所以 ，∴ ，
圆锥 的外接球外表积为 ，C不正确；
设圆锥 的内切球半径为 ，那么 ，∴ ，
在棱长为 米的正四面体中，设其外接球半径为 ，
那么此正四面体的底面外接圆半径为 ，高为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以棱长为 米的正四面体在圆锥 内可以任意转动，D符合题意.
故答案为：AD

【分析】 利用圆锥的侧面展开图、余弦定理、扇形的弧长公式可求出圆锥的底面半径，进而可求出圆锥的侧面积，可知A正确;过点S平面截此圆锥所得截面面积最大为,计算可知，B错误;计算出圆锥SO的外接球半径后，再求出其外表积，可知C不正确;求出圆锥的内切球的半径和棱长为的正四面体的外接球的半径，比较可知，D正确.
三、填空题
13.【解析】【解答】由 ，得 ，
是两个单位向量，所以 ，
所以向量 与 的夹角的余弦为： ，
所以向量 与 的夹角为 .
故答案为： .

【分析】由 ，得 ，可得，即可求出向量 与 的夹角的余弦，进而得出答案。
14.【解析】【解答】记双曲线 的右焦点为 ，
因为 在 上且在第一象限内， ，所以 ，代入双曲线方程可得， ，
即 ，那么 ，
又 ，所以 ，即 ，那么 ，
所以 ，那么 ，解得 或 〔舍〕.
故答案为： .

【分析】记双曲线 的右焦点为 ，因为 在 上且在第一象限内， ，所以 ，代入双曲线方程可得， ，即 ，那么 ，再由 ， 可得，进而得出，求解可得   的离心率 。
15.【解析】【解答】令 ，所以 ，令 ， ，那么函数 有零点，即为 ， 有交点．
当 时， ，当且仅当 时，即 时取等号，
所以当 时， ，
当 时， ，当且仅当 时，即 时取等号，
所以当 时， ，
所以要使 与 有交点，那么需 或 ，
故答案为： ．

【分析】令 ，所以 ，令 ， ，那么函数 有零点，即为 ， 有交点，根据和结合根本不等式，即可求出  的取值范围 。
16.【解析】【解答】每个盒子都有两种可能，所以根本领件有 种.符合条件的根本领件有：
①六黑有一种：黑黑黑黑黑黑；
②五黑一白有：黑黑黑黑黑白，黑黑黑黑白黑，黑黑黑白黑黑，黑黑白黑黑黑，黑白黑黑黑黑；共5种；
③四黑二白有：黑白黑白黑黑，黑白黑黑白黑，黑白黑黑黑白，黑黑白黑黑白，
黑黑白黑白黑，黑黑白白黑黑，黑黑黑白白黑，黑黑黑白黑白，黑黑黑黑白白；共9种；
④三黑三白有：黑黑黑白白白，黑黑白黑白白，黑白黑黑白白，黑白黑白黑白，
黑黑白白黑白；共5种；
所以，事件“从左往右数，不管数到哪个盒子，
总有黑球个数不少于白球个数〞发生的概率为 .
故答案为： .

【分析】根据列举法求出概率即可得出答案。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕运用等差数列的中项性质和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求。
〔2〕求得 ，由裂项求和法即可求出数列  的前  项和   。
18.【解析】【分析】〔1〕利用向量数量积的运算即可求出  的值 ；
〔2〕由余弦定理可得 ， 选①当  时 ， 由余弦定理得 ，  解得  与  矛盾，此时  不存在； 选②当 由余弦定理得 ， 根据三角形的面积公式即可求出  的面积； 选③当 由余弦定理得 ， 根据三角形的面积公式即可求出  的面积。
19.【解析】【分析】〔1〕由   ，  ， 根据线面垂直的判定定理可得 平面  ，再根据线面垂直的性质定理可得  ，再由线面垂直的判定定理可得  平面   ；
〔2〕 以  为原点，   ，    ，   为  轴建立空间直角坐标系，过  作与直线  平行的直线   ， 过  作与直线  平行的直线   ， 两直线交于点  ，利用向量法即可求出二面角  的余弦值 。
20.【解析】【分析】 (1)由甲乙输赢情况确定得奖金的情况，然后计算概率得分布列；
(2)比赛继续进行Y场乙赢得全部奖金，那么最后一场必然乙赢， 分类求得Y=3或Y =4的概率，得出乙赢得全部奖金的概率，利用导数求得最大值，可得结论.
21.【解析】【分析】〔1〕 由题意得  ，求解即可得出  的值 ；
〔2〕 由〔1〕知，曲线 ， 设   ，直线  的方程为：  ，把直线与曲线方程联立得   ，利用韦达定理可得  ，  ， 求出 ， 令  ，  ， ， 利用根本不等式即可求出  面积的最大值 。
22.【解析】【分析】〔1〕对函数求导可得  ， 根据导数的符号即可得到单调性， 令  ，  ， 由   ，所以  ，即  ， 因为  ，所以  在区间  存在唯一极小值点 ；
〔2〕 因为    ，  ①， 令  ，那么  ，所以  在  递减，
令  ， ， 
令  ，所以 ， 根据导数的符号即可得到单调性，进而得证  。