2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）12月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“∃x∈0,+∞，lg2x0的实轴长为6，离心率e=53，则其焦点坐标为( )
A.±4,0B.0,±4C.±5,0D.0,±5

3. 下列命题为真命题的是( )
A.“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件
B.“A∩B=B”是“B⊆A”的充要条件
C.两个无理数之和仍为无理数
D.所有的正偶数都不是素数

4. 已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F4,0，点P3,y0是C上的一点，则|PF|=( )
A.7B.8C.9D.10

5. 设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两条渐近线分别交于D，E两点．若C的焦距为4，则△ODE面积的最大值为( )
A.1B.2C.4D.8

6. 正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1 的中点，连接AD，BD，则点C1到平面ABD的距离为( )
A.72B.52C.32D.22

7. 在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，AB=2，BC=4，CD=3，BD=5，点E在棱AD上，且AE=2ED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为( )
A.64B.35C.31717D.32626

8. 已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的图象在0,1处的切线方程为y=2x+1，若fx≥mx+x恒成立，则m的取值范围为( )
A.−1,2e−1B.(−∞,2e−1]C.−1,e−1D.(−∞,e−1]
二、多选题

已知函数fx=xcsx的导函数为f′x，则( )
A.f′x为偶函数B.f′x为奇函数
C.f′0=1D.fπ2+f′π2=π2

已知空间向量a→=−2,−1,1，b→=3,4,5，则下列结论正确的是( )
A.2a→+b→//a→B.5|a→|=3|b→|
C.a→⊥5a→+6b→D.a→与b→夹角的余弦值为−36

已知P是双曲线C：x216−y29=1右支上一点，F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点，O为原点，若|OP→−OF2→|=8，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的离心率为54
B.双曲线C的渐近线方程为y=±43x
C.△PF1F2的面积为64
D.点P到双曲线C左焦点的距离是16

设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=43，|PF2|=143．过点M−2,1的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有( )
A.椭圆的方程为x29+y24=1
B.椭圆的焦距为5
C.椭圆上存在4个点Q，使得QF1→⋅QF2→=0
D.直线l的方程为8x−9y+25=0
三、填空题

抛物线x2=20y的准线方程为________.

已知函数fx=sinx−2ax是R上的增函数，则a的取值范围为________.

若x=−3是函数fx=x2+2ax−1ex−3的极值点，则fx的极小值为________.

如图，正四面体ABCD的棱长为1，△BCD的中心为O，过点O的平面α与棱AB，AC，AD，BD，CD所在的直线分别交于P，Q，R，S，T，则1|AP→|+1|AQ→|+1|AR→|=________.

四、解答题

在①椭圆C的长轴长为8；②椭圆C与双曲线x23−y2=1有相同的焦点；③F1,F2与椭圆C短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1垂直于x轴的弦长为6，且________.
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点A−2,2，点M是椭圆C上的任意一点，求|MA|+|MF2|的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知函数fx=x−4lnx+8.
(1)求fx的最值；

(2)若fx的极小值点为a，记集合A=1,a，B=x|b−1≤x≤b+1，若“x∈B”为“x∈A”的充分不必要条件，求b的取值范围．

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M为线段AC1的中点，N为棱A1D1 的中点，且AA1=A1B1.

(1)证明：MN⊥AC1；

(2)若B1C1=22,AA1=2，求B1M与平面AC1D1所成角的正弦值．

在如图所示的四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB⊥AD，AB=4，BC=12AD=3，PA=PB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB⊥平面ABCD．

(1)证明：EF//平面PCD．

(2)若PA=22，求二面角E−CF−A的余弦值．

已知函数fx=32ax+12x2−a2lnx，其中a>0.
(1)若函数fx的图象在点2,f2处的切线与直线x−3y+4=0垂直，求函数fx的单调区间；

(2)设函数fx的最小值为ga，求函数ga的最大值．

已知Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线C:y2=4x上两个不同的点，C的焦点为F．
(1)若直线AB过焦点F，且y12+y22=32，求|AB|的值；

(2)已知点P−2,2，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且kPA+kPB=−1，当直线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足PD→⋅AB→=0，求点D的轨迹方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“∃x∈0,+∞，lg2x0,b>0的焦点在y轴上，
所以焦点坐标为0,±5.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：两个三角形面积相等也可能同底等高，它们可以不全等，
全等三角形面积一定相等，故前者是后者的必要不充分条件，故A是假命题；
若B⊆A，则A∩B=B，反之也成立，
所以“A∩B=B”是“B⊆A”的充要条件，故B是真命题；
当x=1−2，y=1+2时，x+y=2是有理数，故C是假命题；
2是正偶数，也是素数，故D是假命题．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F4,0，
所以p2=4，|PF|=3+p2=7．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
三角形的面积公式
直线与双曲线结合的最值问题
基本不等式在最值问题中的应用
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不妨设D在第一象限，E在第四象限，
联立方程组x=a,y=bax,解得x=a,y=b,
故Da,b，同理可得Ea,−b，
所以|ED|=2b，S△ODE=12a×2b=ab．
因为C的焦距为4，
所以c=2，
c2=a2+b2≥2ab，
解得ab≤2，
当且仅当a=b=2时取等号，
所以S△ODE的最大值为2．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，建立空间直角坐标系O−xyz，
O为A1B1的中点，
由已知，A(−1,0,2)，B(1,0,2)，D(0,3,1)，C1(0,3,0)，
所以AB→=2,0,0，AD→=1,3,−1，
设平面ABD的法向量为n→=x,y,z，
n→⋅AB→=x=0，n→⋅AD→=3y−z=0，
令y=1，则z=3，即n→=0,1,3，C1D→=0,0,1，
则点C1到平面ABD的距离为|C1D→⋅n→||n→|=32．
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得BC2+CD2=42+32=52=BD2，
所以∠BCD=90∘.
建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz，
由题意得A0,0,2，B0,0,0，C0,4,0，D−3,4,0，
所以AD→=(−3, 4, −2)，BA→=(0, 0, 2)，CD→=−3,0,0．
由AE=2ED，得AE→=23AD→=−2,83,−43，
所以BE→=BA→+AE→=−2,83,23.
设异面直线CD与BE所成角为θ，
所以csθ=BE→⋅CD→|BE→||CD→|=63×4+689=32626.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=ax，所以f′x=axlna.
又函数fx的图象在0,1处的切线方程为y=2x+1，
所以f′0=a0lna=2，解得a=e2，
所以fx=e2x.
因为fx≥mx+x恒成立，
所以e2x≥mx+x恒成立．
当x=0时，e0≥0成立；
当x≠0时，令gx=e2xx−1，则g′x=e2x2x−1x2．
当x∈−∞,0∪0,12时，g′x0，gx在12, +∞上单调递增．
当x>0时，m≤e2xx−1恒成立，
所以m≤e2xx−1min=g12=2e−1.
当x0）的准线方程为y=−p2.
而2p=20，故所求准线方程为y=−5．
故答案为：y=−5．
【答案】
−∞, −12
【考点】
函数恒成立问题
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为f(x)=sinx−2ax，
所以f′x=csx−2a.
由csx−2a≥0，得a≤12csx在R上恒成立，
所以a≤−12．
故答案为：−∞, −12．
【答案】
−1e3
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=x2+2ax−1ex−3，
所以f′x=x2+2a+2x+2a−1ex−3．
由f′−3=2−4ae−6=0，得a=12，
所以f(x)=(x2+x−1)ex−3，f′(x)=(x2+3x)ex−3．
令f′x−2+6或t0对于任意t∈R恒成立，
所以m=2，直线x=ty+2过定点E2,0．
因为PD→⋅AB→=0，
所以PD→⊥AB→，且A，B，D，E四点共线，
所以PD→⊥DE→，点D的轨迹是以PE为直径的圆．
设Dx,y，PE的中点坐标为0,1，|PE|=25，
则D点的轨迹方程为x2+y−12=5．
验证，当D的坐标为−2,0时，
因为PD⊥AB，AB的方程为y=0，不符合题意，
所以点D的轨迹方程为x2+y−12=5（x≠−2且y≠0）．