2020-2021学年黑龙江省高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年黑龙江省高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 过点(0, 1)且与直线y＝2x−3平行的直线方程（ ）
A.y＝2x−2B.y＝2x+1C.y＝−2x+2D.

2. (1+2x)5的二项式系数和是（ ）
A.35B.1C.25D.−1

3. 若随机变量X∼N(3, σ2)，且P(X≥5)＝0.2，则P(1≤X≤5)等于（ ）
A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

4. 已知随机变量X的分布列为（ ）
若，则p的值为（ ）
A.B.C.D.

5. 抛物线y＝4x2的焦点坐标是（ ）
A.(1, 0)B.(0, 1)C.(116,0)D.(0,116)

6. 某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A.30种B.35种C.42种D.48种

7. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，四棱锥S−ABCD为阳马，底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中错误的是（ ）

A.AC⊥SB
B.AB // 平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

8. 一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则（ ）
A.Eξ1Dξ2
C.Eξ1＝Eξ2，Dξ1Eξ2，Dξ1>Dξ2

9. 今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克难时，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎．我市某医院派出18护士，2名医生支援湖北，将他们随机分成甲、乙两个医院，每个医院10人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为（ ）
A.B.C.D.

10. 在三棱锥S−ABC中，SA⊥底面ABC，且AB＝2AC＝2，∠C＝30∘，SA＝2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A.20πB.12πC.8πD.4π

11. 在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为（ ）
A.B.C.D.

12. 若点P是椭圆x24b2+y2b2=1(b>0)上的点，且点I是焦点三角形△PF1F2的内心，∠F1PF2的角平分线交线段F1F2于点M，则|PIIM|等于（ ）
A.233B.22C.32D.12
二、填空题（每小题5分共20分）

7位同学其中2男生5女生排成一排照相，男生不相邻的排法有________（用数字作答）种．

(1−ax)(1+x)6的展开式中，x3项的系数为−10，则实数a＝________．

已知函数y＝f(x)在区间[0, 2]单调递增，且经过(0, 0)，(2, 1)，我们利用随机模拟的方法估计一下曲线y＝f(x)与x轴，x＝2围成的面积S．在[0, 2]产生x1，x2，…，xn，在[0, 1]产生y1，y2，…，yn，构成(x1, y1)，(x2, y2)，…，(xn, yn)n个点，其中yi>f(xi)(i＝1, 2, 3,…,n)有m个点，那么估计的S＝________．

已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若过右焦点F且倾斜角为30∘的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．
三、解答题（共70分）

已知圆C过三点(3,3)(2, 4)(3,5)，直线l:ax+y+2a＝0．
(Ⅰ)求圆C的方程．
(Ⅱ)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=22时，求直线l的方程．

甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
乙公司送餐员送餐单数频数表

（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；

（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．

选修4−4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，过点P(32,32)作倾斜角为α的直线l与曲线C:x2+y2＝1相交于不同的两点M，N．
(Ⅰ)写出直线l的参数方程；
(Ⅱ)求1|PM|+1|PN|的取值范围．

高考数学考试中有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求出该考生的选择题：
（1）得60分的概率；

（2）得多少分的概率最大？

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点．

（1）求证：C1M⊥B1D；

（2）求二面角B−B1E−D的余弦值；

已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x−y+2=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆相交于E、F两点．
（1）求椭圆C的方程；

（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年黑龙江省高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（每小题只有一个正确的结果，每小题5分，共60分）
1.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
C
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
A
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
A
【考点】
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
【解析】
将抛物线化简得x2=14y，解出12p=116，结合抛物线标准方程的形式，即得所求焦点坐标．
【解答】
∵ 抛物线的方程为y＝4x2，即x2=14y
∴ 2p=14，解得12p=116
因此抛物线y＝4x2的焦点坐标是(0, 116)．
6.
【答案】
A
【考点】
分类加法计数原理
【解析】
两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．
【解答】
解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；
②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．
∴ 根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．
故选A．
7.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
求出ξ1的可能取值为0，1，2，ξ1∼B(2, 13)，从而E(ξ1)＝2×13=23，D(ξ1)=2×13×23=49；求出ξ2的可能取值为0，1，P(ξ2＝0)=23×12=13，P(ξ2＝1)=23×12+13×22=23，从而求出E(ξ2)，D(ξ2)，由此能求出结果．
【解答】
一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．
当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1，
则ξ1的可能取值为0，1，2，ξ1∼B(2, 13)，
E(ξ1)＝2×13=23，D(ξ1)=2×13×23=49，
当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，
则ξ2的可能取值为0，1，
P(ξ2＝0)=23×12=13，
P(ξ2＝1)=23×12+13×22=23，
∴ E(ξ2)=0×13+1×23=23，
D(ξ2)＝(0−23)2×13+(1−23)2×23=13．
∴ Eξ1＝Eξ2，Dξ1>Dξ2．
9.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
【考点】
二面角的平面角及求法
柱体、锥体、台体的体积计算
棱锥的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
令F1F2边上的高为ℎ，则S△PF1F2=12×2c×ℎ，结合内切圆的性质可得S△IF1F2=12×2c×r,S△IPF2+S△IPF1=12×2a×r，进而可得到rℎ=MIMP=32+3，整理即可．
【解答】
令P到F1F2的高为ℎ，则S△PF1F2=12×2c×ℎ，
由内切圆的定义知：S△IF1F2=12×2c×r,S△IPF2+S△IPF1=12×2a×r，
故S△PF1F2=12×2c×ℎ=12×(2a+2c)×r，则rℎ=MIMP=32+3，
∴ PIIM=23=233，
二、填空题（每小题5分共20分）
【答案】
3600
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
先将5名女生排序，然后将2名男生插入5名女生所形成的空位中，利用插空法可得出结果．
【解答】
解：先将5名女生排序，然后将2名男生插入5名女生所形成的空位中，
所以男生不相邻的排法种数为A55A62=120×30=3600种．
故答案为：3600．
【答案】
2
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
2(1−）
【考点】
模拟方法估计概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
(1,233)
【考点】
双曲线的特性
【解析】
要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即ba<33，求得a和b的不等式关系，进而根据b=c2−a2转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．
【解答】
解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即ba∵ b=c2−a2，∴ c2−a2<33a，
整理得c<233a，∴ e=ca<233
∵ 双曲线中e>1，∴ e的范围是(1, 233)
故答案为：(1, 233)．
三、解答题（共70分）
【答案】
（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0；
把点(3,3)(2, 4)(3,5)，分别代入联立解得D=0E=−8F=12 ；
∴ 圆C的方程x2+y2−8y+12＝0．
（2）过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得
解得a＝−7或a＝−1．
故所求直线方程为7x−y+14＝0或x＝y+2＝0．
【考点】
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
【解析】
(Ⅰ)直接设圆的一般方程求出对应系数即可；
(Ⅱ)根据圆中相交弦长的一半与半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，解出参数的值
【解答】
（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0；
把点(3,3)(2, 4)(3,5)，分别代入联立解得D=0E=−8F=12 ；
∴ 圆C的方程x2+y2−8y+12＝0．
（2）过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得
解得a＝−7或a＝−1．
故所求直线方程为7x−y+14＝0或x＝y+2＝0．
【答案】
记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M，
则．
①设乙公司送餐员送餐单数为a，
则当a＝38时，X＝38×6＝228，X＝39×6＝234，X＝40×5＝240，
当a＝41时，X＝40×6+1×2＝247，X＝40×6+2×8＝254．
所以X的所有可能取值为228，234，247．故X的分布列为：
∴ ．
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×4.2+39×0.7+40×0.2+41×6.2+42×0.4＝39.7．
所以甲公司送餐员日平均工资为80+4×39.8＝238.8元．
由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元．
因为238.8<241.8，故推荐小王去乙公司应聘．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）∵ 直线l过点P(32,32)且倾斜角为α，
∴ 直线l的参数方程为x=32+tcsαy=32+tsinα （t为参数）；
（2）把x=32+tcsαy=32+tsinα （t为参数）代入x2+y2＝1，
得t2+(3csα+3sinα)t+2=0，
∵ 直线l与曲线C:x2+y2＝1相交于不同的两点M，N，
∴ △=(3csα+3sinα)2−8>0，
化为sin(α+π6)>63．
又t1+t2=−(3csα+3sinα)，t1t2＝2．
∴ 1|PM|+1|PN|=−(1t1+1t2)=−t1+t2t1t2=3csα+3sinα2=3sin(α+π6)，
∵ sin(α+π6)>63，∴ 2<3sin(α+π6)≤3．
∴ 1|PM|+1|PN|的取值范围是(2,3]．
【考点】
直线与圆相交的性质
直线的参数方程
【解析】
(Ⅰ)利用直线的参数方程的意义即可写出；
(Ⅱ)把直线的参数方程代入圆的方程，利用根与系数的关系即可求出．
【解答】
（1）∵ 直线l过点P(32,32)且倾斜角为α，
∴ 直线l的参数方程为x=32+tcsαy=32+tsinα （t为参数）；
（2）把x=32+tcsαy=32+tsinα （t为参数）代入x2+y2＝1，
得t2+(3csα+3sinα)t+2=0，
∵ 直线l与曲线C:x2+y2＝1相交于不同的两点M，N，
∴ △=(3csα+3sinα)2−8>0，
化为sin(α+π6)>63．
又t1+t2=−(3csα+3sinα)，t1t2＝2．
∴ 1|PM|+1|PN|=−(1t1+1t2)=−t1+t2t1t2=3csα+3sinα2=3sin(α+π6)，
∵ sin(α+π6)>63，∴ 2<3sin(α+π6)≤3．
∴ 1|PM|+1|PN|的取值范围是(2,3]．
【答案】
解：（1）要得60分，必须12道选择题全答对，
依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为12，有一道题答对的概率为13，还有一道题答对的概率为14，所以他做选择题得60分的概率为：P=12×12×13×14=148
（2）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种．
得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错，于是其概率为：P1=12×12×23×34=648
类似的，可知得45分为的概率：P2=2×12×12×23×34+12×12×13×34+12×12×23×14=1748
得分为50的概率：P3=1748；得分为55的概率：P4=748；得分为60的概率：P5=148
∴ 该生选择题得分为45分或50分的可能性最大．
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
（1）要得60分，必须12道选择题全答对，依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为12，有一道题答对的概率为13，还有一道题答对的概率为14，由此能求出他做选择题得60分的概率．
（2）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种．得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错．类似的，能够求出得45分为的概率、得分为50的概率、得分为55的概率和得分为60的概率由此能得到最终结果．
【解答】
解：（1）要得60分，必须12道选择题全答对，
依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为12，有一道题答对的概率为13，还有一道题答对的概率为14，所以他做选择题得60分的概率为：P=12×12×13×14=148
（2）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种．
得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错，于是其概率为：P1=12×12×23×34=648
类似的，可知得45分为的概率：P2=2×12×12×23×34+12×12×13×34+12×12×23×14=1748
得分为50的概率：P3=1748；得分为55的概率：P4=748；得分为60的概率：P5=148
∴ 该生选择题得分为45分或50分的可能性最大．
【答案】
∵ AC＝BC，∴ A1C1＝B4C1，
∵ M为棱A1B5的中点，∴ C1M⊥A1B3．
∵ CC1⊥平面ABC，BB1 // CC4，∴ BB1⊥平面ABC，即BB1⊥平面A8B1C1，
又BB3⊂平面ABB1A1，∴ 平面ABB5A1⊥平面A1B6C1，
又平面ABB1A2∩平面A1B1C6＝A1B1，C3M⊂平面A1B1C3，
∴ C1M⊥平面ABB1A2，
∵ B1D⊂平面ABB1A8，
∴ C1M⊥B1D；
以C为原点，CA、CC3所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2, 0, 8)，2，0)，6，1)，B1(5, 2, 3)，6，2)，
∴ ＝(8, −1)，，0，6)，
设平面B1ED的法向量为＝(x，y，
则，令z＝2，得，−1，
∵ CC6⊥平面ABC，∴ CC1⊥AC，
∵ AC⊥BC，CC1∩BC＝C，CC3、BC⊂平面BEB1，
∴ AC⊥平面BEB1，
∴ 平面BEB6的一个法向量为＝(1，0，
∴ cs<>＝，
由图可知，平面B1ED与平面BEB6所成角为锐角，
故二面角B−B1E−D的余弦值为．
【考点】
二面角的平面角及求法
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由题意知：e=ca=32∴ e2=c2a2=a2−b2a2=34，∴ a2＝4b2．
又∵ 圆x2+y2＝b2与直线x−y+2=0相切，∴ b＝1，∴ a2＝4，
故所求椭圆C的方程为x2+y24=1⋯
设E(x1, kx1)，F(x2, kx2)，其中x1将y＝kx代入椭圆的方程x2+y24=1整理得：(k2+4)x2＝4，
故x2=−x1=2k2+4．①
又点E，F到直线AB的距离分别为ℎ1=|2x1+kx1−2|5=2(2+k+k2+4)5(k2+4)，ℎ2=|2x2+kx2−2|5=2(2+k−k2+4)5(k2+4)．|AB|=22+1=5⋯
所以四边形AEBF的面积为S=12|AB|(ℎ1+ℎ2)=12⋅5⋅4(2+k)5(k2+4)=2(2+k)k2+4⋯
=24+k2+4kk2+4=21+4kk2+4=21+4k+4k≤22，
当k2＝4(k>0)，即当k＝2时，上式取等号．
所以当四边形AEBF面积的最大值时，k＝2．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a，b即可求出椭圆的方程．
（2）设E(x1, kx1)，F(x2, kx2)，其中x1【解答】
由题意知：e=ca=32∴ e2=c2a2=a2−b2a2=34，∴ a2＝4b2．
又∵ 圆x2+y2＝b2与直线x−y+2=0相切，∴ b＝1，∴ a2＝4，
故所求椭圆C的方程为x2+y24=1⋯
设E(x1, kx1)，F(x2, kx2)，其中x1将y＝kx代入椭圆的方程x2+y24=1整理得：(k2+4)x2＝4，
故x2=−x1=2k2+4．①
又点E，F到直线AB的距离分别为ℎ1=|2x1+kx1−2|5=2(2+k+k2+4)5(k2+4)，ℎ2=|2x2+kx2−2|5=2(2+k−k2+4)5(k2+4)．|AB|=22+1=5⋯
所以四边形AEBF的面积为S=12|AB|(ℎ1+ℎ2)=12⋅5⋅4(2+k)5(k2+4)=2(2+k)k2+4⋯
=24+k2+4kk2+4=21+4kk2+4=21+4k+4k≤22，
当k2＝4(k>0)，即当k＝2时，上式取等号．
所以当四边形AEBF面积的最大值时，k＝2．X
0
1
P
p
1−p
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
15
10
10
5
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
5
10
10
20
5
X
228
234
240
247
254
P