2020-2021学年福建省莆田市高二（上）10月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年福建省莆田市高二（上）10月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a5=b7=c3，则角B=( )
A.60∘B.90∘C.120∘D.150∘

2. 数列{2n+1}的第40项a40=( )
A.9B.10C.40D.41

3. 已知在等比数列an中，a5=4，公比q=12，则a8=( )
A.2B.−2C.12D.−12

4. 在△ABC中，下列等式不成立的是( )
A.c=a2+b2−2abcsCB.asinA=bsinB
C.asinC=csinAD.csB=a2+c2−b22abc

5. 已知△ABC中，a=2020,b=20203，∠A=30∘，则∠B等于( )
A.30∘B.30∘或150∘C.60∘D.60∘或120∘

6. 在等差数列an中，3a3+a5+2a7+a10+a13=48，则a7=( )
A.2B.4C.6D.8

7. 已知三角形ABC中， a:b:c=2:3:4，则此三角形是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

8. 已知等比数列an的各项均为正数，公比q≠1，设P=a2013+a20192，Q=a2015⋅a2017，则P与Q的大小关系是( )
A.PQC.P=QD.P≤Q
二、多选题

在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是( )
A.sin(A+B)+sinCB.cs(A+B)+csC
C.sin(2A+2B)+sin2CD.cs(2A+2B)+cs2C

已知等比数列{an}中，满足a1=1，q=2，则( )
A.数列{a2n}是等比数列
B.数列{1an}是递增数列
C.数列{lg2an}是等差数列
D.数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列

设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是( )
A.若ab>c2；则C<π3B.若a+b>2c；则C<π3
C.若a3+b3=c3；则C<π2D.若(a+b)c<2ab；则C>π2

等差数列{an}是递增数列，满足a7=3a5，前n项和为Sn，下列选择项正确的是( )
A.d>0B.a1<0
C.当n=5时Sn最小D.Sn>0时n的最小值为8
三、填空题

在△ABC中，若A=30∘,a=1，则a−20b+19csinA−20sinB+19sinC=________.

已知Sn是等差数列an的前n项和，且S3=2a1，则a3+a5+2019S7=________.

已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=________．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=2019c2 ，tanCsinA+BsinAsinB=________.
四、解答题

在△ABC中，b=3，B=60∘，c=1.解三角形．

三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．

已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csC=34， sinA=2sinB.求sinB的值．

已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，若bn=2nan，求数列bn的前n项和Tn.

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为60∘，求此山的高度CD．


已知Sn是数列an的前n项和，Sn满足关系式Sn=2−12n−1−an ，a1=12 （n≥2，n为正整数）．
(1)令bn=2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式．

(2)求Sn的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年福建省莆田市高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
【解析】
中学数学中，出现形如本题里的连等式，通常可记等式的值为t,
用它来表示题中的a、b、c.本题再由余弦定理即可解.
【解答】
解：由已知，令a5=b7=c3=tt>0,
则a=5t，b=7t，c=3t.
所以由余弦定理得:
csB=5t2+3t2−7t22×5t×3t=−12,
又0∘所以B=120∘.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
数列的函数特性
【解析】
由题意可得数列的通项公式，把n=40代入计算可得．
【解答】
解：由题意可得数列的通项公式an=2n+1，
∴ 第40项a40=2×40+1=9.
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
等比数列的性质
【解析】
利用等比数列通项公式直接计算即可.
【解答】
解：设等比数列的首项为a1,
所以a5=a1q4,所以a1=26,
所以a8=a1q7=26×127=12.
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
各项利用正弦、余弦定理判断即可得到结果．
【解答】
解：A，由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcsC，
即c=a2+b2−2abcsC，选项中式子成立；
B，由正弦定理得：asinA=bsinB，选项中式子成立；
C，由正弦定理得：asinA=csinC，即asinC=csinA，选项中式子成立；
D，由余弦定理得：csB=a2+c2−b22ac，选项中式子不成立.
故选D．
5.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
利用正弦定理，直接计算即可得到答案.
【解答】
解：由正弦定理得：asinA=bsinB,
所以202012=20203sinB,即sinB=32,
因为a=2020所以A因为B∈0，180∘，
所以B=60∘或120∘.
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
等差中项
【解析】
利用等差数列性质求解即可.
【解答】
解：∵ 等差数列an,
∴ a3+a5=2a4，a7+a10+a13=3a10,
∴ 6a4+6a10=48,
∵ a4+a10=2a7，
∴ 12a7=48,
∴ a7=4.
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
三角形的形状判断
【解析】
利用三角形的边长关系判断最大角，然后直接利用余弦定理求解最大角的余弦值即可判断得解．
【解答】
解：因为△ABC的三边之比为2:3:4,
所以最大角的余弦函数值为：22+32−422×2×3=−14<0,
所以最大角为钝角，则此三角形是钝角三角形．
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
等比中项
不等式比较两数大小
【解析】
利用等比数列的性质及基本不等式，即可求出结果.
【解答】
解：∵ 数列an为等比数列，
∴ a2013⋅a2019=a2015⋅a2017，
又∵ 数列an各项均为正数，
∴ a2013+a20192≥a2013⋅a2019=a2015⋅a2017，
当且仅当a2013=a2019取等号，
又q≠1，则a2013≠a2019，
所以a2013+a20192>a2013⋅a2019=a2015⋅a2017，
即P>Q.
故选B.
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
诱导公式
【解析】
由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：在△ABC中，
对于选项A，
sin(A+B)+sinC=sin(π−C)+sinC=2sinC；
对于选项B，cs(A+B)+csC=cs(π−C)+csC
=−csC+csC=0；
对于选项C，
sin(2A+2B)+sin2C=sin[2(A+B)]+sin2C
=sin[2(π−C)]+sin2C=sin(2π−2C)+sin2C
=−sin2C+sin2C=0；
对于选项D，cs(2A+2B)+cs2C=cs[2(A+B)]+cs2C
=cs[2(π−C)]+cs2C=cs(2π−2C)+cs2C
=cs2C+cs2C=2cs2C.
故选BC.
【答案】
A,C
【考点】
等比数列的性质
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列和等比数列的定义分别进行判断即可．
【解答】
解：由题意，可得an=2n−1.
A，a2n=22n−1，所以{a2n}是首项为2，公比为22 的等比数列，正确；
B，1an+1−1an=12n−12n−1=−12n<0，则数列{1an}是递减数列，错误；
C，因为lg2an=n−1，所以数列{lg2an}是等差数列，公差为1，正确；
D，易得S10=210−1，S20=220−1，S30=230−1，三个数不成等比数列，错误.
故选AC．
【答案】
A,B,C
【考点】
余弦定理
【解析】
①利用余弦定理结合均值不等式．②利用余弦定理，再结合均值定理即可证明．③利用反证法，假设C≥π2时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确．④取特殊值，在满足条件的情况下，判断角C的大小．
【解答】
解：A，a2+b2≥2ab，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab，
∵ ab>c2，
∴ −c2>−ab，
∴ csC=a2+b2−c22ab≥2ab−ab2ab=12，
即0B，∵ a+b>2c，
∴ (a+b)2>4c2，即c2<(a+b)24，
∴ csC=a2+b2−c22ab，
即0C，假设C≥π2，则c2≥a2+b2，
∴ c3≥ca2+cb2>a3+b3，与a3+b3=c3矛盾，
∴ 假设不成立．即C<π2成立，正确；
D，取a=b=2，c=1，
满足(a+b)c<2ab得C为锐角，错误．
故选ABC．
【答案】
A,B,D
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，求得a1＝−3d，根据数列{an}是递增数列，得到A，B正确；再由前n项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解．
【解答】
解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，
因为a7=3a5，
可得a1+6d=3(a1+4d)，
解得a1=−3d，
又由等差数列{an}是递增数列，
可知d>0，则a1<0，故A，B正确；
因为Sn=d2n2+(a1−d2)n=d2n2−7d2n，
由n=−−7d2nd=72可知，
当n=3或4时Sn最小，故C错误，
令Sn=d2n2−7d2n>0，
解得n<0或n>7，
即Sn>0时n的最小值为8，故D正确．
故选ABD.
三、填空题
【答案】
2
【考点】
正弦定理
【解析】
本题主要是考查正弦定理的运用，通过正弦定理结合题目已知条件进行求解即可
【解答】
解：∵ 由正弦定理，得：
asinA=bsinB=csinC，
∴asinA=−20b−20sinB=19c19sinC，可得：
a−20b+19csinA−20sinB+19sinC=asinA，
∵△ABC中， ∠A=30∘，a=1，
∴asinA=1sin30∘=2,
可得a−20b+19csinA−20sinB+19sinC=2.
故答案为：2.
【答案】
0
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
由Sn为等差数列的前n项和，且S3=2a1，
则由等差数列的性质可知3a1+3d=2a1，即a1=−3d，即a4=0，
而a3+a5+2019S7=14135a4=0，故答案为0.
【解答】
解：设等差数列的公差为d，
因为Sn为等差数列的前n项和，且S3=2a1，
则由等差数列的性质可知3a1+3d=2a1，
即a1=−3d，即a4=a1+3d=0，
因为S7=7(a1+a7)2=7a4，a3+a5=2a4，
所以a3+a5+2019S7=2a4+2019×2a4=0.
故答案为：0.
【答案】
−9
【考点】
等比中项
等差数列的性质
【解析】
由题意得(a1+6)2=a1(a1+9)，即a1=−12，即可得出结论．
【解答】
解：∵ 等差数列{an}的公差为3，a1、a3、a4成等比数列，
∴ a32=a1⋅a4
即(a1+6)2=a1(a1+9)，
∴ a1=−12，
∴ a2=−9.
故答案为：−9．
【答案】
11009
【考点】
余弦定理
正弦定理
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
。
【解答】
解：∵ 在△ABC中，A+B+C=π，a2+b2=2019c2
∴ sinC=sin(A+B)，
结合余弦定理和正弦定理，
∴ 原式=sinCsinA+BcsCsinAsinB=sin2CsinAsinBcsC
=c2aba2+b2−c22ab
=2c2a2+b2−c2
=2c22018c2
=11009.
故答案为：11009.
四、解答题
【答案】
解：∵ b=3，B=60∘，c=1，
由正弦定理可得，bsinB=csinC，
∴ sinC=1×323=12，
∵ c∴ C∴ C=30∘，
∴ A=90∘，a=2c=2．
【考点】
正弦定理
【解析】
由正弦定理可得，bsinB=csinC可求sinC，结合c【解答】
解：∵ b=3，B=60∘，c=1，
由正弦定理可得，bsinB=csinC，
∴ sinC=1×323=12，
∵ c∴ C∴ C=30∘，
∴ A=90∘，a=2c=2．
【答案】
解：设三个数依次为a，b，c，
依题意可知abc=512，
∵ 三个数成等比数列，
∴ b2=ac，
∴ b3=512，
∴ b=8，
设三个数的公比为t，则a=8t，c=8t，
第一个数与第三个数各减2，后数列变为8t−2，8，8t−2，
∵ 新数列成等差数列,
∴ 16=8t−2+8t−2，
整理得2t2−5t+2=0，
求得t=2或12,
当t=2时，a=4，c=16，三个数为4，8，16；
当t=12时，a=16，c=4，三个数为16，8，4．
【考点】
等比数列的性质
等差数列的性质
【解析】
设三个数依次为a，b，c，依题意可知abc的值，进而根据等比数列的性质可知abc=b3，进而求得b，设三个数的公比为t，则可表示a和c，根据第一个数与第三个数各减2，变成等差数列，进而利用等差中项的性质建立等式求得t，则三个数可求得．
【解答】
解：设三个数依次为a，b，c，
依题意可知abc=512，
∵ 三个数成等比数列，
∴ b2=ac，
∴ b3=512，
∴ b=8，
设三个数的公比为t，则a=8t，c=8t，
第一个数与第三个数各减2，后数列变为8t−2，8，8t−2，
∵ 新数列成等差数列,
∴ 16=8t−2+8t−2，
整理得2t2−5t+2=0，
求得t=2或12,
当t=2时，a=4，c=16，三个数为4，8，16；
当t=12时，a=16，c=4，三个数为16，8，4．
【答案】
解：由正弦定理得： ab=sinAsinB=2 ，
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=34，
将ab=2，即a=2b代入，得：5b2−c2=3b2，
即c=2b ，
由余弦定理csB=a2+c2−b22ac，
得：csB=2b2+2b2−b22×2b×2b=528，
则sinB=1−cs2B=148 .
【考点】
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
解：由正弦定理得： ab=sinAsinB=2 .
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=34．①
将ab=2，即a=2b代入①，得：5b2−c2=3b2，
即c=2b . 由余弦定理csB=a2+c2−b22ac，得：csB=2b2+22−b22×2b×2b=528，
则sinB=1−cs2B=148 .
【解答】
解：由正弦定理得： ab=sinAsinB=2 ，
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=34，
将ab=2，即a=2b代入，得：5b2−c2=3b2，
即c=2b ，
由余弦定理csB=a2+c2−b22ac，
得：csB=2b2+2b2−b22×2b×2b=528，
则sinB=1−cs2B=148 .
【答案】
解：由首项a1=1，公比q=2
可得：数列an的通项公式为an=2n−1，
所以bn=2n×2n−1=n×2n，
故有Tn=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，①
2Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，②
由①−②，得：−Tn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1，
即−Tn=21−2n1−2−n×2n+1，
所以Tn=n−1×2n+1+2．
【考点】
数列的求和
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
无
【解答】
解：由首项a1=1，公比q=2
可得：数列an的通项公式为an=2n−1，
所以bn=2n×2n−1=n×2n，
故有Tn=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，①
2Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，②
由①−②，得：−Tn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1，
即−Tn=21−2n1−2−n×2n+1，
所以Tn=n−1×2n+1+2．
【答案】
解：在△ABC中，∠CAB=30∘,∠ABC=105∘，
∴ ∠ACB=45∘，
∵ AB=600m，
由正弦定理得： ABsin45∘=BCsin30∘，
∴ BC=3002m，
在Rt△BCD中，∠CBD=60∘，
∴ CD=BC⋅tan60∘=3002×3=3006m．
∴ 此山的高度为3006m．
【考点】
解三角形
正弦定理
【解析】

【解答】
解：在△ABC中，∠CAB=30∘,∠ABC=105∘，
∴ ∠ACB=45∘，
∵ AB=600m，
由正弦定理得： ABsin45∘=BCsin30∘，
∴ BC=3002m，
在Rt△BCD中，∠CBD=60∘，
∴ CD=BC⋅tan60∘=3002×3=3006m．
∴ 此山的高度为3006m．
【答案】
解：(1)由Sn=2−12n−1−an，
得： Sn+1=2−12n−an+1，
两式相减得：Sn+1−Sn=an+1=an−an+1+(12)n，
化简得： 2an+1=an+12n,
两边同乘2n，得： 2n+1an+1=2nan+1，
即bn+1=bn+1，
所以bn+1−bn=1，
故数列bn是等差数列，且公差为1.
因为b1=2a1=1，
所以bn=1+n−1=n，
因此2nan=n，
从而an=n12n.
(2)由于Sn=2−12n−1−an，
而an=n12n，
所以Sn=2−12n−1−n12n=2−n+212n，
则Sn+1=2−n+312n+1，
且Sn+1−Sn=n+12n+1>0，
所以Sn≥S1=12，
因为在Sn=2−n+212n中，n+212n>0，
所以Sn<2，
故Sn的取值范围是[12,2）.
【考点】
数列与不等式的综合
数列递推式
等差数列
数列的函数特性
【解析】


【解答】
解：(1)由Sn=2−12n−1−an，
得： Sn+1=2−12n−an+1，
两式相减得：Sn+1−Sn=an+1=an−an+1+(12)n，
化简得： 2an+1=an+12n,
两边同乘2n，得： 2n+1an+1=2nan+1，
即bn+1=bn+1，
所以bn+1−bn=1，
故数列bn是等差数列，且公差为1.
因为b1=2a1=1，
所以bn=1+n−1=n，
因此2nan=n，
从而an=n12n.
(2)由于Sn=2−12n−1−an，
而an=n12n，
∴ Sn=2−12n−1−n12n=2−n+212n，
则Sn+1=2−n+312n+1，
且Sn+1−Sn=n+12n+1>0，
∴ Sn≥S1=12，
∵ 在Sn=2−n+212n中，n+212n>0，
∴ Sn<2，
故Sn的取值范围是[12,2）.