2022版新高考数学一轮总复习课后集训：20+利用导数解决函数的极值、最值问题+Word版含解析

这是一份2022版新高考数学一轮总复习课后集训：20+利用导数解决函数的极值、最值问题+Word版含解析，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课后限时集训(二十)　
利用导数解决函数的极值、最值问题
建议用时：40分钟

一、选择题
1．函数y＝在[0,2]上的最大值是(　　)
A． B．
C．0 D．
A　[易知y′＝，x∈[0,2]，令y′＞0，得0≤x＜1，令y′＜0，得1＜x≤2，所以函数y＝在[0,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y＝在[0,2]上的最大值是ymax＝，故选A.]
2．(2020·宁波质检)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是(　　)
①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝x3－3x2；④y＝2x.
A．①② B．①③
C．③④ D．②③
D　[对于①，y′＝3x2≥0，故①不是；
对于②，y′＝2x，当x＞0时，y′＞0，当x＜0时，y′＜0，当x＝0时，y′＝0，故②是；
对于③，y′＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x＜0时，y′＞0，当0＜x＜2时，y′＜0，当x＝0时，y′＝0，故③是；
对于④，由y＝2x的图象知，④不是．故选D.]
3．(多选)(2020·山东省日照实验高中月考)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是(　　)

A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增
D．y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率小于零
BD　[根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＜0，当x∈(－3,1)时，f′(x)≥0，∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,1)上单调递增，∴－3是函数y＝f(x)的极值点．∵函数y＝f(x)在(－3,1)上单调递增，∴－1不是函数y＝f(x)的最小值点．∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于零，∴y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率大于零，故选BD.]
4．(多选)(2020·山东临沂期末)已知函数f(x)＝x＋sin x－xcos x的定义域为[－2π，2π)，则(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)在[0，π)上单调递增
C．f(x)恰有4个极大值点
D．f(x)有且仅有4个极值点
BD　[由题意得f′(x)＝1＋cos x－(cos x－xsin x)＝1＋xsin x，当x∈[0，π)时，f′(x)＞0，则f(x)在[0，π)上单调递增．令f′(x)＝0，得sin x＝－.作出y＝sin x，y＝－在区间[－2π，2π)上的大致图象，如图所示，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点处都不相切，故f(x)在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点．故选BD.
]
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　)
A．－37 B．－29
C．－5 D．以上都不对
A　[∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，∴x＝0为极大值点，也为最大值点，∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值是－37.故选A.]
6．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为(　　)
A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
D　[由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.]
二、填空题
7．设直线y＝m与曲线C：y＝x(x－2)2的三个交点分别为A(a，m)，B(b，m)，C(c，m)，其中a＜b＜c，则实数m的取值范围是________，a2＋b2＋c2的值为________．
　8　[根据题意，设f(x)＝x(x－2)2，其导数f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)＞0，解得x＜或x＞2，则f(x)在和(2，＋∞)上单调递增，在上单调递减，故f(x)的极大值为f ＝，极小值为f(2)＝0，若直线y＝m与曲线C：y＝x(x－2)2有三个交点，必有0＜m＜，即m的取值范围为.设g(x)＝f(x)－m＝x(x－2)2－m＝x3－4x2＋4x－m，若直线y＝m与曲线C：y＝x(x－2)2有三个交点，且其坐标分别为A(a，m)，B(b，m)，C(c，m)，则函数g(x)＝x3－4x2＋4x－m＝0有三个根，依次为a，b，c，则有x3－4x2＋4x－m＝(x－a)(x－b)(x－c)＝x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋ac＋bc)x－abc，变形可得abc＝m，a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，则a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝8.]
8．已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a＝________.
　[f′(x)＝－a，x＞0.当a≤0时，f′(x)＝－a＞0恒成立，函数f(x)单调递增，不存在最大值；当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝.当0＜x＜时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x＞时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
∴f(x)max＝f ＝ln －1＝0，解得a＝.]
9．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
3　[设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小．
由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·.
∴S′＝2πR－，令S′＝0，到R＝3，根据单调性得当R＝3时，S最小．]
三、解答题
10．已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
[解]　(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴f(x)max＝f(1)＝－1.
∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意．
②若a＜－，令f′(x)＞0得a＋＞0，结合x∈(0，e]，解得0＜x＜－；
令f′(x)＜0得a＋＜0，结合x∈(0，e]，解得－＜x≤e.
从而f(x)在上单调递增，在上单调递减，
∴f(x)max＝f ＝－1＋ln.
令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，
即a＝－e2.
∵－e2＜－，∴a＝－e2为所求．
故实数a的值为－e2.
11．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)．
(1)求y关于v的函数关系式；
(2)若c≤v≤15(c＞0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．
[解]　(1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为×＝＋(升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时＝(单位时间)，用氧量为×1.5＝(升)，因此总用氧量y＝＋＋9(v＞0)．
(2)y′＝－＝，令y′＝0得v＝10，
当0＜v＜10时，y′＜0，函数单调递减；
当v＞10时，y′＞0，函数单调递增．
若c＜10，函数在(c,10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，
∴当v＝10时，总用氧量最少．
若c≥10，则y在[c,15]上单调递增，
∴当v＝c时，这时总用氧量最少．

1．(多选)若函数f(x)＝2x3－ax2(a＜0)在上有最大值，则a的取值可能为(　　)
A．－6 B．－5
C．－4 D．－3
ABC　[令f′(x)＝2x(3x－a)＝0，解得x1＝0，x2＝(a＜0)，当＜x＜0时，f′(x)＜0；当x＜或x＞0时，f′(x)＞0，则f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为，从而f(x)在x＝处取得极大值f＝－，由f(x)＝－，得2＝0，解得x＝或x＝－，又f(x)在上有最大值，所以＜≤－，解得a≤－4.故选ABC．]
2．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
A　[f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.
∵x＝－2是f(x)的极值点，∴f′(－2)＝0，即(4－2a－4＋a－1)e－3＝0，得a＝－1.
∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1.
由f′(x)＞0，得x＜－2或x＞1；
由f′(x)＜0，得－2＜x＜1.
∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)的极小值点为1，
∴f(x)的极小值为f(1)＝－1.]
3．已知函数f(x)＝aln x＋(a＞0)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
[解]　由题意，知函数的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝－(a＞0)．
(1)由f′(x)＞0解得x＞，
所以函数f(x)的单调递增区间是；
由f′(x)＜0解得x＜，
所以函数f(x)的单调递减区间是.
所以当x＝时，函数f(x)有极小值f ＝aln ＋a＝a－aln a，无极大值．
(2)不存在．理由如下：
由(1)可知，当x∈时，函数f(x)单调递减；
当x∈时，函数f(x)单调递增．
①若0＜≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，
故函数f(x)的最小值为f(1)＝aln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．
②若1＜≤e，即≤a＜1时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
故函数f(x)的最小值为f(x)的极小值f ＝aln ＋a＝a－aln a＝a(1－ln a)＝0，即ln a＝1，解得a＝e，而≤a＜1，故不满足条件．
③若＞e，即0＜a＜时，函数f(x)在[1，e]上为减函数，
故函数f(x)的最小值为f(e)＝a＋＝0，
解得a＝－，而0＜a＜，
故不满足条件．
综上所述，这样的a不存在．

1．(多选)(2020·山东莱芜一中模考)已知函数f(x)＝，g(x)＝xe－x，若存在x1∈(0，＋∞)，x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)＝k(k＜0)成立，则下列结论正确的是
(　　)
A．ln x1＝x2
B．ln(－x2)＝－x1
C．2·ek的最大值为
D．2·ek的最大值为
AC　[由f(x1)＝g(x2)＝k(k＜0)，得＝x2e－x2＜0　(*)，∴0＜x1＜1，x2＜0.由(*)可得＝－x2e－x2＞0，两边同时取对数可得ln(－ln x1)－ln x1＝
ln(－x2)－x2.
∵函数y＝ln x＋x在(0，＋∞)上单调递增，∴－ln x1＝－x2，∴ln x1＝x2，∴＝＝k，故2·ek＝k2·ek.设h(k)＝k2·ek(k＜0)，∴h′(k)＝ek(k2＋2k)，由ek(k2＋2k)＞0，可得k＜－2，故h(k)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，故h(k)max＝h(－2)＝，因此2·ek的最大值为.
综上，AC正确．]
2．已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
－　[∵f(x)的最小正周期T＝2π，∴求f(x)的最小值相当于求f(x)在[0,2π]上的最小值．
f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝4cos2x＋2cos x－2＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．
令f′(x)＝0，解得cos x＝或cos x＝－1，x∈[0,2π]．
∴由cos x＝－1，得x＝π；由cos x＝，
得x＝π或x＝.
∵函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，
f(π)＝2sin π＋sin 2π＝0，f ＝2sin ＋sin ＝，f ＝－，f(0)＝0，f(2π)＝0，
∴f(x)的最小值为－.]
3．(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
[解]　(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．
若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a＜0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)满足题设条件的a，b存在．
①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.
②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.
③当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为f＝－＋b，最大值为b或2－a＋b.
若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0＜a＜3矛盾．
若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0＜a＜3矛盾．
综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.