2022版新高考数学一轮总复习课后集训：60+用样本估计总体+Word版含解析

课后限时集训(六十)　用样本估计总体

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一、选择题

1．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)

A．45 B．50 

C．55 D．60

B　[由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010＋0.005)×20＝0.3.

∴该班学生人数n＝＝50.]

2．(多选)在某次大学生辩论赛中，辩论赛有7位评委进行评分，首先这7位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分，则5个有效评分与7个原始评分相比，可能变化的数字特征是(　　)

A．中位数 B．平均数

C．方差 D．极差

BCD　[因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，

所以变化的数字特征是平均数、方差、极差，

故选BCD.]

3．小凯利用上下班时间跑步健身，随身佩戴的手环记录了近11周的跑步里程(单位：km)的数据，绘制了下面的折线图．

根据折线图，下列结论正确的是(　　)

A．剔除第8周数据，周跑步里程逐周增加

B．周跑步里程的极差为20 km

C．周跑步里程的平均数低于第7周对应的里程数

D．周跑步里程的中位数为第6周对应的里程数

C　[剔除第8周数据，周跑步里程逐周有增有减，A错；周跑步里程的极差比20 km稍小，B错；周跑步里程的中位数为第5周对应的里程数，D错．故选C.]

4．(多选)已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论正确的有(　　)

A．甲命中个数的极差是29

B．甲命中个数的中位数是25

C．甲的命中率比乙高

D．乙命中个数的众数是21

ACD　[对于A，甲命中个数的极差是37－8＝29，所以A正确；

对于B，甲命中个数从小到大排列为8,12,13,20,22,24,25,26,27,37，

所以中位数是×(22＋24)＝23，B错误；

对于C，甲组数据多集中在20以上，乙组数据多集中在20以下，所以甲的命中率比乙高，C正确；

对于D，乙组数据出现次数最多的是21，所以它的众数是21，D正确．故选ACD.]

5．某教研机构随机抽取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是(　　)

A　　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　　D

A　[由频率分布直方图可知，[0,5)的频数为20×0.01×5＝1，[5,10)的频数为20×0.01×5＝1，[10,15)的频数为20×0.04×5＝4，[15,20)的频数为20×0.02×5＝2，[20,25)的频数为20×0.04×5＝4，[25,30)的频数为20×0.03×5＝3，[30,35)的频数为20×0.03×5＝3，[35,40]的频数为20×0.02×5＝2，则对应的茎叶图为A.]

6．(多选)新冠肺炎疫情的出现警示我们，人类不文明的行为为各种致病细菌和病毒提供了传播途径，成为现代文明生活的致命软肋，对人类的健康和生命构成了严重威胁．首都文明工程基金会和文明杂志社倡议启动新时代文明工程：呼吁社会公益组织、新媒体和企业机构携手——“餐桌革命 公筷行动”！某机构调查了某地区部分居民疫情前后对餐桌革命(公筷公勺、分餐制)的支持情况，得到如下统计图，则下列说法正确的是(　　)

疫情前对餐桌革命的支持情况

①不支持　②仅支持分餐　③仅支持公筷公勺　④支持

疫情后对餐桌革命的支持情况

①不支持　②仅支持分餐　③仅支持公筷公勺　④支持

A．疫情后仅支持公筷公勺和仅支持分餐的居民均增多

B．疫情前后仅支持公筷公勺的居民均多于仅支持分餐的居民

C．疫情后，不支持餐桌革命的比例下降幅度低于支持餐桌革命的上升幅度

D．疫情后，人们的健康饮食意识明显提高

ABD　[由饼图可知，疫情后仅支持公筷公勺和仅支持分餐的比例分别上升至10%,7%，故A正确；疫情前后，仅支持公筷公勺的比例分别为8%,10%，仅支持分餐的比例分别为5%,7%，故B正确；疫情后，不支持餐桌革命的比例下降了42%，支持餐桌革命的比例上升了38%，故C错误；由题图易得，人们的健康饮食意识明显提高，故D正确．]

二、填空题

7．已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________．

11　[由x1，x2，…，xn的平均数＝5，得2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2＋1＝2×5＋1＝11.]

8．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________．

0.98　[经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.]

9．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：

(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；

(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．

(1)0.04　(2)440　[设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.则志愿者年龄在[25,35)年龄组的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)年龄组的人数约为0.55×800＝440.]

三、解答题

10．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5

2．5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3．2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4

1．6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

[解]　(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为，

由观测结果可得＝×(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3，

＝×(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6.

由以上计算结果可得>，因此可看出A药的疗效更好．

(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”“3.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”“1.”上，由此可看出A药的疗效更好．

11．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；

(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

[解]　(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，

所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.

所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.

(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为

(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，

分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.

所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20.

(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为

(0.02＋0.04)×10×100＝60，

所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30.

所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.

所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.

1．(多选)某校高三年级共有800名学生参加了数学测验(满分150分)，已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组如下：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是(　　)

A．a＝0.045

B．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160

C．这800名学生数学成绩的中位数约为121.4

D．这800名学生数学成绩的平均数为125

BC　[对于A，由频率和为1得(0.010×2＋0.025＋a＋0.015＋0.005)×10＝1，

解得a＝0.035，所以A错误；

对于B，这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为：

0．010×2×10×800＝160，所以B正确；

对于C，这800名学生数学成绩的中位数为：

120＋≈121.4，所以C正确；

对于D，这800名学生数学成绩的平均数为：

95×0.010×10＋105×0.010×10＋115×0.025×10＋125×0.035×10＋135×0.015×10＋145×0.005×10＝120.

所以D错误．

故选BC.]

2．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：℃)：

①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；

②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；

③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.

其中肯定进入夏季的地区有(　　)

A．①② B．①③

C．②③ D．①②③

B　[甲地的5个数据的中位数为24，众数为22，则甲地连续5天的日平均温度的记录数据中必有22,22,24，其余2天的记录数据大于24，且不相等，故甲地符合进入夏季的标准．

乙地的5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19,20,27,27,27时，其连续5天的日平均温度中有低于22 ℃的，此时乙地不符合进入夏季的标准．

丙地的5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，设其余4个数据分别为x1，x2，x3，x4，则总体方差s2＝×[(32－26)2＋(x1－26)2＋(x2－26)2＋(x3－26)2＋(x4－26)2]＝7.2＋[(x1－26)2＋(x2－26)2＋(x3－26)2＋(x4－26)2]．若x1≤21，则s2≥7.2＋5＝12.2，即s2>10.8，不满足题意，所以x1，x2，x3，x4均大于或等于22，故丙地符合进入夏季的标准．综上所述，肯定进入夏季的地区有①③.故选B.]

3．某小区为了让居民了解更多垃圾分类的知识，对500名小区居民进行了培训，并进行了培训结果测试，从中随机抽取50名居民的成绩(单位：分)，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是________(填序号)．

①所抽取的50名居民成绩的平均数约为74

②所抽取的50名居民成绩的中位数约为75

③所抽取的50名居民成绩的众数约为65、75

④参加培训的居民中约有100人的成绩不低于85分

①④　[由频率分布直方图可得，成绩在[80,90)内的频率为1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，则x＝0.02.故可估计所抽取的50名居民成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74，所以①正确．由频率分布直方图可知，成绩在[50,60)内的频率为0.1，成绩在[60,70)内的频率为0.3，成绩在[70,80)内的频率为0.3，所以中位数在[70,80)内．设中位数约为70＋y，则0.03y＝0.5－0.1－0.3＝0.1，解得y≈3.33，所以所求中位数约为73.33，所以②错误．最高矩形是第二个、第三个(从左往右数)，这两个最高矩形数据的中间值为70，所以所求众数约为70，所以③错误．由频率分布直方图可得成绩在[80,90)内的频率为0.2，则成绩在[85,90)内的频率为0.1，又成绩在[90,100]内的频率为0.1，所以参加培训的居民中成绩不低于85分的约有500×0.1＋500×0.1＝100(人)．故④正确．]

4．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表．

A地区用户满意度评分的频率分布直方图

图①

B地区用户满意度评分的频率分布表

(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；

B地区用户满意度评分的频率分布直方图

图②

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．

[解]　(1)作出频率分布直方图如图：

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．

(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．

记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；

CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．

由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，

P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.

所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．

1．近年来，我国国内文化和旅游市场潜力不断释放，大众出游热情持续高涨，行业发展整体呈好的趋势，以下为2011－2019年我国国内旅游收入情况统计图．

根据统计图，下列结论正确的是(　　)

A．与2018年相比，2019年国内旅游收入增幅约为19.61%

B．2011－2019年国内旅游收入的中位数为3.3万亿元

C．2011－2019年国内旅游收入的平均数约为3.5万亿元

D．若每年国内旅游收入y(单位：万亿元)与年份x线性相关，且满足＝(x－2 010)＋1.205，则估计2020年的国内旅游收入为7.2万亿元

A　[选项A，由图可知，2019年国内旅游收入比2018年增长了1万亿元，增幅约为×100%≈0.196 1×100%＝19.61%，故A选项正确．选项B，将2011－2019年这九年的国内旅游收入的金额按照由小到大的顺序排列，可得中位数是3.4万亿元，故B选项不正确．选项C,2011－2019年国内旅游收入的平均数约为≈3.69(万亿元)，故C选项不正确．选项D，由题意可得＝＝

2 015，将(2 015,3.69)代入＝(x－2 010)＋1.205，得5b＋1.205＝3.69，可得＝0.497，所以＝0.497(x－2 010)＋1.205，将x＝2 020代入，可得＝6.175，D选项不正确．]

2．随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某“共享自行车”运营公司为了了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了40名用户，得到用户的满意度评分如下：

用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.

(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据；

(2)计算所抽到的10个样本的均值和方差s2；

(3)在(2)的条件下，若用户的满意度评分在(－s，＋s)之间，则满意度等级为“A级”．试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？(精确到0.1%)

参考数据：≈5.48，≈5.74，≈5.92.

[解]　(1)由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28, 2,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据分别为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.

(2)由(1)中样本的评分数据可得

＝(92＋84＋86＋78＋89＋74＋83＋78＋77＋89)＝83，

则有s2＝[(92－83)2＋(84－83)2＋(86－83)2＋(78－83)2＋(89－83)2＋(74－83)2＋(83－83)2＋(78－83)2＋(77－83)2＋(89－83)2]＝33.

(3)由题意知用户的满意度评分在(83－，83＋)即(77.26,88.74)之间满意度等级为“A级”．由(1)中样本容量为10的样本评分在(77.26,88.74)之间的用户有5人，则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为×100%＝50.0%.