2020-2021学年河北省竞赛班高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省竞赛班高二（上）期中数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会（ ）
A.相等B.不相等
C.无法确定D.与抽取的次数有关

2. 命题“∀x∈R，2x>0”的否定是（ ）
A.∃x0∈R，2x0>0B.∃x0∈R，2x0≤0
C.∀x∈R，2x1，命题q:x2>x，则￢q是￢p的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7. 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号是（ ）（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
A.199B.175C.507D.128

8. 已知椭圆C:x24+y22=1，过点M(1, 1)的直线与椭圆C相交于P，Q两点，若弦PQ恰被点M平分，则直线l的斜率为（ ）
A.−2B.−12C.−1D.2

9. 有下列调查方式：
①学校为了解高一学生的数学学习情况，从每班抽2人进行座谈；
②一次数学竞赛中，某班有15人在100分以上，35人在90∼100分，10人低于90分．现在从中抽取12人座谈了解情况；
③运动会中工作人员为参加400m比赛的6名同学公平安排跑道．
就这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为（ ）
A.分层抽样，系统抽样，简单随机抽样
B.系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
C.分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样
D.系统抽样，分层抽样，简单随机抽样

10. 若a0x2020+a1x2019(1−x)+a2x2018(1−x)2+...+a2020(1−x)2020＝1，则a0+a1+...+a2020＝（ ）
A.1B.0C.22020D.22021

11. 已知△ABC的顶点B(−3, 0)和C(3, 0)，顶点A在椭圆x216+y27=1上，则sinB+sinCsinA的值为（ ）
A.32B.23C.34D.43

12. 已知A，B是抛物线y2＝8x上的两个动点且|AB|＝16，则线段AB中点M到直线x＝−3距离的最小值是（ ）
A.7B.8C.9D.10
二、填空题

已知求得一组数据4，6，5，8，7，x，6平均数是6，那么这组数据的中位数是________．

某班的5名同学代表班级参加学校组织的知识竞赛，在竞赛过程中，每人依次回答问题，为更好的发挥5人的整体水平，其中A同学只能在第一或最后一个答题，B和C同学则必须相邻顺序答题，则不同的答题顺序编排方法的种数为________（用数字作答）

我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．

已知A，B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线x2a2−y2b2=1的公共顶点，P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P，M都异于A，B)，且PA→+PB→=λ(MA→+MB→)，其中λ∈R，设直线AP，BP，AM，BM的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若k1+k2=3，则k3+k4＝________．
三、解答题

设命题p：函数f(x)＝(2k−1)x+2020在R上是减函数，命题q：函数g(x)=x2+(3k+1)x+1的定义域为全体实数R，如果p∧(￢q)是真命题，求实数k的取值范围．

某商场5个分店某日的销售额和利润额资料如表：
(Ⅰ)求利润额y关于销售额x的回归直线方程；
(Ⅱ)当销售额为4万元时，估计该零售店的利润额（单位：万元）．
附：对于一组数据(u1, v1)，(u2, v2)，…，(un, vn)，其回归直线分成v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β​=i=1n (ui−u¯)(vi−v¯)i=1n (ui−u¯)2，α​=v¯−β​u¯．

从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．
（1）求所选2人中恰有一名男生的概率；

（2）求所选2人中至少有一名女生的概率．

已知抛物线C:y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；

（2）若AP→=3PB→，求|AB|．

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如图：

（1）估计该校男生的人数；

（2）估计该校学生身高在170∼185cm之间的概率；

（3）从样本中身高在165∼180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170∼180cm之间的概率．

在平面直角坐标系xOy中，动点M到点A(−1, 0)和B(1, 0)的距离分别为d1和d2，∠AMB＝2θ，且d1d2cs2θ＝1．
(Ⅰ)求动点M的轨迹E的方程；
(Ⅱ)是否存在直线l过点B与轨迹E交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省竞赛班高二（上）期中数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
简单随机抽样
【解析】
根据简单随机抽样的定义、特征可得，每个个体被抽到的机会都是相等的，由此得到答案．
【解答】
根据简单随机抽样的定义可得，每个个体被抽到的机会都是相等的，
2.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】
因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，2x>0”的否定是∃x0∈R，2x0≤0．
3.
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
本题是一个分类计数原理，从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数；取0此时2和4只能取一个，0不可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21[A44−A33]，根据加法原理得到结果．
【解答】
由题意知，本题是一个分类计数原理，
第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，
组成没有重复数字的四位数的个数为C32A44＝72
第二类：取0，此时2和4只能取一个，0不能排在首位，
组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21[A44−A33]＝108
∴ 组成没有重复数字的四位数的个数为108+72＝180
4.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a​的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的高三男生的体重
【解答】
由表中数据可得
x¯=160+165+170+175+1805=170
y¯=63+66+70+72+745=69
∵ (x¯, y¯)一定在回归直线方程y​=0.56x+a​上
故69＝0.56×170+a​
解得a​=−26.2
故y​=0.56x−26.2
当x＝172时，y​=0.56×172−26.2=70.12
5.
【答案】
B
【考点】
概率的基本性质
【解析】
本题是一个对立事件的概率，抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，根据所给的抽到一等品的概率做出抽不到一等品的概率．
【解答】
由题意知本题是一个对立事件的概率，
∵ 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
P(A)＝0.65，
∴ 抽到不是一等品的概率是1−0.65＝0.35
6.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
由命题q:x2>x，得x1；由题意得，￢p:x≤1，￢q:0≤x≤1，根据充分必要条件的定义可判断．
【解答】
∵ p:x>1；
命题q:x2>x，得x1；
∴ ￢p:x≤1，￢q:0≤x≤1，
根据充分必要条件的定义可判断：
￢q是￢p的充分不必要条件，
7.
【答案】
B
【考点】
简单随机抽样
【解析】
找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．
【解答】
找到第8行第7列的数开始向右读，符合条件的是785，667，199，507，175，
8.
【答案】
B
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
先设出P，Q的坐标，然后代入椭圆方程，利用点差法即可求解．
【解答】
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
代入椭圆可得：x124+y122=1x224+y222=1 ，
两式作差可得：x12−x224+y12−y222=0，
整理可得：y1−y2x1−x2=−x1+x22(y1+y2)，
因为M是PQ的中点，所以x1+x22=1，且y1+y22=1，
所以直线l的斜率为：kl=y1−y2x1−x2=−12，
9.
【答案】
D
【考点】
分层抽样方法
简单随机抽样
系统抽样方法
【解析】
利用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的特点求解．
【解答】
在①中，因为总体已经按班级进行分组，故适合于系统抽样；
在②中，因为总体形成差异明显的三个层次，故适合于分层抽样；
在③中，因为总体单元数较少，故适合于简单随机抽样．
10.
【答案】
C
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
由题意利用二项式定理，二项式系数的性质，求得a0+a1+...+a2020的值．
【解答】
若a0x2020+a1x2019(1−x)+a2x2018(1−x)2+...+a2020(1−x)2020＝[x+(1−x)]2020＝1，
则 a0+a1+...+a2020=C20200+C20201+C20202+⋯+C20202020=22020，
11.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
正弦定理
【解析】
先由题设和椭圆的定义求得：|AB|+|AC|＝8，|BC|＝6，再利用正弦定理求得结果即可．
【解答】
由题设知：椭圆的长半轴长a＝4，半焦距c＝3，B、C为椭圆的左右焦点，
∵ 顶点A在椭圆上，∴ |AB|+|AC|＝2a＝8，|BC|＝2c＝6，
由正弦定理可得：sinB+sinCsinA=|AC|+|AB||BC|=86=43，
12.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先设出A，B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号判断出=|AF|+|BF|2的最小值即可．
【解答】
设A(x1, y1) B(x2, y2)
抛物线y2＝8x的线准线x＝−2，
线段AB中点M到直线x＝−3距离：
S＝|x1+x22|+3
=x1+2+x2+22+1
=|AF|+|BF|2+1
（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）
∴ |AF|+|BF|2+1≥|AB|2+1=8+1＝9，
二、填空题
【答案】
6
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
根据平均数的定义求出x的值，再求这组数据的中位数．
【解答】
由平均数的定义知，17×(4+6+5+8+7+x+6)＝6，
解得x＝6，
所以这组数据按从小到大顺序排列为：
4，5，6，6，6，7，8；
它们的中位数是6．
【答案】
24
【考点】
计数原理的应用
【解析】
根据题意，分3进行分析：先安排A，再将BC看成一个整体，需要考虑BC的顺序，将BC这个整体与其他2人进行全排列，分别计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
根据题意，分3进行分析：
①、先安排A，由于其只能在第一或最后一个答题，则A有2种排法，
②、将BC看成一个整体，考虑BC的顺序，有2种排法，
③、将BC这个整体与其他2人进行全排列，有A33＝6种排法；
则共有2×2×6＝24种编排方法；
【答案】
0.98
【考点】
概率的基本性质
【解析】
利用加权平均数公式直接求解．
【解答】
∵ 经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，
有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，
∴ 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：
x¯=110+20+10(10×0.97+20×0.98+10×0.99)＝0.98．
【答案】
−3
【考点】
圆锥曲线的综合问题
【解析】
根据题意可得A(−a, 0)，B(a, 0)，设P(x1, y1)，M(x2, y2)，由PA→+PB→=λ(MA→+MB→)其中λ∈R，推出x1y2＝x2y1，y1≠0，y2≠0，由k1+k2=y1x1−a+y1x1+a=3①，联立x12a2−y12b2=1②，得x1y1=x2y2=3a22b2，进而得出答案．
【解答】
根据题意可得A(−a, 0)，B(a, 0)，
设P(x1, y1)，M(x2, y2)，
因为PA→+PB→=λ(MA→+MB→)其中λ∈R，
所以(x1+a, y1)+(x1−a, y1)＝λ[(x2+a, y2)+(x2−a, y2)]，
所以x1y2＝x2y1，
因为P，M都异于A，B，
所以y1≠0，y2≠0，x1y1=x2y2，
由k1+k2=y1x1−a+y1x1+a=2x1y1x12−a2=3，①
因为x12a2−y12b2=1，②
由①②得，x1y1=x2y2=3a22b2，
k3+k4=y2x2−a+y2x2+a=2x2y2x22−a2，
又因为x22a2+y22b2=1，
所以k3+k4=−2b2a2×x2y2=−2b2a2×3a22b2=−3．
三、解答题
【答案】
若p真，函数f(x)＝(2k−1)x+2020在R上是减函数，
则2k−1