数学必修12.1.1 函数的概念和图象教案

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 考点回眸
1．已知函数，则 ．
2．已知函数（且），若，则 ．
 典例精讲
 例1．已知函数，则函数的零点有 个．
解析 解法一：由题意，所以或，本题转化为上述方程有几解，
当时，或；当时，或．
所以共有四个解，因此零点个数为．
解法二：可以通过图像法逐层尝试，

图20170527-01
由，得或，
再次作图右图所示，因此零点个数为．
 变式1．已知函数，则函数的零点有 个．
 例2．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
解析 设，则，令，则，
所以函数在上单调递增，同理在上单调递减，当时函数取得最大值．
因此可得到函数的图像如下图所示（作图先趋势后逼值，很多图像都有渐近线问题），
图20170527-02
方程化简为，解得或，
因有两个根与之对应，从而必有三个根对应，故得．
评注 这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后能求实根的，得到和，然后再根据函数的图像与直线，的交点个数得到参数的取值范围．
若无法因式分解的，可从根的分配的角度进行分类讨论（即根的分布问题）．
 变式1．已知函数，关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
 巩固强化
1．若函数，则方程的根的个数为 ．
2．（选做题）设函数，若方程恰有两个不相等的实根，则的最大值为 ．