2020-2021学年四川省成都市郫都区高二（上）期中数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年四川省成都市郫都区高二（上）期中数学试卷（理科）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 直线y=3x+2的倾斜角是（ ）
A.2π3B.π3C.5π6D.π6

2. 在空间直角坐标系中，点P(1, 3, −5)关于xOy平面对称的点的坐标是( )
A.(−1, 3, −5)B.(1, −3, 5)C.(1, 3, 5)D.(−1, −3, 5)

3. 高二某班共有学生45人，学号依次为1，2，3，…，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6，24，33的学生在样本中，那么样本中还有两个学生的学号应为（ ）
A.15，42B.15，43C.14，42D.14，43

4. 某地在国庆节7天假期中的楼房认购量（单位：套）与成交量（单位：套）的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断：①成交量的中位数为16；②认购量与日期正相关；③日成交量超过日平均成交量的有2天，则上述判断中正确的个数为（ ）

A.3B.2C.1D.0

5. 如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )

A.726π5mm2B.363π10mm2C.363π5mm2D.363π20mm2

6. 过点的直线l与圆x2+y2＝4相切，则直线l在y轴上的截距为（ ）
A.B.C.4D.−4

7. 抛掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和概率最大时，其和为（ ）
A.6B.7C.8D.9

8. 已知直线l1:x+2ay−1=0与l2：(2a−1)x−ay−1=0平行，则a的值是( )
A.0或1B.1或14C.0或14D.14

9. 已知直线l过点(1, 0)，且倾斜角为直线l0:x−2y−2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（ ）
A.4x−3y−3＝0B.3x−4y−3＝0C.3x−4y−4＝0D.4x−3y−4＝0

10. 甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ）
A.B.C.D.

11. 已知M、N分别是圆C：(x+1)2+(y−6)2＝1和圆D：(x−2)2+(y−6)2＝1上的两个动点，点P在直线l:y＝x上，则|PM|+|PN|的最小值是（ ）
A.317−2B.10C.65−2D.12

12. 已知实数x，y满足x2+(y−2)2＝1，则的最大值为（ ）
A.B.C.1D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

某校田径队有男生56人，女生42人，现用分层抽样的方法从田径队中抽取一个容量为28的样本，那么抽到男生的人数是________．

已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为________．

一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．

如图，已知圆O:x2+y2＝16，A，B是圆O上两个动点，点P(2, 0)，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程是________．

三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

若{an}的前n项和为Sn，点(n, Sn)均在函数y＝x的图象上．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn．

近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心．某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表：

（1）请根据上表提供的数据，用相关系数r说明y与x的线性相关程度，线性相关系数保留三位小数．（统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱．若相应于变量x的取值xi，变量y的观测值为yi(1≤i≤n)，则两个变量的相关系数的计算公式为：r＝．统计学认为，对于变量x，y，如果r∈[−1, −0.75]，那么负相关很强；如果r∈[0.75, 1]，那么正相关很强；如果r∈(−0.75, −0.30]或r∈[0.30, 0.75)，那么相关性一般；如果r∈[−0.25, 0.25]，那么相关性较弱）；

（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2020年该网站“双11”当天的交易额．
参考公式：＝，＝-；参考数据：．

已知函数f(x)＝2sinxcsx+cs2x，x∈R．
(Ⅰ)求f（）的值及函数f(x)的最小正周期T；
(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(A)＝1，a＝3且b＝3c，求△ABC的周长．

某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0, 10),[10, 20),[20, 30),[30, 40),[40, 50),[50, 60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：

（1）在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；

（2）从对B餐厅评分在[0, 20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0, 10)范围内的概率；

（3）求学生对A餐厅评分的平均数．

如图，在三棱锥P−ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．

已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2−6x+5=0相交于不同的两点A，B．
(1)求圆C1的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

(3)是否存在实数k，使得直线L:y=k(x−4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省成都市郫都区高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
由已知直线方程求出直线的斜率，利用斜率等于倾斜角的正切值得答案．
【解答】
直线y=3x+2的斜率为3，
设其倾斜角为α(0≤α<π)，
则tanα=3．
∴ α=π3．
2.
【答案】
C
【考点】
空间直角坐标系
【解析】
利用空间直角坐标系中任一点P(a, b, c) 关于坐标平面yOz的对称点为(−a, b, c)即可得出正确选项．
【解答】
解：点P(1, 3, −5)关于xOy平面对称的点的坐标中，x和y不变，z变为原来的相反数，即P′(1, 3, 5).
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
系统抽样方法
【解析】
根据系统抽样的定义，算出每组人数即组距，再利用第一组抽到的学号依次加上组距即可求出所有抽得的学号．
【解答】
由题意可知，每组人数为455=9，即组距为9，
所以另外两个学生的学号为6+9＝15，和33+9＝42，
4.
【答案】
D
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
B
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
先求出芝麻落在军旗内的概率，再利用几何概型中的面积型可得：军旗的面积大约为S=310×π×112=36310π(mm2)，得解．
【解答】
解：利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率P=30100=310.
设军旗的面积为S，
由题意可得：Sπ×112=310，
所以S=310×π×112=36310π(mm2)．
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
B
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
C
【考点】
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由2a−1a=−a2a≠−1−1，解得a的值．
【解答】
解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，
它们的方程分别是x=1，x=−1，显然两直线是平行的．
当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，
由2a−11=−a2a≠−1−1，解得：a=14．
综上，a=0或14.
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
二倍角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
C
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
直接利用对称问题的应用求出圆D关于直线x＝y的对称圆E，进一步利用两点间的距离公式的应用求出结果．
【解答】
根据题意：知M、N分别是圆C：(x+1)2+(y−6)2＝1和圆D：(x−2)2+(y−6)2＝1上的两个动点，点P在直线l:y＝x上，
画出图形如图所示：
作圆D和圆E关于直线x＝y对称，
所以点E(6, −2)，C(−1, 6)，
故：|PD|+|PC|＝|CE|=(6+1)2+(2−6)2=65，
所以|PM|+|PN|的最小值是65−2．
故选：C．
12.
【答案】
B
【考点】
直线和圆的方程的应用
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【答案】
16
【考点】
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
7
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
127
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
根据安全飞行的定义，则安全的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比．
【解答】
解：蜜蜂“安全飞行”区域为棱长为1的正方体，其体积为1．
而棱长为3的正方体的体积为27．
故所求概率为127．
故答案为：127．
【答案】
x2+y2＝28
【考点】
关于点、直线对称的圆的方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
【答案】
（1）∵ 点(n, Sn)均在函数y＝x的图象上，
∴ ．
当n≥2时，an＝Sn−Sn−6＝3n−2，
当n＝6时，a1＝1，适合上式．
∴ an＝6n−2．
（2），
∴ 数列{bn}的前n项和Tn＝++…+＝．
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由题意，根据表格中的数据，
可得：，，
则，
，
所以，
所以变量y与x的线性相关程度很强．
由（1）可得，，，
又由，
所以，则，
可得y关于x的线性回归方程为，
令x＝2，可得，
即2020年该网站“双11”当天的交易额29.9百亿元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）∵ f(x)＝2sinxcsx+cs4x＝），…8分
∴ f（）＝2sin(7×+，…8分
∴ T＝＝π分
（2）∵ f(A)＝1，可得：2sin(6x+，
可得sin(2A+）＝，
可得3A+＝+2kπ＝+2kπ，
因为△ABC中，0可得A＝，…8分
由余弦定理可得a2＝b7+c2−2bccsA，可得b8+c2−bc＝9，
可得方程组，可解得
可得周长a+b+c＝3+…12分
【考点】
二倍角的三角函数
正弦定理
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由A餐厅分数的频率分布直方图，得：
对A餐厅评分低于30的频率为(0.003+0.005+4.012)×10＝0.2，
所以，对A餐厅评分低于30的人数为100×6.2＝20．
对B餐厅评分在[0, 10)范围内的有8人​1，M2，
对B餐厅评分在[10, 20)范围内的有6人​1，N2，N8，
从这5人中随机选出2人的选法有10种，分别为：
(M7, M2)，(M1, N2)，(M1, N2)，(M8, N3)，(M2, N8)，
(M2, N2)，(M7, N3)，(N1, N5)，(N1, N3)，(N4, N3)，
其中，恰有1人评分在[5，分别为：
(M1, N1)，(M4, N2)，(M1, N3)，(M2, N1)，(M3, N2)，(M2, N2)．
故2人中恰有1人评分在[2, 10)范围内的概率为．
学生对A餐厅评分的平均数为：
0.03×5+2.05×15+0.12×25+0.5×35+0.2×45+2.4×55
＝0.15+3.75+3+7+3+22＝41.9．
【考点】
频率分布直方图
分布和频率分布表
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：∵ AB＝BC＝22，AC＝4，∴ AB2+BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，
又O为AC的中点，∴ OA＝OB＝OC，
∵ PA＝PB＝PC，∴ △POA≅△POB≅△POC，∴ ∠POA＝∠POB＝∠POC＝90∘，
∴ PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC＝O，∴ PO⊥平面ABC；
由（1）得PO⊥平面ABC，PO=PA2−AO2=23，
在△COM中，OM=OC2+CM2−20C⋅CMcs450=253．
S△POM=12×PO×OM=12×23×253=2153，
S△COM=12×23×S△ABC=43．
设点C到平面POM的距离为d．由VP−OMC＝VC−POM⇒13×S△POM⋅d=13×S△OCM×PO，
解得d=455，
∴ 点C到平面POM的距离为455．
【考点】
直线与平面垂直
点、线、面间的距离计算
【解析】
（1）证明：可得AB2+BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，
又POA≅△POB≅△POC，可得∠POA＝∠POB＝∠POC＝90∘，即可证明PO⊥平面ABC；
（2）设点C到平面POM的距离为d．由VP−OMC＝VC−POM⇒13×S△POM⋅d=13×S△OCM×PO，解得d即可
【解答】
证明：∵ AB＝BC＝22，AC＝4，∴ AB2+BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，
又O为AC的中点，∴ OA＝OB＝OC，
∵ PA＝PB＝PC，∴ △POA≅△POB≅△POC，∴ ∠POA＝∠POB＝∠POC＝90∘，
∴ PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC＝O，∴ PO⊥平面ABC；
由（1）得PO⊥平面ABC，PO=PA2−AO2=23，
在△COM中，OM=OC2+CM2−20C⋅CMcs450=253．
S△POM=12×PO×OM=12×23×253=2153，
S△COM=12×23×S△ABC=43．
设点C到平面POM的距离为d．由VP−OMC＝VC−POM⇒13×S△POM⋅d=13×S△OCM×PO，
解得d=455，
∴ 点C到平面POM的距离为455．
【答案】
解：(1)∵ 圆C1:x2+y2−6x+5=0，
整理，得其标准方程为：(x−3)2+y2=4，
∴ 圆C1的圆心坐标为(3, 0).
(2)设当直线l的方程为y=kx，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立方程组(x−3)2+y2=4，y=kx，
消去y可得：(1+k2)x2−6x+5=0，
由Δ=36−4(1+k2)×5>0，
可得k2<45.
由韦达定理，可得x1+x2=61+k2，
y1+y2=k(x1+x2)=6k1+k2,
∴ 线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为
x=31+k2，y=3k1+k2，
其中−255∴ 线段AB的中点M的轨迹C的方程为：
(x−32)2+y2=94，其中53(3)结论：当k∈(−257, 257)∪{−34, 34}时，直线L:y=k(x−4)与曲线C只有一个交点．
理由如下：
联立方程组(x−32)2+y2=94，y=k(x−4)，
消去y，可得：(1+k2)x2−(3+8k2)x+16k2=0，
令Δ=(3+8k2)2−4(1+k2)⋅16k2=9−16k2=0，
解得k=±34，
将轨迹C的方程化为一般式为x2+y2−3x=0 ①,
圆C1：x2+y2−6x+5=0 ②，
②−①得x=53，∴ y=±253，
又轨迹C的端点(53, ±253)与点(4, 0)决定的直线斜率为±257，
∴ 当直线L:y=k(x−4)与曲线C只有一个交点时，
k的取值范围为[−257, 257]∪{−34, 34}．
【考点】
直线与圆的位置关系
轨迹方程
圆的标准方程
【解析】
（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；
（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；
（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点(4, 0)决定的直线斜率，即得结论．
【解答】
解：(1)∵ 圆C1:x2+y2−6x+5=0，
整理，得其标准方程为：(x−3)2+y2=4，
∴ 圆C1的圆心坐标为(3, 0).
(2)设当直线l的方程为y=kx，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立方程组(x−3)2+y2=4，y=kx，
消去y可得：(1+k2)x2−6x+5=0，
由Δ=36−4(1+k2)×5>0，
可得k2<45.
由韦达定理，可得x1+x2=61+k2，
y1+y2=k(x1+x2)=6k1+k2,
∴ 线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为
x=31+k2，y=3k1+k2，
其中−255∴ 线段AB的中点M的轨迹C的方程为：
(x−32)2+y2=94，其中53(3)结论：当k∈(−257, 257)∪{−34, 34}时，直线L:y=k(x−4)与曲线C只有一个交点．
理由如下：
联立方程组(x−32)2+y2=94，y=k(x−4)，
消去y，可得：(1+k2)x2−(3+8k2)x+16k2=0，
令Δ=(3+8k2)2−4(1+k2)⋅16k2=9−16k2=0，
解得k=±34，
将轨迹C的方程化为一般式为x2+y2−3x=0 ①,
圆C1：x2+y2−6x+5=0 ②，
②−①得x=53，∴ y=±253，
又轨迹C的端点(53, ±253)与点(4, 0)决定的直线斜率为±257，
∴ 当直线L:y=k(x−4)与曲线C只有一个交点时，
k的取值范围为[−257, 257]∪{−34, 34}．年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码x
1
2
3
4
5
交易额y/百亿元
9
12
17
21
26
B餐厅分数频数分布表
分数区间
频数
[0, 10)
2
[10, 20)
3
[20, 30)
5
[30, 40)
15
[40, 50)
40
[50, 60]
35