高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像导学案，共7页。学案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，教师小结等内容，欢迎下载使用。
1．了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．
2．会用“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
【教学重难点】
会求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值、单调区间．
【教学过程】
一、问题导入
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成i=Imsin（wt+φ）的形式.
显然，上述x与i都是t的函数，那么，这种类型的函数具有什么性质呢？怎样研究这种类型的函数的性质？
二、新知探究
1.正弦型函数的图像与性质
【例1】用五点法作函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．
[思路探究]先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．
[解]①列表：
②描点连线作出一周期的函数图像．
③把此图像左、右扩展即得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图像．
由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]，
周期为T＝eq \f(2π,ω)＝2π，频率为f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π)，初相为φ＝－eq \f(π,3)，最大值为5，最小值为1．
令2kπ－eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得原函数的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)．
令2kπ＋eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3,2)π，(k∈Z)得原函数的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5,6)π，2kπ＋\f(11,6)π))(k∈Z)．
令x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋eq \f(5,6)π(k∈Z)．
【教师小结】
（1）用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象．
（2）求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x的范围．
2.三角函数的图像变换
【例2】函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－2的图像是由函数y＝sin x的图像通过怎样的变换得到的？
[思路探究]由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．
【教师小结】三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：
(1)确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.
3.求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例3】如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|1时)或伸长(当00且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当00)的方法
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
四、课堂检测
1．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝eq \f(π,4)，x2＝eq \f(3π,4)是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A．2 B．eq \f(3,2) C．1 D．eq \f(1,2)
A [由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，
eq \f(1,2)T＝eq \f(3π,4)－eq \f(π,4)，∴T＝π，∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2．
故选A．]
2．要得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像，只需将y＝3sin 2x的图像( )
A．向左平移eq \f(π,4)个单位B．向右平移eq \f(π,4)个单位
C．向左平移eq \f(π,8)个单位D．向右平移eq \f(π,8)个单位
C [y＝3sin 2x的图像eq \(――――――――→,\s\up26(向左平移\f(π,8)个单位))y＝3sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))
的图像，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像．]
3．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))图像的一条对称轴是________．(填序号)
①x＝－eq \f(π,2)；②x＝0；③x＝eq \f(π,6)；④x＝－eq \f(π,6).
③ [由正弦函数对称轴可知．
x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
x＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，
k＝0时，x＝eq \f(π,6).]
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|