河北省承德市兴隆县2020-2021学年九年级下学期期中数学试题（word版 含答案）

这是一份河北省承德市兴隆县2020-2021学年九年级下学期期中数学试题（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省承德市兴隆县2020-2021学年九年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．已知直线，在同一平面内，给定一点，过点作直线的平行线，可作平行线的条数有（　　）
A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条
2．计算：（ ）
A．1 B．3 C． D．9
3．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4．长江是我国最长的河流，全长约为6400千米，将6400千米用科学记数法表示为，其中表示单位，则单位应该（　　）
A．千米 B．米 C．分米 D．厘米
5．实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）

A．2 B．-1 C．-2 D．-3
6．下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，该几何体是由6个相同的小正方体搭成的，在小正方体上方再添加一个相同的小正方体得到一个新的几何体，则添加前后三视相同的是（　　）

A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
8．已知，则用含的代数式表示为（　　）
A． B． C． D．
9．化简的结果是，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）

A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2
11．不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．如图,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,那么图中与△ABD面积相等的三角形有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
14．某渔船正在海上处捕鱼，计划先向北偏东的方向5千米到处，然后右转在航行5千米到处，若渔船直接从处航行到处，航行的路线应该是（　　）

A．北偏东方向 B．北偏东方向
C．北偏东方向 D．北偏东方向
15．已知一组数据的方差s2[（6﹣7）2+（10﹣7）2+（a﹣7）2+（b﹣7）2+（8﹣7）2]（a，b为常数），则a+b的值为（　　　）
A．5 B．7 C．10 D．11
16．如图，在中，
（1）作和的垂直平分线交于点；
（2）以点为圆心，长为半径作圆；
（3）分别与和的垂直平分线交于点，；
（4）连接，，，其中与交于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，
①；②；③点是的外心；④点是的内心．
所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④

二、填空题
17．计算：__________．
18．如图，正五边形绕点顺时针旋转，当时，则__________．

19．如图，点是等边边上一点，的两边分别交、于、两点．已知，．

（1）若四边形是菱形，则其面积为__________；
（2）若，则__________．

三、解答题
20．小明在解一道有理数混合运算时，一个有理数被污染了．
计算：．
（1）若，计算：；
（2）若，求的值；
（3）若要使的结果为最小正整数，求值．
21．解方程组
老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．

（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．
①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求的值；
②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求的取值范围．
22．在一个20人的小组里，12名女生中有3名共青团员，8名男生中有2名共青团员．则
（1）随机选取一名学生，是女生的概率　 　；
（2）随机选取一名学生，是共青团员的概率　 　；
（3）在五名共青团员中随机选取两名同学，通过画树形图或者列表等方式求这两名同学恰好都是男生的概率；
23．如图，点在直线上，过点作，．为直线上一点，连结，在直线右侧取点，，且，过点作交于点．

（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）连结，若点为的外心，则______．
24．某商店通过调低价格的方式促销个不同的玩具，调整后的单价（元）与调整前的单价（元）满足一次函数关系，如表：

第1个
第2个
第3个
第4个
…
第个
调整前的单价（元）




…

调整后的单价（元）




…

已知这个玩具调整后的单价都大于2元．
（1）求与的函数关系式，并确定的取值范围；
（2）某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？
（3）这个玩具调前、后的平均单价分别为，，猜想与的关系式，并写出推导过程．
25．如图，反比例函数过点、两点，抛物线（为常数）的顶点为．

（1）求的值；
（2）当抛物线经过点时，求抛物线的顶点坐标；
（3）若抛物线的对称轴与反比例函数段有交点，确定的取值范围．
26．如图1，在矩形中，，，以为直径的半圆在矩形的外部，半圆绕点顺时针旋转度（）．

（1）如图2在旋转过程中，当半圆的直径落在对角线上时，的值最小，最小值为　　，设此时半圆与的交点为，求的长．
（2）如图3，当半圆与直线相切，切点为，与线段的交点为，求劣弧的长；并写出此时的度数．


参考答案
1．C
【分析】
分情况讨论，分为点在直线上和直线外．
【详解】
解：①当点在直线上时，这样的直线为0条；②当点在直线外时，这样的直线有一条．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，解题关键是熟记过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
2．B
【分析】
先将化为 ，再利用积的乘方的逆运算即可求解．
【详解】
解：．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握 （ 为正整数）是解题的关键．
3．B
【分析】
根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】
解：

∵由题意a⊥AB，b⊥AB，
∴∠1=∠2
∴a∥b
所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．B
【分析】
先将还原成通常表示的数，再利用单位转换，即可解答．
【详解】
解：∵，
∴6400千米=6400000米米．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了科学记数法a×10n（其中 ，n为正整数）表示的数——成通常表示的数，熟练掌握“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数，若科学记数法表示较小的数a×10-n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
5．B
【分析】
先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得．
【详解】
由数轴的定义得：


又
到原点的距离一定小于2
观察四个选项，只有选项B符合
故选：B．
【点睛】
本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．
6．D
【分析】
可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【详解】
解：A、，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
B、，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
C、，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
D、，符合平方差公式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方差公式，比较简单，解题的关键是要熟悉平方差公式的结构,公式（a+b）（a-b）=a2-b2．
7．C
【分析】
根据在小正方体上方再添加一个相同的小正方体得到一个新的几何体，可得改变了主视图和左视图，即可求解．
【详解】
解：∵在小正方体上方再添加一个相同的小正方体得到一个新的几何体，
∴新的几何体只增加高度，改变了主视图和左视图，而俯视图不变，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了立体图形的三视图，解题的关键是熟练掌握在正面内得到的由前向后观察物体的视图叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图是解题的关键．
8．A
【分析】
消去t，确定出x与y的关系式即可．
【详解】
解：，
①×2+②得：2x+y=9，即y=-2x+9，
故选：A．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．B
【分析】
先列出方程，再解分式方程即可得出答案．
【详解】
解：根据题意可得=，
去分母得：2（x-a）=2（x+1），
整理得：-2a=2
解得：a=-1
故选：B
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，考核学生的计算能力，属于基础题．
10．A
【分析】
利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE∶EC＝2∶3可得出＝，由AB∥CD可得出，再利用相似三角形的性质即可求出DF∶BF的值．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE∶EC＝2∶3，
∴＝＝＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解题的关键．
11．C
【分析】
先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．
【详解】
解：画树状图如下：

所以共4种情况：其中满足题意的有两种，
所以两次记录的数字之和为3的概率是
故选C．
【点睛】
本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键．
12．C
【分析】
根据等高模型，同底等高的三角形的面积相等即可判断；
【详解】
解：∵AE∥BD，
∴S△ABD=S△BDE，
∵DE∥BC，
∴S△BDE=S△EDC，
∵AB∥CD，
∴S△ABD=S△ABC，
∴与△ABD面积相等的三角形有3个，
故选C．
【点睛】
本题考查平行线的性质、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．B
【分析】
设水面高度为 注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案．
【详解】
解：设水面高度为 注水时间为分钟，
则由题意得：
所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，
故选B．
【点睛】
本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．
14．C
【分析】
连接BP，根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接BP，
由题意得，AB＝AP，
∴∠APB＝∠B＝×60°＝30°，
∵∠CPA＝40°，
∴∠CPB＝40°＋30°＝70°，
∴航行的路线应该是北偏东70°，
故选：C．

【点睛】
本题考查了方向角，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．D
【分析】
根据方差的定义得到这组数据为：6，10，a，b，8；这组数据的平均数为7，然后计算a+b的值即可.
【详解】
解：∵一组数据的方差s2[（6﹣7）2+（10﹣7）2+（a﹣7）2+（b﹣7）2+（8﹣7）2]（a，b为常数）
∴由方差的定义可知：这组数据为：6，10，a，b，8；这组数据的平均数为7，
∴
∴
故选D.
【点睛】
本题主要考查了方差的定义和平均数的定义，解题的关键在于能够熟知方差的定义.
16．D
【分析】
根据作图信息以及线段的垂直平分线的性质，垂径定理等知识逐一判断即可．
【详解】
解：∵和的垂直平分线交于点，
∴AO=BO=CO，
∴点是的外心，故③正确；
∴ON平分 ，
∴，故①正确；
∵和的垂直平分线交于点，
∴OM平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵AM+BM>AB，即2AM>AB，故②错误；
∵，
∴ ，
∴ ，
∴AN平分∠BAC，
∵ ，
∴∠ACM=∠BCM，
∴CM平分∠ACB，
∵与交于点，
∴点是的内心，故④正确；
故正确的有①③④．
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．
【分析】
根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】

故答案为：3．
【点睛】
本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
18．
【分析】
如下图，由五边形内角和公式及正多边形的性质得到正五边形每个内角的度数，求解∠2，利用旋转的性质与五边形的内角和公式得到答案．
【详解】
解：如图所示：

∵正五边形每个内角的度数为，
又∵α=18°，
∴∠2=108°-18°=90°，
由旋转的性质得：对应角相等，
∴∠M=∠MNH=108°，
在正五边形中，∠E=108°，
∴∠1=540°-3×108°-90°=126°，
故答案为：126°．
【点睛】
本题考查了正多边形内角，熟记正多边形的性质，多边形的内角和公式，旋转的性质是解题的关键．
19． 或4
【分析】
（1）连接AD、EF，根据菱形的性质推出和都是等边三角形，进一步得到点E是AB的中点，点F是AC的中点，点D是BC的中点及，在中根据勾股定理得出的长度，最终计算出面积即可；
（2）根据等量代换得出，等边得出，从而得到，根据比例关系解得或，分两种情况分别讨论计算即可．
【详解】
（1）如图所示，连接AD、EF，

∵是等边三角形，
∴，，
又∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∴，，，
即点E是AB的中点，点F是AC的中点，点D是BC的中点，
∴,
∵，点D为BC的中点，
∴，
，
在中，有勾股定理可得：
，
∴；
（2）∵，
∴ ,
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：或，
当时，，而，
∴，，
由勾股定理可得：
，
当时，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，相似三角形的性质和判定等，综合运用以上性质定理是解题的关键．
20．（1）0；（2）；（3）．
【分析】
（1）先算乘除，再计算加法，即可求解；
（2）解出一元一次方程，即可求解；
（3）根据最小的正整数为1，可列出关于 的方程，即可求解．
【详解】
解：（1）原式；
（2）∵，
∴解得：；
（3），
∵最小的正整数为1，即，
解得： ．
【点睛】
本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握有理数的混合运算法则，解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
21．（1）；（2）①；②．
【分析】
（1）根据乙同学卡片上的代数式为一次二项式知，据此求解即可；
（2）①根据题意列出算式，然后去括号、合并同类项，继而根据结果为常数项知二次项系数为0，据此求解即可；
②根据题意列出不等式，求解此不等式即可．
【详解】
解：（1）∵乙同学卡片上的代数式为一次二项式，
则，
∴；
（2）①，
∵结果为常数，
∴，
解得；
②由①知丙卡片上的代数式为，要使其为非负数，则，
则，解得．
【点睛】
本题主要考查整式的加减以及解不等式，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项，解不等式注意按照运算步骤进行即可．
22．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）直接根据概率公式求解即可；
（3）列出表格，用符合条件的情况数除以所有等可能情况的总数即可．
【详解】
解：（1）=，
故答案为：；
（2）=，
故答案为：；
（3）列表如下：

女1
女2
女3
男1
男2
女1

女1，女2
女1，女3
女1，男1
女1，男2
女2
女2，女1

女2，女3
女2，男1
女2，男2
女3
女3，女1
女3，女2

女3，男1
女3，男2
男1
男1，女1
男1，女2
男1，女3

男1，男2
男2
男2，女1
男2，女2
男2，女3
男2，男1

随机抽取2名同学有20种结果，两名都是男生有2种结果，所以抽到两名男共青团员的概率为．
【点睛】
本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即．
23．（1）见解析；（2）5；（3）3
【分析】
（1）由题意易得，然后根据AAS即可得证；
（2）由（2）及题意可直接进行求解；
（3）由点为的外心，可得C为AB中点，进而可得为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质可求解．
【详解】
解：（1）证明：，

，，
，
，
，
在和中，

；
（2）
，，
；
的长为．
（3）若点为的外心，则点位于斜边中点，又已知，故点与点重合，如图所示：



为等腰直角三角形


为等腰直角三角形


．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形的外心，熟练掌握全等的判定方法及直角三角形外心的特点是解题的关键．
24．（1），；（2）省了19元；（3），推导过程见解析．
【分析】
（1）设，根据题意列方程组即可得到结论，再根据已知条件得到不等式于是得到的取值范围是；
（2）将代入即可得到结论；
（3）由（1）得，，，根据求平均数的公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）设，由题意得，，，，
，
解得，
与的函数关系式为，
这个玩具调整后的单价都大于2元，
，解得，
的取值范围是；
（2）将代入得，
，
答：顾客购买这个玩具省了19元；
（3），
推导过程：由（1）得，，，

．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，求函数的解析式，解题的关键是熟记一次函数的性质．
25．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据反比例函数过点、两点，即可求解；
（2）把代入求出坐标，抛物线经过点，即将代入抛物线的解析式求出，再化为顶点式即可；
（3）先表示出抛物线的对称轴，分别求出对称轴过点时的值，再确定范围．
【详解】
解：（1）反比例函数过点、两点，
，解得，
．
（2）把代入得代入（为常数），
得，解得，
即，
顶点坐标．
（3）（b为常数）的对称轴为直线，
当对称轴过点时，解得；当对称轴过点时，解得，
抛物线的对称轴与反比例函数段有交点，确定的取值范围．．
【点睛】
本题考查了反比例函数与二次函数的综合应用，解题的关键是通过数形结合的思想来解答．
26．（1）1，；（2），．
【分析】
（1）连接B′M，则∠B′MA=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长度，由∠B=∠B′MA=90°、∠BCA=∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′，根据相似三角形的性质可求出AM的长度；
（2）连接连接、，过点作与，则四边形为矩形，进而可得出DH、AH的长度，在中可得出，进而可得出为等边三角形，再利用弧长公式即可求出劣弧AP的长，进而算出的度数．
【详解】
解：（1）∵在矩形中，AB=4，BC=3，
∴AC=5，
在旋转过程中，当点B′落在对角线AC上时，B′C的值最小，最小值为1；
如下图，连接，

∵为直径，
∴，在矩形中，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴．
（2）如下图，连接、，过点作与，
∵半圆与直线相切于点，∴，
且，，
∴四边形为矩形．
∴，即，
在中，，∴且，
∴为等边三角形．
劣弧的长，
此时．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及切线的性质，解题的关键是：利用相似三角形的性质求出对应线段的长度；通过解直角三角形找出对应角的度数．