2020-2021学年河北省教育集团高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省教育集团高二（上）期中数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知命题p:∀x≥0，2x>x2，则命题p的否定为（ ）
A.∀x≥0，2x0)的离心率e=2，则其渐近线方程为________．

现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种．（用数字作答）


(1−2x)6=a0+a1x+a2x2+...+a6x6，则|a0|+|a1|+|a2|+...+|a6|=________．

在平面直角坐标系中，已知抛物线y2=4x的准线与双曲线y2a2−x2b2=1(a>0, b>0)的渐近线分别交于P，Q两点，若△POQ的内切圆半径为13，则双曲线的离心率为________．
三、解答题（本题共6个小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）

已知命题p:∀m∈[−1, 1]，不等式a2−5a+7≥m+2恒成立；命题q：方程tx2+ay2=1表示焦点在x轴上的椭圆．
(Ⅰ)若t=1，(￢p)∨q为假命题，求a的取值范围；
(Ⅱ)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．

2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法．民法典与百姓生活密切相关，某高校为了解学生对民法典的认识程度，随机抽取40名学生进行测试，将其成绩分为六段[70, 75),[75, 80),[80, 85),[85, 90),[90, 95),[95, 100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(Ⅰ)求图中a的值及样本的中位数；如果抽查的测试平均分超过85分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试；
(Ⅱ)若从测试成绩在[70, 75)与[95, 100]两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的测试成绩之差的绝对值不大于5分为事件M，求事件M发生的概率．


已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(3, 12)，其左焦点F1的坐标为(−3, 0)．过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)当线段AB的中点的横坐标为−32时，求直线AB的方程．

某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为5元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据：

（1）求销量y（件）关于单价x（元）的线性回归方程y​=b​x+a​；

（2）若单价定为10元，估计销量为多少件；

（3）根据销量y关于单价x的线性回归方程，要使利润P最大，应将价格定为多少？
参考公式：b​=i=1n xiyi​−nx¯y¯i=1n xi2​−nx¯2，a​=y¯−b​x¯．参考数据：i=16 xiyi​=4066，i=16 xi2​=434.2

已知直线l1:y=x+1与抛物线C:y2=2px(p>0)相切于点P．
(Ⅰ)求抛物线C的方程及点P的坐标；
(Ⅱ)设直线l2，过点Q(−12, −12)，且与抛物线C交于（异于点P）两个不同的点A、B，直线PA，PB的斜率分别为k1、k2，那么是否存在实数λ，使得k1+k2=λ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，A为椭圆C上的任一点，且△AF1F2面积的最大值的取值范围是[c2, 3c2]．
(Ⅰ)求椭圆的离心率e的取值范围；
(Ⅱ)当椭圆C经过点P(1, 32)离心率e取最小值时，经过右焦点F2的直线（不经过点P）与椭圆C交于两点M和N，线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，当点Q的纵坐标的取值范围是(0, 18)，求线段MN长的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省教育集团高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本题1-10题为单选题，11-12为多选题，每小题5分，共60分）
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
命题为全称命题，则命题的否定为：∃x0≥0，2x0≤x02．
2.
【答案】
A
【考点】
简单随机抽样
【解析】
根据随机数表法，抽取，重复和不在0−800的舍弃，得到结论
【解答】
依次读取的数据为253，313，457，860（超过800，舍去），
736，253（与前面重复，舍去），007，…，
所以抽到的第5名员工的编号是007，
3.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
根据所给统计图，利用排除法可得答案
【解答】
由题知6月、9月、11月、12月活动月的走势均有明显提升，故相关活动是5G信息走势的关键性节点，即A正确；
由统计图可知第四季度信息量呈直线增长态势，月信息量未出现持续下降态势，故CD正确；
4.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由椭圆的定义知，|F1F2|＝2，|MF1|+|MF2|＝4，又由|MF1|−|MF2|＝1可知，|MF2|2+|F1F2|2＝|MF1|2．
【解答】
由题意，
|F1F2|＝2，|MF1|+|MF2|＝4，
∵ |MF1|−|MF2|＝1，
∴ |MF1|=52，|MF2|=32，
∴ |MF2|2+|F1F2|2＝|MF1|2，
5.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
先求出基本事件总数，再求出满足x≤y的基本事件个数，利用古典概型的概率公式即可求解．
【解答】
从分别写有号码1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，号码记为x，放回后再随机抽取1张，号码记为y，
基本事件总数为5×5=25，
满足x≤y的基本事件有：(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，(2, 2)，
(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(3, 3)，(3, 4)，(3, 5)，(4, 4)，(4, 5)，(5, 5)共15个，
所以x≤y的概率为1525=35，
6.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
【解析】
设抛物线的方程为x2=2py，由抛物线的定义和已知条件可得p的方程，解p可得；
【解答】
设抛物线的方程为x2=2py(p>0)，
设A(xA, yA)，B(xB, yB)，
由抛物线定义可知yA+yB+p=4，
又AB中点到x轴的距离为1，
∴ yA+yB=2，∴ p=2，
∴ 抛物线的标准方程是x2=4y；
7.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线的离心率的范围求出m的范围，然后通过充要条件求解即可．
【解答】
双曲线：x2m−y2m2+2=1(m∈R)的离心率e∈(1, 2]，所以m>0，
可得e2=m+m2+2m=m+2m+1∈(1, 4]，
即00,b>0)，
∴ 双曲线渐近线为y=±bax
又∵ 离心率为e=ca=2，可得c=2a
∴ c2=4a2，即a2+b2=4a2，可得b=3a
由此可得双曲线渐近线为y=±3x
故答案为：y=±3x
【答案】
96
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，假设正五角星的区域依次为A、B、C、D、E、F，依次分析6个区域的涂色方案数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
根据题意，假设正五角星的区域依次为A、B、C、D、E、F，
区域A，可以涂红、黄、蓝三种颜色，有3种选择，
剩下的5个区域都与A相邻，都有2种选择，
则有3×2×2×2×2×2=96种涂色方法，
【答案】
729
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
解由(1−2x)6=a0+a1x+a2x2+...+a6x6，可得：a1，a3，a50．令x=−1，即可得出．
【解答】
由(1−2x)6=a0+a1x+a2x2+...+a6x6，可得：a1，a3，a50．
令x=−1，可得|a0|+|a1|+|a2|+...+|a6|=36=729．
【答案】
2
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
先求出抛物线的准线方程以及双曲线的渐近线方程，然后再求出P，Q的坐标，进而可以求出|PQ|，|OP|，|OQ|的长度，利用三角形OPQ的面积关系即可求解．
【解答】
由已知可得抛物线的准线方程为：x=−1，
双曲线的渐近线方程分别为：y=abx和y=−abx，
因为抛物线的准线和双曲线的渐近线相交，不妨设P(−1, ab)，则Q(−1, −ab)，
所以|OP|=|OQ|=1+a2b2=cb，|QP|=2ab，
由三角形OPQ的面积关系可得：(|OP|+|OQ|+|PQ|)⋅r=1×2ab，
解得c=2a，则ca=2，
所以双曲线的离心率为2，
三、解答题（本题共6个小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）
【答案】
∵ 命题p:∀m∈[−1, 1]，不等式a2−5a+7≥m+2恒成立，
即a2−5a+7≥3，解得：a≥4或a≤1，
故p为真时，a∈(−∞, 1]∪[4, +∞)；
方程tx2+ay2=1表示焦点在x轴上的椭圆，
故q为真时，085，∴ 该校能通过测试．
（2）从测试成绩在[70, 75)与[95, 100]两个分数段的学生中随机选取两名学生，
成绩在[70, 75)中有40×0.01×5=2名学生，
成绩在[95, 100]中有40×0.02×5=4名学生，
则基本事件总数n=C62=15，
设这两名学生的测试成绩之差的绝对值不大于5分为事件M，
则事件M包含的基本事件个数m=C22+C42=7，
∴ 事件M发生的概率P=mn=715．
【答案】
aa(1)由已知可得c，所以a2−b2=3…①
把点(3,12)代入椭圆方程可得：3a2+14b2＝1…②
①②联立可得：a2=4，b2=1，
所以椭圆的标准方程为：x24+y2＝1；
（2）由已知可得直线AB的斜率存在，则可设直线AB的方程为：y=k(x+3)，
联立方程：x24+y2＝1y＝k(x+3)，消去y可得：(1+4k2)x2+83k2x+12k2−4=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则由韦达定理可得：x1+x2=−83k21+4k2，又由已知可得：x1+x22=−43k21+4k2=−32，
解得k=±12，
所以直线AB的方程为：y=±12(x+3)，即x±2y+3=0．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）由已知可得c的值，再把已知点代入椭圆方程即可求解；
（2）先设出直线AB的方程，再与椭圆方程联立，求出A，B的横坐标的和，由此可得AB的中点的横坐标，再结合已知即可求解．
【解答】
aa(1)由已知可得c，所以a2−b2=3…①
把点(3,12)代入椭圆方程可得：3a2+14b2＝1…②
①②联立可得：a2=4，b2=1，
所以椭圆的标准方程为：x24+y2＝1；
（2）由已知可得直线AB的斜率存在，则可设直线AB的方程为：y=k(x+3)，
联立方程：x24+y2＝1y＝k(x+3)，消去y可得：(1+4k2)x2+83k2x+12k2−4=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则由韦达定理可得：x1+x2=−83k21+4k2，又由已知可得：x1+x22=−43k21+4k2=−32，
解得k=±12，
所以直线AB的方程为：y=±12(x+3)，即x±2y+3=0．
【答案】
由题意可得x¯=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，
y¯=16(90+84+83+80+75+68)=80，
则b​=i=1n xiyi​−nx¯y¯i=1n xi2​−nx¯2=4066−6×8.5×80434.2−6×8.52=−140.7=−20，
从而a​=y¯−b​x¯=80+20×8.5=250，
故所求回归直线方程为y​=−20x+250；
当x＝10时，y¯=−20×10+250=50，
故当销售单价定为10元时，销量为50件；
由题意可得，P＝y(x−5)＝(−20x+250)(x−5)＝−20(x−8.75)2+281.25．
故要使利润达到最大，应将价格定位8.75元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）由已知求得b​与a​的值，则线性回归方程可求；
（2）在（1）中求得的线性回归方程中取x＝10求得y值即可；
（3）写出利润P关于价格的函数，再由配方法求最值．
【解答】
由题意可得x¯=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，
y¯=16(90+84+83+80+75+68)=80，
则b​=i=1n xiyi​−nx¯y¯i=1n xi2​−nx¯2=4066−6×8.5×80434.2−6×8.52=−140.7=−20，
从而a​=y¯−b​x¯=80+20×8.5=250，
故所求回归直线方程为y​=−20x+250；
当x＝10时，y¯=−20×10+250=50，
故当销售单价定为10元时，销量为50件；
由题意可得，P＝y(x−5)＝(−20x+250)(x−5)＝−20(x−8.75)2+281.25．
故要使利润达到最大，应将价格定位8.75元．
【答案】
（1）直线l1:y=x+1与抛物线C:y2=2px(p>0)相切于点P．
所以联立y＝x+1y2＝2px，得x2+(2−2p)x+1=0有两个相等的实数根，
所以△=(2−2p)2−4=0，解得p=2，
方程x2+(2−2p)x+1=0，即为x2−2x+1=0，解得x=1，
把x=1代入y=x+1得，y=2，所以P(1, 2)
所以抛物线方程为：y2=4x．
（2）设直线l2方程为：x=m(y+12)−12，
A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立x＝m(y+12)−12y2＝4x，得y2−4my−2m+2=0，
y1+y2=4m，y1y2=−2m+2，
△=(−4m)2−4×1×(−2m+2)=4m2+8m−8=4(m+1)2−12>0，解得m>3−1或m0)相切于点P．
所以联立y＝x+1y2＝2px，得x2+(2−2p)x+1=0有两个相等的实数根，
所以△=(2−2p)2−4=0，解得p=2，
方程x2+(2−2p)x+1=0，即为x2−2x+1=0，解得x=1，
把x=1代入y=x+1得，y=2，所以P(1, 2)
所以抛物线方程为：y2=4x．
（2）设直线l2方程为：x=m(y+12)−12，
A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立x＝m(y+12)−12y2＝4x，得y2−4my−2m+2=0，
y1+y2=4m，y1y2=−2m+2，
△=(−4m)2−4×1×(−2m+2)=4m2+8m−8=4(m+1)2−12>0，解得m>3−1或m